百所名校高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題_第1頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精江西省百所名校2020屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題一、選擇題1.全集,,,則()A. B。 C。 D?!敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)已知條件先求出集合和集合,再求出集合的補(bǔ)集,再運(yùn)用集合的并集運(yùn)算即可?!驹斀狻恳?yàn)椋?所以,故。故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算,屬于容易題。2。歐拉是科學(xué)史上一位最多產(chǎn)的杰出數(shù)學(xué)家,為數(shù)學(xué)界作出了巨大貢獻(xiàn),其中就有歐拉公式:(為虛數(shù)單位).它建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)間接關(guān)系,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.結(jié)合歐拉公式,則復(fù)數(shù)的模為()A. B。 C。 D?!敬鸢浮緽【解析】【分析】由題意可得,代入并對(duì)其化簡(jiǎn),再代入模長(zhǎng)計(jì)算公式即可?!驹斀狻恳?yàn)?所以,從而。故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的求法,屬于容易題。3.空氣質(zhì)量AQI指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表:AQI指數(shù)值空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染如圖所示的是某市11月1日至20日AQI指數(shù)變化的折線圖:下列說法不正確的是()A.這天中空氣質(zhì)量為輕度污染的天數(shù)占B。這天中空氣質(zhì)量為優(yōu)和良的天數(shù)為天C.這天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略低于D.總體來說,該市11月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A,天中AQI指數(shù)值高于,低于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故A正確;對(duì)于B,天中AQI指數(shù)值有天低于,故B正確;對(duì)于C,天中AQI指數(shù)值有天低于,天高于,根據(jù)圖可知中位數(shù)略高于,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由圖可知該市11月上旬的空氣質(zhì)量的確比中旬的空氣質(zhì)量要好些,故D正確。故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)列表中的折線圖來解決問題,屬于較易題.4.已知,則()A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式對(duì)要求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn),再結(jié)合已知條件即可?!驹斀狻?故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了已知一個(gè)三角函數(shù)值,求另一個(gè)式子的值,考查了利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)并求值,屬于較易題。5。已知雙曲線的一條漸近線的斜率,則的離心率的取值范圍是()A。 B。 C. D?!敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)題意可得,再利用雙曲線中的的關(guān)系進(jìn)行求解即可?!驹斀狻恳?yàn)?所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率以及雙曲線中的的關(guān)系,屬于較易題。6。下圖是為了統(tǒng)計(jì)某班名學(xué)生假期期間平均學(xué)習(xí)時(shí)間而設(shè)計(jì)的程序框圖,其中表示第位學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間,則判斷框中可以填入的條件是()A。 B. C. D?!敬鸢浮緾【解析】【分析】由題意可得到流程圖的功能是求35位學(xué)生的平均學(xué)習(xí)時(shí)間,再根據(jù)流程圖來判斷循環(huán)結(jié)束條件即可?!驹斀狻孔x取流程圖可知,當(dāng)計(jì)算了前位學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間的和后,再執(zhí)行后,得,此時(shí)應(yīng)滿足判斷框的條件;當(dāng)計(jì)算了前位學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間的和后,再執(zhí)行后,得,此時(shí)應(yīng)不滿足判斷框條件.故應(yīng)填入“”。故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖中的循環(huán)條件的判斷,屬于一般題.7.在正方體中,為的中點(diǎn),為正方形的中心,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D?!敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),代入數(shù)量積的夾角公式即可。【詳解】如圖,在正方體中,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則,,,,所以,,故。因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為,所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量求異面直線的夾角,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于一般題。8。已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,為了得到函數(shù)的圖象,需要將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則的最小值為()A。 B. C。 D?!敬鸢浮緼【解析】【分析】根據(jù)題中給的圖像,可求出和,再根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換即可得.【詳解】由圖可知,即,所以,,故,因?yàn)?,所以,因?yàn)?所以,即.因?yàn)?,所以為了得到函?shù)的圖象,需要將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度。故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像以及圖像變換,屬于一般題。9.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且滿足,且當(dāng)時(shí),,則()A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)且滿足,可得到函數(shù)的周期,再計(jì)算出一個(gè)周期的和,即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù),所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)?,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以是以為周期周期函數(shù).又,,,,,,,,所以,故。故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì):奇偶性,對(duì)稱性,周期性,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于一般題。10.中國(guó)古典文學(xué)四大名著《三國(guó)演義》《水滸傳》《西游記》和《紅樓夢(mèng)》的作者分別為羅貫中、施耐庵、吳承恩和曹雪芹。某次考試中有一道四大名著與作者的連線題,連對(duì)一個(gè)得一分,則同學(xué)甲隨機(jī)連線得分為零的概率為()A。 B. C. D?!敬鸢浮緾【解析】【分析】先隨機(jī)連線對(duì)應(yīng)有種,再找出全都沒連對(duì)的情況有9種,代入概率計(jì)算公式即可.【詳解】隨機(jī)連線對(duì)應(yīng)有種,全都沒連對(duì)的情況有:第一個(gè)連線錯(cuò)了有種,再由第一個(gè)選的那個(gè)對(duì)應(yīng)的再去選有種,剩余2個(gè)連錯(cuò)有1種,所以共有,所以所求概率.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算,考查了特殊要求的排列問題,屬于一般題.11。已知拋物線的焦點(diǎn)為,圓,過作直線,與上述兩曲線自上而下依次交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線的斜率為()A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè),,則,,再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知,利用基本不等式求出最小值且等號(hào)成立條件可求出,,從而可得到,即可得到直線的斜率?!驹斀狻吭O(shè),,則,.∵,∴,由拋物線的性質(zhì)知,∴,則,∴.又∵,得,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,此時(shí),∴,∴,∴,又∵,故。故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線性質(zhì),以及基本不等式求最值時(shí)等號(hào)成立的條件,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于較難題.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為,對(duì)恒成立,且,則不等式的解集為()A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)函數(shù),再利用的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】由,可得,即,令,則令,,所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)。不等式,等價(jià)于,即,,所求不等式即,由于在上是單調(diào)遞減函數(shù),所以,解得,且,即,故不等式的解集為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用構(gòu)造新函數(shù)的單調(diào)性求解不等式,考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,考查了分析問題的邏輯思維能力,屬于困難題.二、填空題13.若非零向量,滿足,,則與的夾角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)與的夾角為,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為,由,可得,又因?yàn)椋?,解?故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算,考查了向量垂直的轉(zhuǎn)化,屬于較易題.14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______?!敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯扔梢阎獥l件畫出約束條件可行域,根據(jù)可行域即可求出的最大值.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足約束條件,則由題意可得當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)有最大值,聯(lián)立,解得,即,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最大值,屬于較易題.15.在中,角的對(duì)邊分別為,若,,,則的面積為______?!敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯扔煽傻?再由余弦定理可得,代入面積公式即可?!驹斀狻恳?yàn)?,所以,整理?又,所以,。因?yàn)?,所以,解得,所以。故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn),余弦定理以及面積公式,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于一般題。16.在四棱錐中,平面,,點(diǎn)是矩形內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn),且,,直線與平面所成的角為.記點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為,則______;當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí),三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先根據(jù)已知條件判斷出點(diǎn)的軌跡為圓弧,再求此時(shí)的,即可求出;判斷三棱錐的體積最小時(shí)即點(diǎn)位于時(shí),此時(shí)三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn),所以半徑為的一半,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖,因?yàn)槠矫?,垂足?則為直線與平面所成的角,所以.因?yàn)?所以,所以點(diǎn)位于底面矩形內(nèi)的以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,記點(diǎn)的軌跡為圓弧。連接,則.因?yàn)椋?所以,則弧的長(zhǎng)度,所以。當(dāng)點(diǎn)位于時(shí),三棱錐的體積最小,又,∴三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn)。因?yàn)?所以三棱錐的外接球的表面積.故答案為:;【點(diǎn)睛】本題考查了由線面垂直得到線面角,判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡,外接球的半徑及表面積的計(jì)算,屬于較難題。三、解答題17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足成等差數(shù)列。(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:?!敬鸢浮浚?)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)由題意可得,再根據(jù)已知與的關(guān)系求通項(xiàng)公式;(2)把(1)的求通項(xiàng)公式代入求出通項(xiàng)公式,再利用裂項(xiàng)求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和為即可證明.【詳解】(1)解:由題意有,當(dāng)時(shí),,所以。當(dāng)時(shí),,,兩式相減得,整理得,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以的通項(xiàng)公式為。(2)證明:因?yàn)?所以,。因?yàn)?所以?!军c(diǎn)睛】本題考查了與的關(guān)系求通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)求和方法,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于一般題.18.今年1月至2月由新型冠狀病毒引起的肺炎病例陡然增多,為了嚴(yán)控疫情傳播,做好重點(diǎn)人群的預(yù)防工作,某地區(qū)共統(tǒng)計(jì)返鄉(xiāng)人員人,其中歲及以上的共有人.這人中確診的有名,其中歲以下的人占。(1)請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有%的把握認(rèn)為是否確診患新冠肺炎與年齡有關(guān);確診患新冠肺炎未確診患新冠肺炎合計(jì)50歲及以上4050歲以下合計(jì)10100(2)為了研究新型冠狀病毒的傳染源和傳播方式,從名確診人員中隨機(jī)抽出人繼續(xù)進(jìn)行血清的研究,表示被抽取的人中歲以下的人數(shù),求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.參考表:0.100。050.0100。0050.0012。7063。84166357。87910。828參考公式:,其中.【答案】(1)填表見解析;有%的把握認(rèn)為是否確診患新冠肺炎與年齡有關(guān)(2)詳見解析【解析】【分析】(1)由題意補(bǔ)充列聯(lián)表,再代入可求出即可判斷;(2)根據(jù)題意先確定的值可能為,然后分別求出它們的對(duì)應(yīng)的概率,根據(jù)求出的概率列出分布列以及求出期望值.【詳解】解:(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下:確診患新冠肺炎未確診患新冠肺炎合計(jì)50歲以上7334050歲以下35760合計(jì)1090100。所以有%的把握認(rèn)為是否確診患新冠肺炎與年齡有關(guān)。(2)根據(jù)題意,的值可能為.,,,,故的分布列為0123故人?!军c(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算以及隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于一般題.19。如圖,在直五棱柱,中,,,,,,。(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)先由題意可得且,從而有平面,即有,再結(jié)合即可證明平面;(2)以為原點(diǎn),以的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,然后寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相關(guān)平面的法向量,代入數(shù)量積求夾角公式即可?!驹斀狻浚?)證明:因?yàn)槲謇庵鶠橹蔽謇庵?,所?又,且,所以平面。因?yàn)槠矫?,所?因?yàn)?,,所以平面.(2)解:因?yàn)?所以是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,又,,,,所以,且兩兩垂直.以為原點(diǎn),以的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,.設(shè)平面的法向量為,則令,得平面的一個(gè)法向量為。設(shè)平面的法向量為,則令,得平面的一個(gè)法向量為。設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則。【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明,空間向量法求二面角的余弦值,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于較難題.20。已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為。(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)已知點(diǎn),在軸上是否存在一點(diǎn),使得曲線上另有一點(diǎn),滿足,且?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。【答案】(1)(2)存在;或【解析】【分析】(1)設(shè),根據(jù)已知條件可得,化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)的軌跡的方程;(2)假設(shè)在軸上存在符合題意的點(diǎn),則點(diǎn)在線段的中垂線上,分三種情況討論直線的斜率即:斜率不存在;斜率為零;斜率不為零;求出滿足條件點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】解:(1)設(shè),由題可得,化簡(jiǎn)得,即,所以曲線的方程為.(2)假設(shè)在軸上存在符合題意的點(diǎn),則點(diǎn)在線段的中垂線上,由題意知直線的斜率顯然存在.當(dāng)直線的斜率為時(shí),則,。設(shè),則,。由,解得,此時(shí).當(dāng)直線的斜率不為時(shí),設(shè)直線的方程為。聯(lián)立得,則,解得,即的中點(diǎn)為。線段的中垂線為,令,得,即.所以,,所以。由形式可以猜想,故而,得,經(jīng)驗(yàn)證可知滿足上式.下邊驗(yàn)證是否還有別解:令,上式可化為,利用韋達(dá)定理知此方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根,所以,此時(shí).綜上,可得或?!军c(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解,以及存在性問題的求解,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于較難題.21。已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)是否存在正實(shí)數(shù),使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí),值域也為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)存在;【解析】【分析】(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)已知條件在處的切線方程為可求出,,即得到,再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論即可。(2)先假設(shè)存在符合題意的正實(shí)數(shù),再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),可得到它的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間,從而可求得的最小值大于或等于零即可.【詳解】解:(1)∵,∴.又∵,∴,∴.∴,∴.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,得.令,得,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。(2)假設(shè)存在符合題意的正實(shí)數(shù),由,得.∵在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增?!?,且當(dāng)時(shí),,∴存在唯一的實(shí)數(shù),使得,即①,∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.∴.由,得,∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),由,得,此時(shí),把,代入①

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