百所名校高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江西省百所名校2020屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理)試題一、選擇題1.全集，，，則(）A. B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件先求出集合和集合，再求出集合的補(bǔ)集，再運(yùn)用集合的并集運(yùn)算即可?！驹斀狻恳?yàn)椋?所以，故。故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于容易題。2。歐拉是科學(xué)史上一位最多產(chǎn)的杰出數(shù)學(xué)家,為數(shù)學(xué)界作出了巨大貢獻(xiàn)，其中就有歐拉公式:（為虛數(shù)單位).它建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)間接關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.結(jié)合歐拉公式，則復(fù)數(shù)的模為（)A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】由題意可得,代入并對(duì)其化簡，再代入模長計(jì)算公式即可。【詳解】因?yàn)?所以，從而。故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的求法，屬于容易題。3.空氣質(zhì)量AQI指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：AQI指數(shù)值空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染如圖所示的是某市11月1日至20日AQI指數(shù)變化的折線圖：下列說法不正確的是（)A.這天中空氣質(zhì)量為輕度污染的天數(shù)占B。這天中空氣質(zhì)量為優(yōu)和良的天數(shù)為天C.這天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略低于D.總體來說，該市11月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，天中AQI指數(shù)值高于，低于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的，故A正確;對(duì)于B，天中AQI指數(shù)值有天低于,故B正確;對(duì)于C,天中AQI指數(shù)值有天低于，天高于，根據(jù)圖可知中位數(shù)略高于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖可知該市11月上旬的空氣質(zhì)量的確比中旬的空氣質(zhì)量要好些，故D正確。故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)列表中的折線圖來解決問題，屬于較易題.4.已知，則()A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式對(duì)要求的式子進(jìn)行化簡，再結(jié)合已知條件即可?！驹斀狻?故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了已知一個(gè)三角函數(shù)值，求另一個(gè)式子的值，考查了利用誘導(dǎo)公式化簡并求值，屬于較易題。5。已知雙曲線的一條漸近線的斜率，則的離心率的取值范圍是（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再利用雙曲線中的的關(guān)系進(jìn)行求解即可。【詳解】因?yàn)?所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率以及雙曲線中的的關(guān)系，屬于較易題。6。下圖是為了統(tǒng)計(jì)某班名學(xué)生假期期間平均學(xué)習(xí)時(shí)間而設(shè)計(jì)的程序框圖，其中表示第位學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間，則判斷框中可以填入的條件是（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由題意可得到流程圖的功能是求35位學(xué)生的平均學(xué)習(xí)時(shí)間，再根據(jù)流程圖來判斷循環(huán)結(jié)束條件即可?！驹斀狻孔x取流程圖可知，當(dāng)計(jì)算了前位學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間的和后，再執(zhí)行后,得，此時(shí)應(yīng)滿足判斷框的條件；當(dāng)計(jì)算了前位學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間的和后，再執(zhí)行后，得，此時(shí)應(yīng)不滿足判斷框條件.故應(yīng)填入“”。故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖中的循環(huán)條件的判斷，屬于一般題.7.在正方體中，為的中點(diǎn)，為正方形的中心,則異面直線與所成角的余弦值為(）A. B. C. D。【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入數(shù)量積的夾角公式即可。【詳解】如圖，在正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為，則，，,,所以,，故。因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量求異面直線的夾角，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題。8。已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,為了得到函數(shù)的圖象,需要將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,則的最小值為（)A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中給的圖像，可求出和，再根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換即可得.【詳解】由圖可知，即，所以，，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)?所以,即.因?yàn)?，所以為了得到函?shù)的圖象，需要將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度。故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像以及圖像變換，屬于一般題。9.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足,且當(dāng)時(shí),，則（）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)且滿足,可得到函數(shù)的周期，再計(jì)算出一個(gè)周期的和，即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以是以為周期周期函數(shù).又，,,，，，,，所以，故。故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性，對(duì)稱性,周期性，考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于一般題。10.中國古典文學(xué)四大名著《三國演義》《水滸傳》《西游記》和《紅樓夢》的作者分別為羅貫中、施耐庵、吳承恩和曹雪芹。某次考試中有一道四大名著與作者的連線題，連對(duì)一個(gè)得一分，則同學(xué)甲隨機(jī)連線得分為零的概率為（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】先隨機(jī)連線對(duì)應(yīng)有種,再找出全都沒連對(duì)的情況有9種，代入概率計(jì)算公式即可.【詳解】隨機(jī)連線對(duì)應(yīng)有種，全都沒連對(duì)的情況有：第一個(gè)連線錯(cuò)了有種，再由第一個(gè)選的那個(gè)對(duì)應(yīng)的再去選有種，剩余2個(gè)連錯(cuò)有1種,所以共有,所以所求概率.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算，考查了特殊要求的排列問題,屬于一般題.11。已知拋物線的焦點(diǎn)為,圓,過作直線,與上述兩曲線自上而下依次交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí),直線的斜率為（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè),，則，，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，利用基本不等式求出最小值且等號(hào)成立條件可求出,，從而可得到，即可得到直線的斜率?！驹斀狻吭O(shè),，則，.∵，∴,由拋物線的性質(zhì)知，∴，則，∴.又∵，得,∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，,此時(shí),∴，∴，∴,又∵，故。故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線性質(zhì)，以及基本不等式求最值時(shí)等號(hào)成立的條件,考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較難題.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，對(duì)恒成立，且,則不等式的解集為（）A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】由，可得，即，令，則令，，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)。不等式，等價(jià)于，即，,所求不等式即,由于在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，且，即,故不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用構(gòu)造新函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，考查了分析問題的邏輯思維能力，屬于困難題.二、填空題13.若非零向量，滿足，,則與的夾角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)與的夾角為,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，可得,又因?yàn)?，所以，解?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算，考查了向量垂直的轉(zhuǎn)化，屬于較易題.14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯扔梢阎獥l件畫出約束條件可行域，根據(jù)可行域即可求出的最大值.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足約束條件，則由題意可得當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)有最大值,聯(lián)立，解得,即,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最大值，屬于較易題.15.在中，角的對(duì)邊分別為，若,，，則的面積為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯扔煽傻?再由余弦定理可得,代入面積公式即可?！驹斀狻恳?yàn)椋裕淼?又，所以，。因?yàn)?，所以,解得，所以。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，余弦定理以及面積公式,考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題。16.在四棱錐中，平面，，點(diǎn)是矩形內(nèi)(含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，，直線與平面所成的角為.記點(diǎn)的軌跡長度為，則______;當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】(1).（2).【解析】【分析】先根據(jù)已知條件判斷出點(diǎn)的軌跡為圓弧，再求此時(shí)的，即可求出；判斷三棱錐的體積最小時(shí)即點(diǎn)位于時(shí),此時(shí)三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn)，所以半徑為的一半,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖,因?yàn)槠矫妫棺銥?則為直線與平面所成的角,所以.因?yàn)?所以，所以點(diǎn)位于底面矩形內(nèi)的以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上,記點(diǎn)的軌跡為圓弧。連接，則.因?yàn)椋?所以，則弧的長度，所以。當(dāng)點(diǎn)位于時(shí),三棱錐的體積最小,又,∴三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn)。因?yàn)?所以三棱錐的外接球的表面積.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了由線面垂直得到線面角，判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡，外接球的半徑及表面積的計(jì)算,屬于較難題。三、解答題17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足成等差數(shù)列。(1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：?！敬鸢浮浚?）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)由題意可得，再根據(jù)已知與的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2)把（1）的求通項(xiàng)公式代入求出通項(xiàng)公式,再利用裂項(xiàng)求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和為即可證明．【詳解】（1)解：由題意有，當(dāng)時(shí)，,所以。當(dāng)時(shí)，，,兩式相減得，整理得,所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為。（2）證明：因?yàn)?所以,。因?yàn)?所以?！军c(diǎn)睛】本題考查了與的關(guān)系求通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)求和方法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題．18.今年1月至2月由新型冠狀病毒引起的肺炎病例陡然增多,為了嚴(yán)控疫情傳播，做好重點(diǎn)人群的預(yù)防工作，某地區(qū)共統(tǒng)計(jì)返鄉(xiāng)人員人,其中歲及以上的共有人.這人中確診的有名，其中歲以下的人占。(1）請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有%的把握認(rèn)為是否確診患新冠肺炎與年齡有關(guān);確診患新冠肺炎未確診患新冠肺炎合計(jì)50歲及以上4050歲以下合計(jì)10100（2)為了研究新型冠狀病毒的傳染源和傳播方式,從名確診人員中隨機(jī)抽出人繼續(xù)進(jìn)行血清的研究,表示被抽取的人中歲以下的人數(shù)，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.參考表:0.100。050.0100。0050.0012。7063。84166357。87910。828參考公式:，其中.【答案】（1）填表見解析；有％的把握認(rèn)為是否確診患新冠肺炎與年齡有關(guān)（2)詳見解析【解析】【分析】(1)由題意補(bǔ)充列聯(lián)表，再代入可求出即可判斷；（2)根據(jù)題意先確定的值可能為，然后分別求出它們的對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)求出的概率列出分布列以及求出期望值.【詳解】解：（1）列聯(lián)表補(bǔ)充如下：確診患新冠肺炎未確診患新冠肺炎合計(jì)50歲以上7334050歲以下35760合計(jì)1090100。所以有%的把握認(rèn)為是否確診患新冠肺炎與年齡有關(guān)。（2)根據(jù)題意，的值可能為.，，，,故的分布列為0123故人?！军c(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算以及隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題.19。如圖，在直五棱柱，中，，，，，，。（1）證明：平面；(2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1）先由題意可得且，從而有平面，即有，再結(jié)合即可證明平面；（2）以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,然后寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)平面的法向量,代入數(shù)量積求夾角公式即可。【詳解】（1）證明:因?yàn)槲謇庵鶠橹蔽謇庵?，所?又，且，所以平面。因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，所以平面.（2)解:因?yàn)?所以是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，又，，,，所以，且兩兩垂直.以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S,軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則，，,，,,，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得平面的一個(gè)法向量為。設(shè)平面的法向量為，則令，得平面的一個(gè)法向量為。設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則。【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明，空間向量法求二面角的余弦值,考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較難題.20。已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為。（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2)已知點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn),使得曲線上另有一點(diǎn)，滿足，且？若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮浚?）（2）存在；或【解析】【分析】(1）設(shè)，根據(jù)已知條件可得,化簡即可得到點(diǎn)的軌跡的方程;（2）假設(shè)在軸上存在符合題意的點(diǎn),則點(diǎn)在線段的中垂線上,分三種情況討論直線的斜率即：斜率不存在；斜率為零；斜率不為零；求出滿足條件點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】解：（1）設(shè)，由題可得，化簡得,即,所以曲線的方程為.（2）假設(shè)在軸上存在符合題意的點(diǎn)，則點(diǎn)在線段的中垂線上，由題意知直線的斜率顯然存在.當(dāng)直線的斜率為時(shí)，則,。設(shè)，則,。由，解得，此時(shí).當(dāng)直線的斜率不為時(shí),設(shè)直線的方程為。聯(lián)立得，則，解得,即的中點(diǎn)為。線段的中垂線為，令，得，即.所以，，所以。由形式可以猜想，故而，得，經(jīng)驗(yàn)證可知滿足上式.下邊驗(yàn)證是否還有別解:令,上式可化為，利用韋達(dá)定理知此方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，所以，此時(shí).綜上，可得或?！军c(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，以及存在性問題的求解，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較難題.21。已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.（2)是否存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1）答案不唯一，具體見解析（2)存在；【解析】【分析】(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)已知條件在處的切線方程為可求出,，即得到，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論即可。（2）先假設(shè)存在符合題意的正實(shí)數(shù)，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),可得到它的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間，從而可求得的最小值大于或等于零即可.【詳解】解:（1）∵，∴.又∵，∴，∴.∴，∴.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得.令，得,故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。(2）假設(shè)存在符合題意的正實(shí)數(shù),由,得.∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增?！?，且當(dāng)時(shí),，∴存在唯一的實(shí)數(shù),使得，即①，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞增.∴.由，得，∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由,得，此時(shí),把，代入①