轉(zhuǎn)動慣量和切變模量的測量

轉(zhuǎn)動慣量和切變模量的測量DH4601A三線擺和扭擺實驗儀實驗講義杭州大華科教儀器研究所杭州大華儀器制造有限公司橫梁轉(zhuǎn)動桿圖1橫梁轉(zhuǎn)動桿圖1三線擺示意圖轉(zhuǎn)動慣量和切變模量的測量轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度，它與剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。對于形狀簡單的均勻剛體，測出其外形尺寸和質(zhì)量，就可以計算其轉(zhuǎn)動慣量。對于形狀復(fù)雜、質(zhì)量分布不均勻的剛體，通常利用轉(zhuǎn)動實驗來測定其轉(zhuǎn)動慣量。三線擺法和扭轉(zhuǎn)擺法是其中的兩種辦法。為了便于與理論計算值比較，實驗中的被測剛體均采用形狀規(guī)則的剛體。［實驗?zāi)康模?．加深對轉(zhuǎn)動慣量概念和平行軸定理等的理解；2．了解用三線擺和扭擺測轉(zhuǎn)動慣量的原理和方法；3．掌握周期等量的測量方法［實驗裝置和原理簡介］一、三線擺圖1是三線擺示意圖。上、下圓盤均處于水平，懸掛在橫梁上。橫梁由立柱和底座（圖中未畫出）支承著。三根對稱分布的等長懸線將兩圓盤相連。撥動轉(zhuǎn)動桿就可以使上圓盤小幅度轉(zhuǎn)動，從而帶動下圓盤繞中心軸00'作扭擺運動。當(dāng)下圓盤的擺角0很小，并且忽略空氣摩擦阻力和懸線扭力的影響時，根據(jù)能量守恒定律或者剛體轉(zhuǎn)動定律都可以推出下圓盤繞中心軸00＇的轉(zhuǎn)動慣量Jo為1）j=m^^

0 4冗2H1）式中，m為下圓盤的質(zhì)量；r和R分別為上下懸點離各自圓盤中心的距離;Ho為平衡時上下圓盤間的垂直距離；To為下圓盤的擺動周期，g為重力加速度。北京地區(qū)的重力加速度為9.80ms-2。將質(zhì)量為m的待測剛體放在下圓盤上，并使它的質(zhì)心位于中心軸00'上。測出此時的擺動周期T和上下圓盤間的垂直距離H,則待測剛體和下圓盤對中心軸的總轉(zhuǎn)動慣量J1為

”（m+m）gRr_J= 0 T21 4兀2H待測剛體對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量J與J0和J］的關(guān)系為J=J1－J0利用三線擺可以驗證平行軸定理。平行軸定理指出：（2）（3）如果一剛體對通過質(zhì)心的某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J（2）（3）如果一剛體對通過質(zhì)軸的轉(zhuǎn)動慣量Jx為xJx=Jc+md2式中，m為剛體的質(zhì)量。實驗時，將二個同樣大小的圓柱體放置在對稱分布于半徑為叫的圓周上的二個孔上，如圖2所示。測出二個圓柱體對中心軸00'的轉(zhuǎn)動慣量J。X如果測得的Jx值與由（4）式右邊計算得的結(jié)果比X較時的相對誤差在測量誤差允許的范圍內(nèi)（W5%）,則平行軸定理得到驗證。二、扭擺將一金屬絲上端固定，下端懸掛一剛體就構(gòu)成扭擺。圖3表示扭擺的懸掛物為圓盤。在圓盤上施加一外力矩，使之扭轉(zhuǎn)一角度e。由于懸線上端是固定的，懸線因扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生彈性恢復(fù)力矩。外力矩撤去后，在彈性恢復(fù)力矩M作用下圓盤作往復(fù)扭動。忽略空氣阻尼力矩的作用，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動定理有M=J』 ⑸式中，j為剛體對懸線軸的轉(zhuǎn)動慣量，e為角加速度。彈性恢復(fù)力矩m轉(zhuǎn)角e0的關(guān)系為m=-ke （6）K=扭擺的運動微分方程為nGd432L7)8)可見，圓盤作簡諧振動。其周0期K=扭擺的運動微分方程為nGd432L7)8)可見，圓盤作簡諧振動。其周0期T為 0JT=2n o-0 K

若懸線的扭擺模量K已知，則測出圓盤的擺動周期T0后，由（9）式就可計算出圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。若K未知，可利用一個對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量J］已知的物體將它附加到圓盤上，并使其質(zhì)心位于扭擺懸線上，組成復(fù)合體。此復(fù)合體對以懸線為軸的轉(zhuǎn)動慣量為J°+J］復(fù)合體的擺動周期T為10)由（9）式和（10）式可得11)1211)12)0JT2—T2 104兀2JT2—T2 10測出T和T后就可以計算圓盤的轉(zhuǎn)動慣量J和懸線的切變模型G。圓環(huán)對懸線軸的轉(zhuǎn)動慣量J1有以下計算J1式中，m1為圓環(huán)的質(zhì)量；=1（D2+J1式中，m1為圓環(huán)的質(zhì)量；812D1和D2分別為圓環(huán)的內(nèi)直徑和外直徑。實驗任務(wù)］1、 用三線擺測定下圓盤對中心軸00'的轉(zhuǎn)動慣量和圓柱體對其質(zhì)心軸的

轉(zhuǎn)動慣量。要求測得的圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量值與理論計算值（J二1mr2,片為圓21柱體半徑）之間的相對誤差不大于5%。2、 用三線擺驗證平行軸定理。3、 用扭擺測定圓盤的轉(zhuǎn)動慣量和切變模量。實驗儀器］三線擺及扭擺實驗儀、水準(zhǔn)儀、米尺、游標(biāo)卡尺、物理天平及待測物體等。儀器使用］1、 打開電源，程序預(yù)置周期為T=30（數(shù)顯），即：擋光桿來回經(jīng)過光電門的次數(shù)為T=2n+1次。2、 據(jù)具體要求，若要設(shè)置10次，先按“置數(shù)”開鎖，再按下調(diào)（或上調(diào)）改變周期T,再按“置數(shù)”鎖定，此時，即可按執(zhí)行鍵開始計時，信號燈不停閃爍，即為計時狀態(tài)，這時顯示的是計數(shù)的次數(shù)；當(dāng)物體經(jīng)過光電門的周期次數(shù)達到設(shè)定值，數(shù)顯將顯示具體時間，單位“秒”。須再執(zhí)行“10”周期時，無須重設(shè)置，只要按“返回”即可回到上次剛執(zhí)行的周期數(shù)“10”，再按“執(zhí)行”鍵，便可以第二次計時。（當(dāng)斷電再開機時，程序從頭預(yù)置30次周期，須重復(fù)上述步驟）［實驗注意事項］1、 測量前，根據(jù)水準(zhǔn)泡的指示，先調(diào)整三線擺底座臺面的水平，再調(diào)整三線擺下圓盤的水平。測量時，擺角0盡可能小些，以滿足小角度近似。防止三線擺和扭擺在擺動時發(fā)生晃動，以免影響測量結(jié)果。2、 測量周期時應(yīng)合理選取擺動次數(shù)。對三線擺，測得R、r、叫和H0后，由（1）式推出J0的相對誤差公式，使誤差公式中的2AT0/T0項對AJ0/J0的影響比其它誤差項的影響小作為依據(jù)來確定擺動次數(shù)。估算時，Am取0.02g，時間測量誤差A(yù)t取0.03s，AR、Ar和AH°可根據(jù)實際情況確定。對于扭擺，先由（13）式估算人的相對誤差，然后由（11）式推出J0的相對誤差公式。根據(jù)使T0或（T）的相對誤差項對AJ0/J0的貢獻比J］的相對誤差貢獻小的原則，確定擺動次數(shù)。估算時，Am1取0.02g，AD］和AD2均取0.04mm，J°取400g?cm2，At取0.03s，T0和T1可先大概測出。［思考題］1、 三線擺在擺動過程中要受到空氣的阻尼，振幅會越來越小，它的周期是否會隨時間而變？2、 在三線擺下圓盤上加上待測物體后的擺動周期是否一定比不加時的周期大？試根據(jù)（1）式和（2）式分析說明之。3、 如果三線擺的三根懸線與懸點不在上、下圓盤的邊緣上，而是在各圓盤內(nèi)的某一同心圓周上，則（1）式和（2）式中的r和R各應(yīng)為何值？4、 證明三線擺的機械能為!je2+丄嗎匹e2，并求出運動微分方程，從20 2H而導(dǎo)出（1）式。動力學(xué)綜合設(shè)計性實驗裝置—雙線擺(DH4605DP)實驗講義杭州大華科教儀器研究所

杭州大華儀器制造有限公司

雙線擺實驗講義0下，將自由擺動，在無阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的動能和勢能將相互轉(zhuǎn)化，但總量將保持為一恒定的值，可視為一無休止的循環(huán)運動。設(shè)雙線擺擺錘運動至最低點時橫桿的中心位置為直角坐標(biāo)系的原點，并以此時原點所在的平面為零勢能面。雙線擺運動系統(tǒng)的幾何關(guān)系圖如圖2所示。根據(jù)該圖可得a=arccos'，式中S為以d/2為半徑，園心為9所對應(yīng)的弦。所以有:Ld9h=L-Lsina=L[1-sinarccos(sin—)]L2如果我們?nèi)=d,則

00h=L(1-cos—)=2Lsin2— '24由于，當(dāng)擺角0很小時，可近似認(rèn)為0.sin0，則2)0h=L(1-cos—)=2)23)桿的轉(zhuǎn)動動能為E=mp0gh1mgL028004)1d0

E=I( )23)桿的轉(zhuǎn)動動能為E=mp0gh1mgL028004)1d0

E=I( )2，k20dt根據(jù)能量守恒定律，得5)d0 1 __I( )2+一mgL02=mgh0dt 8 0 0 0 0式中h為初始擺的最大高度。兩邊對t求一階導(dǎo)數(shù),0并除以d0，得:

dtd20 mgL0+0 0—=0，dt2 4I0(7)(7)式是一簡諧振動方程，有O20人％，所以4I08)I8)T=4兀 0—，0 'mgL0mgLI= 0T2，0 16兀2 0根據(jù)(9)式，實驗時先調(diào)節(jié)擺線長等于兩線間的距離，即d=L0，并測出L0,旋轉(zhuǎn)一小角度，測量周期T°,代入(9)式，求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動慣量。2.測量待測物體的轉(zhuǎn)動慣量將質(zhì)量為m的待測物體固定在細(xì)桿上，由(9)式知系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量為10)I=(m0+mx)叭T10)待測物的轉(zhuǎn)動慣量為(m0+mx)gL0T2-I16兀2 0(m0+mx)gL0T216兀22,(ii)16兀2 0根據(jù)(11)式，實驗時先測出待測物體的質(zhì)量，固定在細(xì)桿的質(zhì)心處，調(diào)節(jié)擺線長等于兩線間的距離，即d=L0，并測出L°,旋轉(zhuǎn)一小角度，測量周期T,代入(9)式，求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動慣量Ix。x//m圖3平行軸定理x圖3平行軸定理用雙線擺驗證平行軸定理用雙線擺法還可以驗證平行軸定理。若質(zhì)量為m1的物體繞過其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移c動距離x時(如圖3所示)，則此物體對新軸oo，的轉(zhuǎn)動慣量為i=i+mx2。這一結(jié)論稱為轉(zhuǎn)動慣量的平xc1行軸定理。實驗時將質(zhì)量均為m，形狀和質(zhì)量分布完全相同的兩個圓柱體對稱地放置2在均勻細(xì)桿上。按同樣的方法，測出兩小圓柱體和細(xì)桿的轉(zhuǎn)動周期T，則可求x出每個柱體對中心轉(zhuǎn)軸OO，的轉(zhuǎn)動慣量：TOC\o"1-5"\h\z(m+2m)gL (m+2m)gL mgL (12)I= 0 rlT2—I= 0 1 lT2—-0 lT2， (丄2)x 32兀2 x 0 32兀2 x 16兀2 0如果測出小圓柱中心與細(xì)桿質(zhì)心之間的距離x以及小圓柱體的半徑R，則由平x行軸定理可求得(丄3)(丄3)I'=mx2+mR2 ，x121x比較I與廠的大小，可驗證平行軸定理。xx二、實驗內(nèi)