專題3.4 平面向量及其應(yīng)用（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)追蹤與預(yù)測（新高考專用）

第第頁專題3-4平面向量及其應(yīng)用01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧）02考情分析·解密高考03高頻考點(diǎn)·以考定法（三大命題方向+四道高考預(yù)測試題，高考必考·5分）命題點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)3平面向量綜合應(yīng)用高考猜題04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升）解三角形是新高考中必考點(diǎn)，一般以一道小題形式出現(xiàn)，一般作為選擇題或者是填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。真題多維細(xì)目表考點(diǎn)考向考題解三角形平面向量的數(shù)量積運(yùn)算平面向量的線性運(yùn)算③平面向量綜合應(yīng)用2023新全國Ⅰ卷T3新高考Ⅱ卷T13全國乙卷（文）T6全國甲（文）T3(理)T42022新高考Ⅱ卷T4全國乙卷T3全國甲T132021新高考Ⅱ卷T15新全國Ⅰ卷T10（多選）全國乙卷（文）T13（理）T14全國甲（文）T13（理）T142022新全國Ⅰ卷T32023乙卷（理）T12命題點(diǎn)1平面向量數(shù)量積運(yùn)算典例01（2023·全國新課標(biāo)Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．典例02（多選題）（2021·全國高考Ⅰ卷）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算典例01（2022·全國新高考Ⅰ卷）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．典例02（2020·新高考Ⅱ卷）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.命題點(diǎn)3平面向量綜合應(yīng)用典例011．（2023·全國高考乙卷）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.此類綜合題中難度較大。本題中對于向量與解析幾何結(jié)合問題一般來說采用數(shù)形結(jié)合思想，將向量的運(yùn)算通過角度轉(zhuǎn)化成數(shù)量積運(yùn)算，通過設(shè)夾角，將向量轉(zhuǎn)化成關(guān)于夾角的數(shù)量積，從而再利用輔助角公式即可。此類綜合題中難度較大。本題中對于向量與解析幾何結(jié)合問題一般來說采用數(shù)形結(jié)合思想，將向量的運(yùn)算通過角度轉(zhuǎn)化成數(shù)量積運(yùn)算，通過設(shè)夾角，將向量轉(zhuǎn)化成關(guān)于夾角的數(shù)量積，從而再利用輔助角公式即可。預(yù)計(jì)2024年高考會向量數(shù)量積運(yùn)算問題，并以單選或者是多選的形式出現(xiàn)一、單選題1．若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價(jià)轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B.2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上且為中點(diǎn)，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量加減法的幾何意義即三角形法則與平行四邊形法則，進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】點(diǎn)F在BE上且為中點(diǎn)，且E是對角線AC上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，故選：A.二、多選題3．已知向量，，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．存在，使得C．向量是與共線的單位向量 D．在上的投影向量為【答案】BCD【分析】根據(jù)向量關(guān)系依次計(jì)算判斷即可.【詳解】對A，若，則，則，故A錯誤；對B，要使，則，則，因?yàn)?，所以，故存在，使得，故B正確；對C，因?yàn)?，所以，又，所以向量是與共線的單位向量，故C正確；對D，因?yàn)闉閱挝幌蛄?，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BCD.（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）A·A·新題速遞1．（2022上·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期中）已知向量，且，則等于（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得到，再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解?所以，，.故選：A2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考二模）如圖，在中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量之間的共線關(guān)系，結(jié)合共線定理的推論，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得答案.【詳解】在中，設(shè)，由，可得，故．又是的中點(diǎn)，，所以，所以．由點(diǎn)三點(diǎn)共線，可得，解得，故．故選：A．3．（2023·杭州·模擬預(yù)測）已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直求出后，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算寫出的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的概念即可求解.【詳解】依題意得，所以，解得，所以，所以，則向量在向量上的投影向量為．故選：D．4．（2023上·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）在平行四邊形ABCD中，，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意，將與都用與表示，再求數(shù)量積即可.【詳解】在平行四邊形ABCD中，如圖所示：

因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)，即，，,因?yàn)椋?，因此?故選：A.5．（2023·河北滄州·校考三模）在中，若，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以為的外心，且為外接圓上一動點(diǎn)，又，，所以外接圓的半徑.如圖，作，垂足為，則.所以，當(dāng)與圓相切時(shí)，取最值，即在處取最大值6，在處取最小值，故選：B

二、多選題6．（2023上·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）設(shè)非零向量，滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，A錯誤，B正確.因?yàn)?，所以，所以，C正確，D錯誤.故選：BC.7．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？计谥校┮阎矫嫦蛄繚M足：，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面向量的夾角為B．與向量共線的單位向量為C．D．的最大值為【答案】AC【分析】根據(jù)條件，得到，再對各個選項(xiàng)逐一分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，得到，對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，所以，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋耘c向量共線的單位向量為，所以選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，得到，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，，所以選項(xiàng)D錯誤，故選：AC.8．（2023上·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，，A，B兩點(diǎn)不重合，則（

）A．的最大值為2B．的最大值為2C．若，最大值為D．若，最大值為4【答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，由已知A，B為單位圓上任意兩點(diǎn)，，，A正確；

B選項(xiàng)，設(shè)D為的中點(diǎn)，則，由于A，B兩點(diǎn)不重合，所以，則，故B錯誤；C選項(xiàng)，當(dāng)P，A，B共線時(shí)，，故C錯誤；D選項(xiàng)，當(dāng)P，A，B共線時(shí)，若坐標(biāo)分別為與或與時(shí)，兩點(diǎn)重合，此時(shí)，若坐標(biāo)不同時(shí)為與時(shí)，此時(shí)⊥，則，

故，故D正確.故選：ADBB·易錯提升一、單選題1．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，均為單位向量，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】，，則，即，則故選：C2．（2023·山西晉城·統(tǒng)考三模）已知向量，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用向量平行的坐標(biāo)公式計(jì)算，得出，進(jìn)而利用充分不必要條件的定義判斷即可．【詳解】若，則，解得或，則是的充分不必要條件；故選：A3．（2023·河北·聯(lián)考模擬預(yù)測）在菱形中，，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】作出菱形的草圖，根據(jù)圖形和已知條件，可知各向量之間夾角，再利用向量的數(shù)量積公式，及可求出結(jié)果.【詳解】如圖，由于在菱形中，，所以，,，，且；所以；；；.所以.故選：B.4．（2023·河北唐山·高三階段練習(xí)）若平面向量兩兩的夾角相等，且，則（

）A．2 B．5 C．2或5 D．或【答案】C【分析】分類討論，再由向量求模公式，即可求解.【詳解】當(dāng)兩兩的夾角均為0°時(shí)，顯然；當(dāng)兩兩的夾角均為120°時(shí)，，故選：C.5．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系

則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.故選：A.二、多選題6．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考模擬預(yù)測）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．與向量垂直且模長是2的向量是和B．與向量反向共線的單位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量與向量所成的角是銳角，則的取值范圍是【答案】BC【分析】利用平面向量的運(yùn)算性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】對于A，向量的模不符合，故A不正確.對于B，向量的相反向量為，與相反向量同向的單位向量是，故B正確.對于C，向量在向量上的投影為，與向量同向的單位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正確.對于D，時(shí)，向量與同向共線，夾角為0，不是銳角，故D不正確.故選：BC.7．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知單位向量，，則下列命題正確的是（

）A．向量，不共線，則B．若，，且，則C．若，記向量，的夾角為θ，則θ的最小值為.D．若，則向量在向量上的投影向量是【答案】AC【詳解】單位向量，，對于A，向量，不共線，，因此，A正確；對于B，，，且，則，即，而，解得，于是，B錯誤；對于C，由得：，解得，因此，而，于是