數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專(zhuān)題21.8 一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系-重難點(diǎn)題型（人教版）（學(xué)生版）

專(zhuān)題21.8一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系-重難點(diǎn)題型【人教版】【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值】【例1】（2020秋?普寧市期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）＝．【變式1-1】（2021?龍馬潭區(qū)模擬）設(shè)x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x2x1【變式1-2】（2020秋?解放區(qū)校級(jí)月考）一元二次方程x2+4x+1＝0的兩個(gè)根是x1，x2，則x2x1?x1x2的值為【變式1-3】（2020秋?淇濱區(qū)校級(jí)月考）已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則式子aab+b【題型2利用根與系數(shù)的關(guān)系求系數(shù)字母的值】【例2】（2021?成都模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，則k的值．【變式2-1】（2019秋?萍鄉(xiāng)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根為x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，則m＝．【變式2-2】（2020春?文登區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，則k的值是．【變式2-3】（2020秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α和β，若|α|+|β|＝4，求m【題型3利用根與系數(shù)的關(guān)系及代根法綜合求值】【例3】（2021?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根為α，β，那么α2+β﹣2αβ的值為（）A．7 B．6 C．﹣2 D．0【變式3-1】（2020秋?撫州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x12+3x2+x1x2+1的值為（）A．10 B．9 C．8 D．7【變式3-2】（2020秋?宜賓期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α4+3β的值是（）A．4 B．42 C．5 D．52【變式3-3】（2020秋?雅安期末）設(shè)x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的兩個(gè)根，則x13+4x22+x1﹣1的值為．【題型4構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【例4】（2021春?柯橋區(qū)月考）如果m、n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2021＝．【變式4-1】（2021春?崇川區(qū)月考）實(shí)數(shù)x，y分別滿足99x2+2021x＝﹣1．y2+2021y＝﹣99，且xy≠1．則xy+10x+1y=【變式4-2】（2021?郫都區(qū)校級(jí)模擬）已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，則ab+b+1b的值為【變式4-3】（2020秋?蘄春縣期中）已知實(shí)數(shù)α，β滿足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，則1α2+3β【題型5根與系數(shù)的關(guān)系與三角形綜合】【例5】（2020秋?西工區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．（1）求證：無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值．【變式5-1】（2020秋?吉安期中）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)？（3）若△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求m的值．【變式5-2】（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2；①求代數(shù)式x12+x22②若方程的一個(gè)根是6，x1和x2是一個(gè)等腰三角形的兩條邊，求等腰三角形的周長(zhǎng)．【變式5-3】（2021?永州模擬）已知關(guān)于x的方程x2?2mx+14n（1）說(shuō)明這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根的差的絕對(duì)值是8，且等腰三角形的面積是16，求m，n的值．【題型6根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問(wèn)題】【例6】（2020秋?武侯區(qū)校級(jí)期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且滿足數(shù)軸上x(chóng)1，x2所表示的點(diǎn)到2所表示的點(diǎn)的距離相等，則稱(chēng)這樣的方程為“關(guān)于2的等距方程”以下“關(guān)于2的等距方程”的說(shuō)法，正確的有．（填序號(hào)）①方程x2﹣4x＝0是關(guān)于2的等距方程；②當(dāng)5m＝﹣n時(shí)，關(guān)于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是關(guān)于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是關(guān)于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；④當(dāng)兩根滿足x1＝3x2，關(guān)于x的方程px2﹣x+3【變式6-1】（2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類(lèi)方程稱(chēng)為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問(wèn)題：（1）通過(guò)計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣23x+1＝0；（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．【變式6-2】（2020秋?石獅市期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類(lèi)方程的一般性結(jié)論，設(shè)其中一根為t，則另一根為2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2?92ac＝0；我們記“K＝b2?92ac”，即K＝0時(shí)，方程ax2+（1）以下為倍根方程的是；（寫(xiě)出序號(hào)）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若關(guān)于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函數(shù)y＝3x﹣8的圖象上，且關(guān)于x的一元二次方程x2?mx+【變式6-3】（2020秋?臺(tái)兒莊區(qū)期中）閱讀理解：材料一：若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱(chēng)這三個(gè)實(shí)教x，y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”．材料二：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分