人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 期中押題檢測卷（考試范圍：第十一-十三章）（解析版）

期中押題檢測卷（考試范圍：第十一-十三章）（人教版）選拔卷（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：120分）一、選擇題：本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2021·河北七年級期末）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．費(fèi)馬螺線C．科克曲線 D．斐波那契螺旋線【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2021·珠海市九洲中學(xué)八年級期中）一個(gè)缺角的三角形ABC殘片如圖所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，則這個(gè)三角形殘缺前的∠C的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．45° D．40°【答案】C【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，且∠A=60°，∠B=75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.【點(diǎn)睛】三角形內(nèi)角和定理是常考的知識點(diǎn).3．（2021·重慶·八年級期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．三角形的三條高的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部B．三角形的三條中線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部C．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部D．三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形外部【答案】A【分析】根據(jù)三角形的角平分線、高、中線的定義判斷即可．【詳解】A、三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部、外部或頂點(diǎn)上，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；B、三角形的三條中線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、三角形的三條角平分線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；D、三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形外部，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的角平分線、高、中線，關(guān)鍵是根據(jù)三條高線可以交在三角形的內(nèi)部或外部或一角的頂點(diǎn)解答．4．（2021·梁河縣第一中學(xué)八年級月考）打碎的一塊三角形玻璃如圖所示，現(xiàn)在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，最省事的方法是（）A．帶①②去 B．帶②③去 C．帶③④去 D．帶②④去【答案】A【分析】由已知條件可知，該玻璃為三角形，可以根據(jù)這4塊玻璃中的條件，結(jié)合全等三角形判定定理解答此題．【詳解】A選項(xiàng)帶①②去，符合三角形ASA判定，選項(xiàng)A符合題意；B選項(xiàng)帶②③去，僅保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不符合任何判定方法，選項(xiàng)B不符合題意；C選項(xiàng)帶③④去，僅保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不符合任何判定方法，選項(xiàng)C不符合題意；D選項(xiàng)帶②④去，僅保留了原三角形的兩個(gè)角和部分邊，不符合任何判定方法，選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考察全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，包括：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時(shí)要根據(jù)已知條件進(jìn)行選擇運(yùn)用．5．（2021·珠海市九洲中學(xué)八年級期中）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，那么這個(gè)多邊形是（）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】A【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式直接計(jì)算即可．【詳解】依題意設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則，解得．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，牢記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．6．（2021·重慶巴南·八年級期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的點(diǎn)，DE與BF相交于點(diǎn)G，BD＝BC，BE＝CF，若∠A＝40°，則∠DGF的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．70° D．110°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DBE＝70°，證明△DBE≌△BCF，可得∠BDE＝∠CBF，進(jìn)而根據(jù)∠DGF＝∠DBG+∠BDE＝∠DBG+∠CBF＝∠DBE，即可求得∠DGF的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DBE＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，在△DBE和△BCF中，，∴△DBE≌△BCF（SAS），∴∠BDE＝∠CBF，∴∠DGF＝∠DBG+∠BDE＝∠DBG+∠CBF＝∠DBE＝70°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，證明△DBE≌△BCF是解題的關(guān)鍵．7．（2021·重慶巴南·八年級期中）如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關(guān)系為（）A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+CF＝360°【答案】B【分析】分析題意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的內(nèi)角和、等量代換求解即可．【詳解】解：連接AD，在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，∵AB⊥AF，∴∠BAF＝90°，∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，將圖形中角的關(guān)系利用三角形的內(nèi)角和等于180°進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用等量代換是解題的關(guān)鍵．8．（2021·重慶巴南·八年級期中）如圖，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分線交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE＝3：1，則∠C等于（）A．28° B．25° C．22．5° D．20°【答案】A【分析】設(shè)∠CAE=x，則∠EAB=3x．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，得AE=CE，再根據(jù)等邊對等角，得∠C=∠CAE=x，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)∠CAE＝x，則∠EAB＝3x．∵AC的垂直平分線交AC于D，交BC于E，∴AE＝CE．∴∠C＝∠CAE＝x．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得∠C+∠BAC＝180°﹣∠B，即x+4x＝140°，x＝28°．則∠C＝28°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)性質(zhì)．9．（2021·北京九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖1，，是的中點(diǎn)，平分，求證：．小明是這樣想的：要證明，只需要在上找到一點(diǎn)，再試圖說明，即可．如圖2，經(jīng)過思考，小明給出了以下3種輔助線的添加方式．①過點(diǎn)作交于點(diǎn)；②作，交于點(diǎn)；③在上取一點(diǎn)，使得，連接；上述3種輔助線的添加方式，可以證明“”的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】①如圖1，過作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，證明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，證明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF=AB，則得出結(jié)論；②作EF=EC，交AD于點(diǎn)F，不能證明結(jié)論；③在AD上取一點(diǎn)F，使得DF=DC，連接EF，證明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°，證明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF=AB．則可得出結(jié)論．【詳解】解：①如圖1，過作，垂足為點(diǎn)，可得，則，平分，，在和中，，；，，，是的中點(diǎn)，，，在和中，，；，．②如圖2，作，交于點(diǎn)；，，，根據(jù)不能證明，這種輔助線的添加方式不能證明結(jié)論．③如圖3，在上取一點(diǎn)，使得，連接，在和中，，；，，是的中點(diǎn)，，，在和中，，；，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．10．（2021·四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級一模）如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，過點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的說法是正確的；無法證明△BPO≌△EDO．∴④的說法是錯(cuò)誤的；故答案為①②③，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。11．（2021·重慶·八年級期中）若點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)，則a=______．【答案】-3【分析】關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．據(jù)此可得a的值．【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，可得a+1=-2，∴a=-3．故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（-x，y）．12．（2021·河南駐馬店市·八年級期末）把一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動(dòng)對稱變換．在自然界和日常生活中，存在著很多這種圖形變換（如圖①）．結(jié)合軸對稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì)，你認(rèn)為在滑動(dòng)對稱變換過程中，兩個(gè)對應(yīng)三角形（如圖②）的對應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是_____________．【答案】對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等【分析】由已知條件，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和平移的基本性質(zhì)可得答案．【詳解】解：兩個(gè)對應(yīng)三角形的對應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等．故答案為：對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱及平移的性質(zhì)，正確把握對應(yīng)點(diǎn)之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2021·綿陽市·八年級期中）某等腰三角形一腰上的高與該腰上的中線重合，若該等腰三角形的頂角為n°，則n＝_____．【答案】60【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可得出答案．【詳解】解：∵等腰三角形一腰上的高與該腰上的中線重合，∴腰與底邊相等，∴此三角形為等邊三角形，∴等腰三角形的頂角為60°，即n＝60．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·河南八年級月考）在△ABC中，AB=5，BC=2，若AC的長是偶數(shù)，則△ABC的周長為________．【答案】11或13【分析】根據(jù)“三角形的兩邊的和一定大于第三邊，兩邊的差一定小于第三邊”進(jìn)行分析，解答即可．【詳解】解：因?yàn)?-2＜AC＜5+2，所以3＜AC＜7，因?yàn)锳C長是偶數(shù)，所以AC為4或6，所以△ABC的周長為：11或13.故答案為：11或13．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系．三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．15．（2021·廣東·八年級期中）如圖，∠ABC＝58°，AD垂直平分BC，垂足為D，BE平分∠ABD交AD于E，連接CE，若∠AEC＝m°，則m＝______．【答案】119【分析】先利用角平分線的定義得到∠EBC＝∠ABC＝29°，再由線段垂直平分線的定義得到EB＝EC，∠ADC＝90°，再利用三角形外角的性質(zhì)即可得到∠AEC＝∠ADC+∠C＝119°．【詳解】解：∵BE平分∠ABD，∠ABC＝58°，∴∠EBC＝∠ABC＝29°，∵AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∠ADC＝90°，∴∠C＝∠EBC＝29°，∴∠AEC＝∠ADC+∠C＝119°，即m＝119，故答案為：119．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．16．（2021·北京市·八年級期中）如圖，點(diǎn)E、F都在線段AB上，分別過點(diǎn)A、B作AB的垂線AD、BC，連接DE、DF、CE、CF，DF交CE于點(diǎn)G，已知AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5．如果△DEG的面積為S1，△CFG的面積為S2，則S1﹣S2＝_________________．【答案】【分析】先根據(jù)AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，得到AF＝BE，AD＝AF＝7.5，然后證△ADE≌△BEC得到S△DAE＝S△CBE，即可推出S1＝S△DAF﹣S△DAE﹣S△EFG，S2＝S△CBE﹣S△EFG﹣S△CBF，則S1﹣S2＝S△DAE+S△CBF由此求解即可【詳解】解：∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴∠A=∠B=90°∵AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，∴AF＝BE，∴AD＝AF＝7.5，在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴S△DAE＝S△CBE，∵S1＝S△DAF﹣S△DAE﹣S△EFG，S2＝S△CBE﹣S△EFG﹣S△CBF，∴S1﹣S2＝S△DAE+S△CBF＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．17．（2021·增城市初三月考）如圖，等邊三角形△ABC的邊長為6，l是AC邊上的高BF所在的直線，點(diǎn)D為直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，并將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AE，連接EF，則EF的最小值為_____．【答案】【分析】取AB的中點(diǎn)H，連接DH，由“SAS”可證△ADH≌△AEF，可得EF＝DH，由垂線段最短，可得當(dāng)DH⊥BF時(shí)，DH的長最短，即EF有最小值，即可求解．【解析】解：如圖，取AB的中點(diǎn)H，連接DH，∵△ABC是等邊三角形，BF是高，∴AF＝CF＝3，∠ABF＝30°，∵點(diǎn)H是AB中點(diǎn)，∴BH＝AH＝3，∴AH＝AF，∵將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AE，∴AE＝AD，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠DAH＝∠FAE，且AF＝AH，AD＝AE，∴△ADH≌△AEF（SAS）∴EF＝DH，∴當(dāng)DH⊥BF時(shí)，DH的長最短，即EF有最小值，∴DH的最小值為BH＝，∴EF的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的最值問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2021·重慶八中八年級期末）如圖，在中，，M、N為邊AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿MN翻折，翻折后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在直線BC上方，連接CD，，且，則當(dāng)是等腰三角形時(shí)，_____________度．【答案】40【分析】連接BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，得，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三種情況討論可得結(jié)果．【詳解】解：連接BD，如圖，由折疊可得，MB=MD，BN=DN，∴，∵∴∴∵∴∵是等腰三角形，∴分三種情況討論：①當(dāng)NC=DC時(shí)，又∴整理得，故此種情況不存在；②當(dāng)DN=DC時(shí)，∴解得，∴；∵∠AMD＞20°，∴此種情況須舍去；③當(dāng)DN=NC時(shí)，∵∴解得，∴綜上，的度數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活掌握分類討論思想是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共8個(gè)小題，19-24每題10分，25-26每題10分，共66分。19．（2021·湖南懷化市·八年級期末）如圖．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，連接EB．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：EB平分∠ABC．（3）求證：AE=EF．【答案】見解析【分析】（1）先作線段AB的垂直平分線DE，再延長BC即可；（2）先利用直角三角形的性質(zhì)求∠ABC=60，再垂直平分線的性質(zhì)得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）證明：先利用直角三角形的性質(zhì)求∠DEB=90-∠ABE=60再利用三角形外角的性質(zhì)求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，進(jìn)而得∠EFB=∠EBC，證得BE=EF，又因?yàn)锳E=BE，利用等量代換即可求得答案．【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）證明：∵DE是AB的垂直平分線∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30，∠ACB=90∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）證明：∵DE是AB的垂直平分線∴DE⊥AB∴∠DEB=90-∠ABE=60∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE=BE∴AE=EF【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和垂直平分線性質(zhì)得應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵利用尺規(guī)作圖，畫出圖形．20．（2021·湖北八年級期中）如圖是一個(gè)8×10的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）畫出△ABC關(guān)于直線OM對稱的△A1B1C1；（2）求出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）分別作關(guān)于直線OM對稱的點(diǎn)，順次連接，則即為所求；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，利用4個(gè)網(wǎng)格的面積減去三個(gè)三角形的面積即可求得△ABC的面積．【詳解】（1）如圖，分別作關(guān)于直線OM對稱的點(diǎn)，順次連接，則即為所求；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中的軸對稱作圖，求三角形面積，理解軸對稱的性質(zhì)和網(wǎng)格的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（2021·石家莊·八年級期中）如圖，在△ABC中，CG⊥AB，垂足為G，點(diǎn)D在CG的延長線上，且CD＝AB，連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥AD，且AF＝AD，連接BF并延長交AC于E．（1）求證：∠1＝∠2；（2）若AC＝6，EF＝1，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）21【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等可得∠ADG＝∠GAF，進(jìn)而證明△ADC≌△FAB，即可證明∠1＝∠2；（2）由（1）的結(jié)論可得∠1＝∠2，∠BGC＝90°，進(jìn)而可得∠FEC＝∠BGC＝90°，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵CG⊥AB，∴∠AGD＝90°，∴∠D+∠DAG＝90°，∵AF⊥AD，∴∠DAF＝90°，∴∠DAG+∠GAF＝90°，∴∠ADG＝∠GAF，在△ADC和△FAB中，，∴△ADC≌△FAB（SAS），∴∠1＝∠2；（2）解：∵△ADC≌△FAB，∴AC＝BF＝6，∵EF＝1，∴BE＝BF+EF＝7，∵∠1＝∠2，∠BGC＝90°，∴∠FEC＝∠BGC＝90°，∴BE⊥AC，∴S△ABC＝×6×7＝21．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．（2021·河南駐馬店市·八年級期末）閱讀下列材料并解答問題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“夢想三角形”例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是，，，這個(gè)三角形就是一個(gè)“夢想三角形”．反之，若一個(gè)三角形是“夢想三角形”，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍．（1）如果一個(gè)“夢想三角形”有一個(gè)角為，那么這個(gè)“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為．（2）如圖，已知，在射線上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），若，判定、是否是“夢想三角形”，為什么？【答案】（1）或；（2），都是“夢想三角形”，理由見解析【分析】（1）分兩種情形：當(dāng)108°是三角形的一個(gè)內(nèi)角的3倍，當(dāng)另外兩個(gè)內(nèi)角是3倍關(guān)系，分別求解即可．（2）根據(jù)“夢想三角形”的定義可以判斷：△AOB、△AOC都是“夢想三角形”．【詳解】解：（1）當(dāng)108°是三角形的一個(gè)內(nèi)角的3倍，則有這個(gè)內(nèi)角為36°，第三個(gè)內(nèi)角也是36°，故最小的內(nèi)角是36°，當(dāng)另外兩個(gè)內(nèi)角是3倍關(guān)系，則有另外兩個(gè)內(nèi)角分別為：54°，18°，最小的內(nèi)角是18°故答案為：36°或18°．（2）結(jié)論：，都是“夢想三角形”理由：，，，，為“夢想三角形”，，，，，，“夢想三角形”．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，“夢想三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．23.（2020?豐澤區(qū)校級期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)．【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°∠A，求出∠E∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分別列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）（180°+∠A）＝90°∠A∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A；（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ∠ABC∠MBC（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．綜上所述，∠A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．24．（2021·珠海市九洲中學(xué)八年級期中）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)α＝時(shí)，△AOD是等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）直角三角形，理由見解析；（3）或或【分析】（1）根據(jù)全等的性質(zhì)可得，根據(jù)已知條件∠OCD＝60°，即可證明△OCD是等邊三角形；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)可得，由（1）可得，進(jìn)而求得的度數(shù)，即可判斷△AOD的形狀；（3）根據(jù)題意以及全等的性質(zhì)，分別計(jì)算出，分三種情況討論即可．【詳解】（1）△BOC≌△ADC，，∠OCD＝60°，△OCD是等邊三角形；（2）是直角三角形，理由如下：△OCD是等邊三角形；當(dāng)α＝150°時(shí)，△BOC≌△ADC是直角三角形（3）△OCD是等邊三角形；,，，①當(dāng)時(shí)，解得②當(dāng)時(shí)，解得③當(dāng)時(shí)解得綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，是等腰三角形．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．25．（2021·廣東八年級期末）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個(gè)結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正確的一個(gè)是（請寫序號），并給出證明過程．【答案】（1）見解析；（2）見解析：（3）②，證明過程見解析【分析】（1）先證明，利用邊角邊證明，進(jìn)而即可求證；（2）由（1）的結(jié)論可得，進(jìn)而根據(jù)，即可證明；（3）作于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及全等的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得結(jié)論①，假設(shè)②成立利用反證法求證即可．【詳解】（1）∠ABC＝∠DBE＝90°，，即，，（SAS），（2），BE＝BD，（3）結(jié)論：②，理由如下：如圖，作于，于，，平分結(jié)論②成立若①成立，同理可得則,根據(jù)已知條件不能判斷則①不成立故答案為：②【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的的性質(zhì)與判定，理解角平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．26．（2021·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)八年級期中）