河北省唐山市灤南縣宋道口鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

灤南縣宋道口中學(xué)2020-2021年度第一學(xué)期期末試卷

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁(yè)，總分120分，考試時(shí)間120分鐘

一、選擇題(每小題3分)

1.某校合唱團(tuán)共有40名學(xué)生，他們的年齡如下表所示:

年齡/歲11121314

人數(shù)/人812173

則合唱團(tuán)成員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()

A.13,12.5B,13,12C,12,13D,12,12.5

【答案】A

【解析】

【分析】

找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

【詳解】解：根據(jù)眾數(shù)的定義在這組數(shù)據(jù)中13出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為13,

則中位數(shù)是(12+13)+2=12.5,

合唱團(tuán)成員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別為13,12.5.

故選A.

2.用配方法解方程3x2-6x+l=0,則方程可變形為()

112

A.(x-3)2=—B.3(x-1)2=—C.(3x-1)2=1D.(x-1)2=—

333

【答案】D

【解析】

【分析】

方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1,常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，變形即可得到結(jié)果.

詳解】3x2-6X+1=0方程變形得：x-2x=-L

3

2?

配方得：x2-2x+l=—,即(x-1)2=—,

33

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

4

3.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，過點(diǎn)A作軸，垂x足為點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸上,

尤

則A3C的面積為()

A.3B.2C.1.5D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

過點(diǎn)C作CH1AB于點(diǎn)H,由題意易得AB〃y軸，則有CH=OB,設(shè)點(diǎn),進(jìn)而可得

4

AB=-,CH=0B=,然后根據(jù)三角形面積計(jì)算可求解.

a

【詳解】解：過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,如圖所示：

,/軸，

；.AB〃y軸，

.*.CH=OB,

設(shè)點(diǎn)則有48=3,0/=08=。，

kci)a

114

SARC=—CH-AB=—xax—=2,

極22a

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，DE是AABC的中位線，延長(zhǎng)DE至F使EF=DE,連接CF,則“CEF：S四邊形BCED的值為【】

A.1：3B,2：3C.1：4D.2：5

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】：DE為4ABC的中位線，

.*.AE=CE

在&ADE-^ACFE中，

AE=CE

；｛NAED=NCEF,

DE=FE

.,.△ADE^ACFE(SAS)

??SAADE-SACFE

\屁為4ABC的中位線，

.1.DE//BC

/.△ADE^AABC,且相似比為1：2

?'?SAADE：SAABC=1：4

SAADE+S四世彩BCED=SAABC,

SAADE：SBSKBCED=1：3

SACEF：SW邊彩BCED=1：3

故選A.

5.關(guān)于x一元二次方程犬-3%+加=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

999

A.m>—B.m<—C.m——D.m<——

4444

【答案】B

【分析】

根據(jù)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故△>（）,得不等式解答即可.

【詳解】試題分析：由已知得4>0,即（-3）2-4m>0,

9

解得m<—.

4

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式.

6.若;=與，則下列不正確是（）

23

x+y5x2x-y1x.

A.=-B.------=-C.-------=-D.------=2

y3x+y5y3y-九

【答案】c

【解析】

分析】

根據(jù)比例設(shè)x=2k,y=3k,然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.

【詳解】解：鹿號(hào)

???設(shè)x=2k,y=3k,

x+y__2k+3k_5

A、故本選項(xiàng)結(jié)論正確；

y3k3'

X2k_2

B、，故本選項(xiàng)結(jié)論正確；

x+y22+335

x-y.2k—3k1

C、,故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤;

y3k3

X_2k

D、=2,故本選項(xiàng)結(jié)論正確.

y-^3k—2k

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出x、y求解是解題的關(guān)鍵.

k

7.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丁=履+1（原0）和），=一（后0）的圖象大致是（）

x

【解析】

【分析】

分兩種情況討論，當(dāng)k>0時(shí)，分析出一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限；再分析出k<0時(shí)，一次函數(shù)和反比

例函數(shù)所過象限，符合題意者即為正確答案.

k

【詳解】①當(dāng)k>0時(shí)，y=kx+l過第一、二、三象限，y二一過第一、三象限;

x

②當(dāng)k<0時(shí)，y=kx+l過第一、二、四象限，y=K過第二、四象限，

X

觀察圖形可知，只有C選項(xiàng)符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了依據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，正確掌握各函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

8.下列判斷正確的個(gè)數(shù)有（）

①平分弦的直徑垂直于弦；②圓內(nèi)接平行四邊形是菱形；③一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一

半；④如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓周角相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)垂徑定理可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及矩形的判定定理可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角

定理可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系可對(duì)④進(jìn)行判斷；綜上即可得答案.

【詳解】平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦；故①錯(cuò)誤；

???四邊形內(nèi)接于圓，

，四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，

???四邊形是平行四邊形，

...對(duì)角相等,

四邊形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，

.?.四邊形是矩形，故②錯(cuò)誤，

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，故③正確，

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓周心相等，故④錯(cuò)誤，

綜上所述：正確的判斷為③，共1個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、矩形的判定及弧、弦、圓心角的關(guān)系，

平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦；并且平分弦所對(duì)的兩條??；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周

角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；在同圓或等圓中，如果兩條弦相

等，那么他們所對(duì)的圓周心相等：熟練掌握相關(guān)定理及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.如圖，RJA8C中，NBCA=90。，將RtA/18。繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。得到心ZWC',點(diǎn)在直

線AC上，若8c=1,則點(diǎn)C和△AB'C外心之間的距離是（）

A.1B.>/3-1C.2-73D.百

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)AABC，外心為點(diǎn)O,因?yàn)椤鰽BC，是直角三角形，所以外心在斜邊AB，的中點(diǎn)，易求AO的長(zhǎng)和AC的長(zhǎng),

進(jìn)而可求出OC的長(zhǎng)，即點(diǎn)C和AABC，外心之間的距離.

【詳解】解:如圖：

?.?將RtAABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。得到R3ABC,點(diǎn)B'在直線AC上,

NC'AB'=NB'AB=30°,

,/BC=1,

.?.AB=AB'=2,

.,.AC=V^2-BC2=鄧,

設(shè)AABC，外心為點(diǎn)O,/C=90。,

外心O在斜邊AB，的中點(diǎn)，

.,.AO=—AB/=1,

2

;.oc=6-i,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，熟知銳角三角形的外

心在三角形的內(nèi)部：直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部，是

解題的關(guān)鍵.

10.如圖，A經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)8(-4,0),交)，軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。為第二象

限內(nèi)圓上一點(diǎn).則NCDO的正弦值是()

3

B.

4

4

D.

45

【答案】A

【解析】

【分析】

連接BC,且NBOC=90。，用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，ZCDO與NOBC均為OC所對(duì)圓周角，所以

sinZCDO=sinZOBC,即/CDO的正弦值可求.

【詳解】解：如下圖所示，連接BC,

?；OA過原點(diǎn)O,且NBOC=90°,OB=4,OC=3,

2

...根據(jù)勾股定理可得：BC=VOB+OC2=5-

又：同弧所對(duì)圓周角相等，ZCDO與ZOBC均為0C所對(duì)圓周角，

v0C3

ZCDO=ZOBC,故sinZCDO=sinZOBC=—=-,

BC5

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考察了勾股定理、同弧所對(duì)圓周角相等以及求角的正弦值，解題的關(guān)鍵在于找出/CDO與

ZOBC均為0C所對(duì)圓周角，求出NOBC的正弦值即可得到答案.

11.如圖，在紙上剪一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型，若圓的半徑r=l,扇形

的半徑為R,扇形的圓心角等于90。，則R的值是（）

B.R=3C.R=4D.R=5

【答案】C

【解析】

【分析】

利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算.

【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)是：也述=變

1802

圓的半徑r=l,則底面圓的周長(zhǎng)是2n,

兀R

圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)則得到:---2IT,

2

R

——2

2

即：R=4,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐底面周長(zhǎng)與展開扇形弧長(zhǎng)關(guān)系,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握?qǐng)A錐底面周長(zhǎng)與展

開扇形之間關(guān)系.

12.RSABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,若以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可

能為（）

A.3B.4C.4.8D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出BC=8,再利用面積法求出CD的長(zhǎng)，即可得到答案.

【詳解】如圖，RSABC中，NC=90。，AC=6,AB=10,

.-.BC=7AB2-AC2=8.

???SABC^^ACBC^^ABCD,

.?.CD=g^=4.8,

10

...當(dāng)r24.8時(shí)，以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，三角形的面積法求斜邊上的高線，直線與圓相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，理解以點(diǎn)C為

圓心/?為半徑的圓與AB所在直線相交先求出最短距離進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.

13.若拋物線y=(x—m)2+(m+l)的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍為()

A.m>lB.m>0C.m>—1D.-l<m<0

【答案】B

【解析】

【分析】

利用y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)在第一象限，所以頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都

大于0列出不等式組.

【詳解】頂點(diǎn)坐標(biāo)(m,m+l)在第一象限，則有

m>0

加+1〉0解得：m>°

故選B.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).

14.如圖，。。的直徑AB垂直于弦C。，垂足是E,/A=22.5。，。。的半徑為4,C。的長(zhǎng)為（）

B.4C.472D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

連接0C,由題意易得NCOE=2NA=45。，然后根據(jù)垂徑定理及勾股定理可求解.

【詳解】連接0C,如圖所示:

NCOE=2NA=45°（同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半）,

...COE是等腰直角三角形，又因?yàn)?C是斜邊，且0C=4,

直角邊CE=2&，

又?:CD1OB,

是中點(diǎn),

???CD=2CE=4亞；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角、圓心角、弧之間的關(guān)系及垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角、圓心角、弧之間的

關(guān)系及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

15.如圖A,B,C是0上的三個(gè)點(diǎn)，若NAOC=100，則/ABC等于（）

A

B

A.50°B.80°C.100°D.130°

【答案】D

【解析】

試題分析：根據(jù)圓周的度數(shù)為360。，可知優(yōu)弧AC的度數(shù)為360。-100。=260。，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角

等于它所對(duì)的圓心角的一半，可求得NB=130。.

故選D

考點(diǎn)：圓周角定理

16.已知二次函數(shù),=依2+歷;+c+2的圖象如圖所示，頂點(diǎn)為（-1,0）,下列結(jié)論：①abc<0；

②。2—4QC=0;③a>2；?4a-2b+c>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知:拋物線開口向上，所以a>0,對(duì)稱軸為x=-l,所以b>0,拋物線與y軸

交于正半軸，所以c+2>2,c>0,所以abc>0,故①錯(cuò)誤;

因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以。2—4a（c+2）=0,所以②錯(cuò)誤;

因?yàn)閷?duì)稱軸為x=-l,所以所以人=2。，把點(diǎn)（-1,0）代入解析式得：a-b+c+2=0,所以

a-2a+c+2=0,所以a=c+2>2,所以③正確；

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得：當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c+2>2,所以公一28+。>0,所以④正確.

因此共有③④正確，故選B.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

二、填空題（每小題3分）

17.如圖，A8C與VAB'C'是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA=2A4，=8.則

=-----------

【答案】18

【解析】

【分析】

由A3C與43'。'是位似圖形且由。4=244'.可得兩位似圖形的位似比為2：3,所以兩位似圖形的

面積比為4：9,又由A6C的面積為8,得A'3'C的面積為18.

【詳解】解：A6C與AB'C是位似圖形，

.?.△ABCsAA'B'C',

?SA灰.」叫（叫

"sA,gcyA:B'）[OA'）'

OA=2AA',

.OA2AA'_2

"OA'~2AA'+AA'_3'

^AABC~8，

.8

SA'B'C

：.sA,BC~18,

經(jīng)檢驗(yàn)：SA，B，C，=18符合題意.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，掌握利用位似圖形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

18.一個(gè)圓錐體母線長(zhǎng)是6,底面半徑是4,則它的側(cè)面積是.

【答案】247r.

【解析】

【分析】

先求出圓錐的底面周長(zhǎng)，然后再跟進(jìn)扇形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：；圓錐的底面周長(zhǎng)為2X4n=8兀

圓錐側(cè)面的扇形的弧長(zhǎng)為8n

圓錐側(cè)面的面積為，x87cx6=24n.

2

故答案為24兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的認(rèn)識(shí)和扇形面積的計(jì)算，掌握扇形的面積為弧長(zhǎng)與母線積的一半.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是直線x=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。尸的半徑為1,直線。。切。尸于點(diǎn)

Q,則線段。。的最小值為.

【答案】

【解析】

【分析】

連接OP、PQ,根據(jù)切線的性質(zhì)得PQ，OQ,再根據(jù)勾股定理可知=，再根據(jù)垂線段最短可

得OP最短為2,即得出OQ的最小值.

【詳解】如圖，連接OP、PQ,

?..直線OQ與。P相切，

PQ1OQ,

:.在RtOPQ中，OQ=《O產(chǎn)-PC=Jo產(chǎn)T.

...當(dāng)OP最小時(shí)0Q最小.

又..3是直線42上的動(dòng)點(diǎn)，

.?.0P的最小值為2,

此時(shí)。Q=萬(wàn)二i=g.

故答案為：也.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離為垂線最短.了解切線的性質(zhì)：圓的切線垂

直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

20.已知：如圖，在^ABC中，點(diǎn)Ai,Bi,Ci分另IJ是BC、AC、AB的中點(diǎn)，Az，B2,C2分別是A1C1,

A1B1的中點(diǎn)，依此類推....若的周長(zhǎng)為1,則△AnBnCn的周長(zhǎng)為____.

圖①圖②圖③

【答案】—

2"

【解析】

分析：由于Ai、Bi、Ci分別是AABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，就可以得出△AIBIC|SAABC,且相似

比為工，ZkA2B2c2saABC的相似比為,，依此類推△AnBnCnS^ABC的相似比為

242"

詳解：VAHBi、Ci分別是AABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，

AAIBBAICI、BiCi是aABC的中位線,

AAAIBICI^AABC,且相似比為工，

2

VA2>B2、C2分別是△AIBICI的邊BICI、CIAI、AiBi的中點(diǎn),

...△A2B2c2s△AIBICI且相似比為上，

4

.,.△A2B2C2^AABC的相似比為L(zhǎng)

4

依此類推△AnB"CnsZ\ABC的相似比為,

2"

VAABC的周長(zhǎng)為1,

**?AAnBnCn的周長(zhǎng)為.

T

故答案為

2"

點(diǎn)睛：運(yùn)用三角形的中位線的性質(zhì)得出△AiBiGsaABC,且相似比為Z\A2B2c2sAABC的相似比為

2

依此類推△AnBnCnSaABC的相似比為

42"

三.解答題（每題10分）

21.如圖,在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE±BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點(diǎn)，且NAFE=/B

(2)若AB=8,AD=6用由=4垂),求AE的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析（2）6

【解析】

【分析】

（1）利用對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似△ADFs^DEC.

（2）利用AADFs^DEC,可以求出線段DE的長(zhǎng)度；然后在在RtZiADE中，利用勾股定理求出線段AE

的長(zhǎng)度.

【詳解】解：（1）證明：I?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,AD〃BC

NC+/B=180。，/ADF=NDEC

VZAFD+ZAFE=180°,ZAFE=ZB,

NAFD=NC

在△ADF與ADEC中，；NAFD=NC,NADF=/DEC,

.,.△ADF^ADEC

（2）?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.CD=AB=8.

由（1）知AADFs/XDEC,

.ADAF

??-----=------，

DECD

.aADCD6A8

AF473

在Rt/kADE中，由勾股定理得：AE=jDE2_AD2=屁_（6國(guó)=6

22.某校為了解學(xué)生“體育大課間”的鍛煉效果，中考體育測(cè)試結(jié)束后，隨機(jī)從學(xué)校720名考生中抽取部分學(xué)

生的體育測(cè)試成績(jī)繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖.

試根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，回答下列問題:

（1）共抽取了名學(xué)生的體育測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

（2）隨機(jī)抽取的這部分學(xué)生中男生體育成績(jī)的平均數(shù)是,眾數(shù)是；女生體育成績(jī)的中位數(shù)

是.

（3）若將不低于27分的成績(jī)?cè)u(píng)為優(yōu)秀，估計(jì)這720名考生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生大約是多少？

【答案】（1）80

（2）26.42727

（3）396

【解析】

【分析】

（1）由條形圖知體育測(cè)試的總?cè)藬?shù)；

（2）先算男生的總成績(jī)?cè)俪阅猩目側(cè)藬?shù)，由眾數(shù)和中位數(shù)的定義求出答案；

（3）先算出80人中的優(yōu)秀學(xué)生，再估算這720名考生中，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生的人數(shù).

【詳解】（1）1+2+2+44-9+14+5+2+1+1+1+2+3+11+13+7+1+1=80

（2）男生體育成績(jī)的平均數(shù)為：

（22x1+23x2+24x2+25x4+26x9+27x14+28x5+29x2+30x1）-40=26.4

得27分的男生人數(shù)最多

??.男生體育成績(jī)的眾數(shù)是27分；

把女生的成績(jī)從小到大排列第20個(gè)數(shù)和第21個(gè)數(shù)分別是27和27,這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為27

，女生體育成績(jī)的中位數(shù)是27分；

（3）720名考生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生大約為720x々+'=720x空=396人.

8080

23.如圖，已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,3）,。人的半徑為1,過A作直線I平行于x軸，點(diǎn)P

在I上運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圓上時(shí)，求線段OP的長(zhǎng).

（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,3）時(shí)，試判斷直線OP與。A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

■y

O

【答案】（I）3亞；（2）直線0P與。A相離，詳見解析.

【解析】

【分析】

（1）要注意考慮兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算其距離；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得圓心到直線的距離，再進(jìn)一步根據(jù)數(shù)量關(guān)系判斷其位置關(guān)系.

【詳解】解：（1）如圖，設(shè)1與y軸交點(diǎn)為C.

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圓上時(shí)，有P、P2兩個(gè)位置，

???o/]=V32+i2=Vio；

=3&.

（2）連接OP,過點(diǎn)A作AM_LOP,垂足為M.

VP（4,3）,

；.CP=4,AP=2.

在RtAOCP中

OP=V42+32=5-

VZAPM=ZOPC,ZPMA=ZPCO=90°,

.,.△PAM^APOC.

.PAAM

.?=1f

POoc

2AM

——-----，

53

：.AM=->\,

5

...直線OP與。A相離.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

24.如圖，一次函數(shù)〉=依+匕與反比例函數(shù)y=—的圖象交于點(diǎn)A(1,6),B(3,n)兩點(diǎn).與x軸交于點(diǎn)

x

C.

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)M在x軸上，且^AMC的面積為6,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)在y軸上找一點(diǎn)P,使%+PB的值最小，直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】

(1)y=-2x+8；(2)M(6,0)或(2,0)；(3)(0,5).

【解析】

【分析】

m6

(1)把A(1,6)代入y=一即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，把B(3,n)代入y=一即可求出B的坐標(biāo)，

xx

把A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b,求出a、b,即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)△AMC的面積為6,求得CM=2,根據(jù)C的坐標(biāo)即可求得M的坐標(biāo)；

(3)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接AB交y軸于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P是使得PA+PB的值最小的點(diǎn)，由A

點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)A，的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求出直線A，B的函數(shù)表達(dá)式，令x=O即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).

m

【詳解】解：(1)把A(1,6)代入y=-

得：m=6,

即反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=9，

X

把B(3,n)代入y=9

x

得：n=2,

即B的坐標(biāo)為(3,2),

把A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b得：

k+b=6

3k+b=2'

解得：k=-2,b=8,

即一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x+8；

(2)???一次函數(shù)y=-2x+8與x軸交于點(diǎn)C,

AC(4,0),

VA(1,6),點(diǎn)M在x軸上，且aAMC的面積為6,

；.CM=2,

AM(6,0)或(2,0)；

(3)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，B交y軸于點(diǎn)P,如圖所示.

在y軸上任取一點(diǎn)P'(不同于點(diǎn)P),

,:A、A，關(guān)于y軸對(duì)稱，

AAP=A'P,,

在小P，AB中，有4尸+叱=的+BP>AB=AP+BP=AP+BP

.?.當(dāng)A\P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB最小.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,6),

.?.點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(-1,6).

設(shè)直線A-B的解析式為y=ax+b,

將點(diǎn)A'(-1,6)、點(diǎn)B(3,2)代入到y(tǒng)=ax+b中,

—a+b=6

得《c，解得：〈

3a+b—2b=5

直線AB的解析式為y=-x+5,

令x=0,則有y=5.

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5),

故答案為(0,5).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，最短路徑以及三角形

的面積公式，解題的關(guān)鍵是：(1)算出B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求得CM=2；(3)找到P點(diǎn)的位置.本題屬于中

檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上求出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

25.如圖，AB為。O的直徑，C為。。上一點(diǎn)，NABC的角平分線交于點(diǎn)D.過點(diǎn)D作DELBC,交

BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)試判斷DE與。O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)過點(diǎn)D作DFLAB于點(diǎn)F,連接CD,若CD=2,BD=2百，求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)相切，理由見解析；(2)-7T--.

32

【解析】

【分析】

(1)連接OD,利用角平分線的定義及圓的基本性質(zhì)證明OD〃BE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZDEB=ZEDO=90°,進(jìn)而得出答案；

(2)再連接AD,根據(jù)弧與圓周角的關(guān)系得到CD=AD=2,在RtAABO中利用勾股定理求出AB,結(jié)合圓

的基本性質(zhì)可證明△AOD為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理求出OF、DF,最后根據(jù)扇

形面積及三角形面積即可求解.

【詳解】解：（1）DE與。O相切，理由如下:

連接DO,

\'DO=BO,

.\ZODB=ZOBD,

VZABC的平分線交。O于點(diǎn)D,

.\ZEBD=ZDBO,

/.ZEBD=ZODB,

???DO〃BE,

VDEIBC,

AZDEB=ZEDO=90o,

，DE與。O相切；

(2)連接AD,

VZABC的平分線交。0于點(diǎn)D,

??,NEBD=NDBO,

ACD=AD=2,

VAB為直徑，

.,.ZADB=90°,

又丁在RtAAB。中，BD=2jL

???AB=ylAD2+BD2=,+(2廚=4，

.\OA=OB=OD=2,

???OA=OD=AD,即△AO￡＞為等邊三角形,

???ZAOD=60°,

VDF1AB,

.\OF=AF=1,

???在吊zx。。廠中，DF=』OD2-OF?=5/22—。=?

60萬(wàn)x2?12V3

,?s陰影---------------X1Xyjj=-71---------

360232

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)與切線的判定，角平分線，平行線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵.

26.某公司計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，公司市場(chǎng)部根據(jù)調(diào)查得出：甲種產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)yi（萬(wàn)元）與投入

資金n（萬(wàn)元）成正比例；乙種產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)y2（萬(wàn)元）與投入資金n（萬(wàn)元）的平方成正比例，并得到

如下表格中的數(shù)據(jù).設(shè)公司計(jì)劃共投入資金m（萬(wàn)元）（m為常數(shù)且m>0）生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中投

入乙種產(chǎn)品的資金為x（萬(wàn)元）（其中MxWm）,全年所獲總利潤(rùn)W（萬(wàn)元）為yi與y2之和,

（1）分別求出yi、y2關(guān)于n的函數(shù)解析式

（2）求W關(guān)于x的函數(shù)解析式（用含m的式子表示）.

（3）當(dāng)m=50時(shí)公司市場(chǎng)部預(yù)判公司全年總利潤(rùn)W的最大值與最小值恰好相差40萬(wàn)元，請(qǐng)你通