第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)(2)課件

§2流體微團(tuán)運動的分解剛體運動特點：平動與轉(zhuǎn)動的組合剛體任意點的速度等于瞬時中心的平動速度與繞中心的旋轉(zhuǎn)速度之和流體運動特點：流體運動時，其任一微團(tuán)除了有類似剛體的平動與轉(zhuǎn)動外，一般還具有復(fù)雜的變形運動（角變形、線變形）研究對象：連續(xù)介質(zhì)概念下，流體質(zhì)點是可以忽略線性尺度效應(yīng)（如變形、轉(zhuǎn)動、膨脹等）的最小單元；流體微團(tuán)：大量流體質(zhì)點所組成的具有線性尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán)§2流體微團(tuán)運動的分解2024/1/251.一、流體微團(tuán)運動速度的分解在運動的流體中任取一個流體微團(tuán)，以微團(tuán)中任一點作為基點（如A點），分析其他點運動速度各點速度相對A點作Taylor展開，略去二階小量2024/1/252.設(shè)基點A上速度為：vxA,vyA，vzA則在瞬時t，任意點M速度可表達(dá)如下(略去二階以上小量)：2024/1/253.同理可得（亥母霍茲Helmholtz速度分解定律）：微團(tuán)上任一點的速度可用A點速度及其速度導(dǎo)數(shù)（

x,y,z

x,y,z

x,y,z）表示;但如何理解這些導(dǎo)數(shù)的物理意義？利用流體微團(tuán)變形圖像的分析，明確上述表達(dá)式中導(dǎo)數(shù)及其組合的物理意義2024/1/254.其中，可以看到引入三種速度導(dǎo)數(shù)組合，分別定義其為：線應(yīng)變率(線變形率)：剪切變形的平均角速度（剪切應(yīng)變率）：轉(zhuǎn)動角速度：

2024/1/255.二、流體微團(tuán)運動分解的物理分析1、線應(yīng)變率(線變形率)：單位時間內(nèi)單位長度的變化借助二維變化圖，分析其意義在運動的流體中取出一個邊長為

x和

y的三角形微團(tuán)ABC，如圖所示。以A為基點，分析它在運動中的位置變化和形狀變化。2024/1/256.經(jīng)過時間

t，原來的微團(tuán)到達(dá)新的位置A'B'C',不僅位置變了，形狀也變了。為了比較運動前后的形狀變化，在點A'作出與A'B1C1等同的三角形。同時標(biāo)出B'和C',的投影點B2和C2。其中B1B2,C1C2可表示線性拉長（縮短）：2024/1/257.

x方向的變化x向相對速度

x向的線變形速率，線變形率，線應(yīng)變速度

x

y

z分別為x,y,z方向的線變形率三個直線變形率之和稱為速度的散度，它表明了流體體積的相對變化率。對于不可壓縮流動，散度為零。2024/1/258.2、剪切變形率：單位時間內(nèi)直角變化量的一半再看角度變化角速度為:總體變化角度為：平均角變形速度：微元一個邊繞z軸的剪切變形角速度2024/1/259.3、旋轉(zhuǎn)角速度通常情況下，流體微團(tuán)兩邊的變形角度并不對稱相等，故流體微團(tuán)在xoy平面上除產(chǎn)生剪切應(yīng)變外，還有繞z軸的整體旋轉(zhuǎn)。（設(shè)逆時針為正）旋轉(zhuǎn)的平均角速度：同理可知：2024/1/2510.就整體考慮，流體微團(tuán)繞某一個瞬時軸轉(zhuǎn)動的平均角速度：rot稱為流體的渦量或旋度。渦量等于流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動角速度的兩倍由旋度是否為零，可判斷流動為有旋或無旋流動2024/1/2511.總結(jié)：通過上述分析，表明流體微團(tuán)的運動由如下三部分組成：以速度V0

作整體平移運動；以角速度

繞某瞬時軸作整體旋轉(zhuǎn)運動以線應(yīng)變率（

x

y

z）作線變形運動和以剪切應(yīng)變率（

x

y

z

）作剪切變形運動注意：柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)系內(nèi)表達(dá)式不同2024/1/2512.§3流體力學(xué)連續(xù)方程流體力學(xué)研究思路：認(rèn)識現(xiàn)象

運用基本物理定律和假設(shè)，建立方程組

合理簡化，適定定解條件

求解

驗證流體力學(xué)基本方程組：反映流體運動所遵循的物理定律;是第一步，也是核心和關(guān)鍵一、流體運動時所應(yīng)遵循的物理定律質(zhì)量守恒律動量（矩）守恒律能量守恒熵增原理前兩個是力學(xué)的，后兩個是熱力學(xué)2024/1/2513.補充方程狀態(tài)方程本構(gòu)方程：物質(zhì)內(nèi)部不依賴外部條件的本身屬性；應(yīng)力張量與應(yīng)變率張量之間的關(guān)系對于一個具體的流動，不一定需要應(yīng)用所有的定律；積分形式的方程適合于求總體參量（如作用在某一面或某一物上的壓強(qiáng)合力）；微分形式的方程適合于求物理量的分布。2024/1/2514.二、連續(xù)方程（質(zhì)量守恒方程）任意瞬時充滿控制體的流體質(zhì)量：

單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量變化率：單位時間內(nèi)，流入流出控制體的凈質(zhì)量流量：質(zhì)量守恒在控制體中的表達(dá)：控制體中流體質(zhì)量對時間的變化率等于單位時間內(nèi)流經(jīng)全部控制體面的凈質(zhì)量流量；控制體中質(zhì)量增加量是同一時間內(nèi)流入與流出控制體的質(zhì)量差；2024/1/2515.因而有連續(xù)方程：雷諾輸運定理：任一瞬時系統(tǒng)內(nèi)隨流物理量X隨時間的變化率（隨流導(dǎo)數(shù)）等于該瞬時同形狀、同體積控制體內(nèi)物理量的變化率與穿過控制面的隨流物理量的流通率之和流體的質(zhì)量在運動過程中不生不滅，保持不變2024/1/2516.定常流動：流場中任意點密度不隨時間變化，則質(zhì)量也不隨時間變化：定常流動連續(xù)方程化簡為：不可壓縮流動：流場中任意一點密度不隨時間、空間變化變化2024/1/2517.三、一維流動的連續(xù)方程一維、二維與三維流動模型所有流動參數(shù)僅取決于一個位置坐標(biāo)的流動被稱為一維流動；例如：氣體在導(dǎo)管或管道中的運動氣流參數(shù)沿任意橫截面的分布是均勻的；流動各項參數(shù)（速度、壓強(qiáng)等）都只是一個空間坐標(biāo)的函數(shù)（定常條件）流動參數(shù)取決于兩（三）個位置坐標(biāo)的流動被稱為二（三）維流動一維定常流動連續(xù)方程：2024/1/2518.一維不可壓縮流動連續(xù)方程：四、二維、三維流動的連續(xù)方程直角坐標(biāo)系中連續(xù)方程利用奧-高定理，將曲面積分化為體積分變換積分微分順序則可得：2024/1/2519.控制體CV是任取的一個區(qū)域，此積分為零則有：直角坐標(biāo)系中三維流動連續(xù)方程：定常流動連續(xù)方程：不可壓縮流動連續(xù)方程：2024/1/2520.§４流體運動方程一、理想流體的運動方程（歐拉方程）從流體中取出一個平行六面體形狀的微元控制體，如圖所示不計粘性時，作用在該流體微團(tuán)上的力應(yīng)包括正壓力和質(zhì)量力。

x方向：Ｘ方向的壓力差為：Ｘ方向的質(zhì)量力為：2024/1/2521.根據(jù)牛頓第二定律：化簡得：y,z方向同理得：動量方程寫成矢量形式：或：2024/1/2522.利用奧－高斯定理將面積分改寫為體積分，同樣可以得到微分形式的動量方程。直角坐標(biāo)系下的公式為：無粘流體的動量方程，稱為歐拉（Euler）方程；后泛指無粘流動的流動方程組。2024/1/2523.二、歐拉方程的積分－伯努利方程(Bernoulli)一般情況下，歐拉方程只能用數(shù)值方法求解。特定條件下可以積分。所獲得的積分關(guān)系稱為伯努利方程Euler方程積分獲得Bernoulli方程條件：理想流體，定常流動作用在流體上的質(zhì)量力是有勢的；流體是正壓流體，即流體密度函數(shù)僅與壓強(qiáng)有關(guān)沿流線或渦線積分粘性流體、總流、2024/1/2524.以一維流動為例，歐拉方程為：對于定常不可壓流動：由于變量只有一個，所以偏微分號可以改寫為微分號：質(zhì)量力只考慮重力。當(dāng)x軸沿水平方向時，顯然fx=0。如果x軸不沿水平方向，則有：2024/1/2525.z是所研究的流體微團(tuán)或截面相對于某一基準(zhǔn)面的高度。整理上式得：積分： 計及重力作用的一維定常不可壓縮流動的伯努利方程。在二維及三維情況下，對定常不可壓縮流動同樣可得到伯努利方程。伯努利方程意義不可壓縮理想流體在定常流動中，單位質(zhì)量流體的動能、壓力勢能和重力勢能之和保持不變。2024/1/2526.上式各項乘以

，得到：此式可表述如下：不可壓縮理想流體在定常流動中，動壓、靜壓和余壓之和保持不變。動壓:具有壓強(qiáng)的量綱，也叫速壓。它不是真正的壓強(qiáng)，而是可以向靜壓轉(zhuǎn)化的潛壓；余壓

gz：也是可以轉(zhuǎn)化的潛壓；靜壓p:真正表現(xiàn)出來的壓強(qiáng)。另一種表達(dá)形式：Ｚ代表單位重力流體的位能，簡稱位置水頭；ｐ/ρg代表單位重力流體的壓能，簡稱壓強(qiáng)水頭；Ｖ２/２g代表單位重力流體的動能，簡稱速度水頭；2024/1/2527.對于氣體，不計質(zhì)量力，伯努利方程可表為：即壓力勢能與動能之和保持不變，表達(dá)了氣體運動的機(jī)械能守恒規(guī)律。駐點：速度為零的點；總壓：在駐點上，動能為零僅有壓力勢能，這時的壓力勢能稱為總壓。2024/1/2528.下面列舉幾個應(yīng)用伯努利方程的例子【例1】求從水箱的小孔中外射水流動的速度如圖所示，設(shè)小孔到水面的距離為H（保持不變）。水面壓強(qiáng)和小孔外環(huán)境壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)ｐａ。水面面積為σ１；小孔截面積為σ１；流速為ｖ２。

【解】以小孔所在高度為基準(zhǔn)面（z=0），根據(jù)伯努利方程又根據(jù)連續(xù)方程2024/1/2529.由以上兩式得：如果，上式簡化為：小孔出流速度與自由落體速度相同，而且與孔口的方向無關(guān)。2024/1/2530.【例2】導(dǎo)出風(fēng)速管測流速的公式流體的運動速度是流體力學(xué)中一個最基本的流動參數(shù)，目前已有很多方法測量它，其中結(jié)構(gòu)最簡單使用最普遍地就是皮托―靜壓管，也稱為風(fēng)速管。它由內(nèi)外兩層同心套管組成，頭部有一小孔與內(nèi)管相連，外面的套管外側(cè)也開了幾個小孔，所選擇的位置應(yīng)能保證測得靜壓（距離前緣2～3倍直徑為好）。內(nèi)外管分別連在U形測壓管的兩端，如圖所示。2024/1/2531.【解】根據(jù)伯努利方程（不計重力作用）得：式中ρ―被測氣流的密度；

ｌ―U形管中工作介質(zhì)的重度；Ｈｌ―U形管中液面的高度差上式只適用于氣體的低速流動2024/1/2532.三、動量方程的應(yīng)用動量方程積分形式：系統(tǒng)內(nèi)動量的變化率等于該瞬間作用在系統(tǒng)上的外力之和。是作用在控制體內(nèi)質(zhì)點系上所有外力的矢量和；是控制體內(nèi)流動動量對時間的變化率；是單位時間內(nèi)控制體流出動量與流入動量之差，應(yīng)用：求流體對外界環(huán)境的作用力2024/1/2533.三、納維爾－斯托克斯方程（Ｎ－Ｓ方程）無粘流體（理想流體）模型的應(yīng)用定常不可壓理想流體計算；流線型物體表面的壓強(qiáng)分布、升力等；達(dá)朗貝爾詳謬（d’Alembert）問題：考察理想流體中圓柱繞流所受阻力無粘流體圓柱繞流壓強(qiáng)合力為零，圓柱表面壓力在流動方向上的合力為零；即：圓柱在理想流體的繞流中竟無阻力！實驗結(jié)果表明圓柱表面上壓力的分布不是前后對稱的，圓柱實際上受到一定的阻力原因：未考慮粘性2024/1/2534.粘性流體中的應(yīng)力及廣義牛頓內(nèi)摩擦定律流體受到的力:體積力與表面力表面力包括法向力與切向力靜止流體或運動理想流體只有正壓力；流體運動時，由于粘性產(chǎn)生切向力；對于牛頓流體，假設(shè)應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系（應(yīng)力張量與應(yīng)變率張量之間成線性關(guān)系）；應(yīng)力與變形速率之間的線性關(guān)系在流體中各向同性，也即：應(yīng)力與變形速度的關(guān)系不會隨坐標(biāo)的變換而異；流體各向同性；當(dāng)流體靜止時，應(yīng)變率為零，無剪應(yīng)力存在，只有各方向相同的靜壓力。粘性流體的本構(gòu)關(guān)系可寫為：[p]為應(yīng)力張量；[E]為應(yīng)變率張量；[I]為二階單位張量；a,b為標(biāo)量，與運動狀態(tài)無關(guān)；2024/1/2535.粘性流動的動量方程也稱為Navier-Stokes方程，簡稱為N-S方程。2024/1/2536.N-S方程較歐拉方程多出兩項由粘性引起的摩擦力N-S方程為二階非線性偏微分方程組，求解困難；物理困難：物理問題復(fù)雜；物理邊界復(fù)雜；數(shù)學(xué)困難：非線性；方程耦合2024/1/2537.§5流體力學(xué)的理論模型及初邊值條件流體力學(xué)方程組的普適性；方程組非封閉性；流體力學(xué)方程的非線性，產(chǎn)生求解困難；合理的簡化假設(shè)-建立封閉的理論模型。一、流體力學(xué)的理論模型1、無粘性流體及粘性流體模型粘性流體是一切真實流體的模型；粘性效應(yīng)與物性（粘度）、流動（速度梯度）有關(guān)粘性效應(yīng)不十分顯著的流動，可忽略其粘性-無粘流動

既不引起流動圖象主要特征的太大偏差，又可使得對流體運動的分析帶來簡便。不考慮粘性的流體常被稱為理想流體。無粘模型不能解釋物體在流體中運動時產(chǎn)生的阻力以及管道中的壓力損失等問題。2024/1/2538.2、可壓縮流動與不可壓縮流動模型流體具有壓縮性；液體的可壓縮性較小，氣體的可壓縮性較大；當(dāng)流體的運動速度與音速之比低于0.3時，密度的相對變化率低于5％；此時可認(rèn)為流體是不可壓縮的，流動可視為不可壓縮的流動;密度為常數(shù)，方程組將減少一個未知量3、非定常流動和定常流動模型流場中物理量隨時間變化的流動都是非定常流動；流體的運動隨時間不變或變化不大時，常常假設(shè)流動定常。此時，方程中對時間的偏導(dǎo)數(shù)項為0：定常流動的研究比對非定常流動的研究要簡單得多，甚至在有些情況下微分形式的控制方程可以直接積分出來。2024/1/2539.4、有旋流動與無旋流動流體微團(tuán)運動的分析中給出了流體的旋度概念由旋度是否為零，可判斷流動為有旋或無旋流動有旋運動的動力學(xué)特征-渦量渦的產(chǎn)生、運動和發(fā)展以及渦與渦、流之間的相互作用；自然界中流動大多是有旋運動的；無旋運動的動力學(xué)特征-速度勢無旋運動是一種有廣泛應(yīng)用的簡化模型；無旋條件下就有速度位存在，可以用速度位這樣一個標(biāo)量函數(shù)來代替速度這個矢量函數(shù)，減少兩個未知量；控制方程為拉普拉斯方程，具有疊加性。2024/1/2540.5、一維、二維與三維流動模型所有流動參數(shù)僅取決于一個位置坐標(biāo)的流動被稱為一維流動；例如：氣體在導(dǎo)管或管道中的運動氣流參數(shù)沿任意橫截面的分布是均勻的；流動各項參數(shù)（速度、壓強(qiáng)等）都只是一個空間坐標(biāo)的函數(shù)（定常條件）流動參數(shù)取決于兩（三）個位置坐標(biāo)的流動被稱為二（三）維流動6、絕熱流動與等熵流動模型許多流動系統(tǒng)中均伴有傳熱現(xiàn)象；一個流動系統(tǒng)如果沒有熱量的輸入或生成，而且流動系統(tǒng)內(nèi)部也不存在熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，則這樣的流動稱為絕熱流動。如果流動是絕熱和可逆的，則流動是等