《高等數(shù)學》全冊教案教學設(shè)計

1、高等數(shù)學電子教案完整版1. 1 函數(shù)的概念教學目標：（1）掌握函數(shù)的概念，分段函數(shù)的概念.會求解函數(shù)的定義域以及值域；（2）領(lǐng)會函數(shù)的兩個要素，掌握判斷兩個函數(shù)是否相同的方法；（3）了解顯函數(shù)與隱函數(shù).教學重點：函數(shù)的概念，函數(shù)的定義域，分段函數(shù)的概念.教學難點：如何求解函數(shù)的定義域.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注1.1.1函數(shù)的概念：觀察現(xiàn)實世界中存在著各種各樣不停地變化著的量, 它們之間相互依賴、相互聯(lián)系.比如，速度與時間的關(guān)系，存款的收益與時間，存款的收益與利率，三角形的面積與其高和底的關(guān)系等.我們使用函數(shù)來抽象出各個變量之間的依賴關(guān)系.函數(shù)既是微積分研究的基本對象, 也是高等數(shù)學

2、中最重要的概念之一.導入教學內(nèi)容10新知識函數(shù)的定義：設(shè)某一變化過程有兩個變量和，和是給定的兩個數(shù)集，如果對任一，按照一定對應(yīng)法則，在中都有唯一確定的與之對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作其中，稱為自變量，稱為因變量，為定義域，為值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)法則決定的.因此，定義域和對應(yīng)法則是決定函數(shù)的兩個重要因素.兩個函數(shù)只有在它們的定義域和對應(yīng)法則都相同時，才被認為是相同的函數(shù).教師講授18知識鞏固例 下列各對函數(shù)是否相同？為什么？，;，;，.解 (1)因為定義域不同,故不是同一函數(shù);(2)因為對應(yīng)法則不同,故不是同一函數(shù);(3)相同函數(shù).教師講授25練習下列各對函數(shù)是否相同？為什么？，;，.解

3、(1)因為定義域不同,故不是同一函數(shù);(2)相同函數(shù).學生課上完成，教師講評30觀察有些變化過程我們無法使用單一的表達式來表述.比如物體在某一個時間點改變了加速度，那么如何表述該過程呢？導入教學內(nèi)容35新知識為了描述函數(shù)在不同的標量取值時有不同的關(guān)系，我們引入了分段函數(shù)的概念.分段函數(shù)就是對于自變量不同的取值范圍，用不同的分析式進行分段的表示的函數(shù).教師講授40知識鞏固例 繪制出絕對值函數(shù)的圖像：分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集.如，絕對值函數(shù)的定義域為.教師引領(lǐng)完成451.1.2 函數(shù)的定義域觀察在不同函數(shù)的表達式中，自變量的一些取值會使得函數(shù)表達式?jīng)]有意義，因此，對于自變量的取值

4、范圍進行一些限制是非常有必要的.導入教學內(nèi)容50新知識函數(shù)的定義域是指函數(shù)的自變量所有可能取到的值的集合，在沒有特殊說明的情況下，函數(shù)的定義域一般是由其表達式的限制所確定，比如說分母不能夠等于0，二次根號下的值不能夠小于零等.對于分段函數(shù)來說，其定義域就是各段自變量取值集合的并集.我們有如下的常見的函數(shù)定義域的求法：常見函數(shù)定義域的求法函數(shù)定義域、教師講授60知識鞏固例 確定下列函數(shù)的定義域.(1); (2);(3);(4).解 (1) ; ; .教師講授70知識鞏固練習 確定下列函數(shù)的定義域.(1); (2).解 (1);(2).學生完成801.1.3顯函數(shù)與隱函數(shù)觀察自變量與因變量已經(jīng)明顯

5、分離的函數(shù)稱為“顯函數(shù)”.如果函數(shù)的變量沒有明顯分離或無法分離，也即這種函數(shù)的函數(shù)關(guān)系“隱藏”在方程之中的函數(shù)稱為“隱函數(shù)”.教師講授83新知識顯函數(shù)與隱函數(shù)的表示形式如下：顯函數(shù)：隱函數(shù)：例如稱為顯函數(shù),稱為隱函數(shù).教師講授88小結(jié)概念 概念函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域顯函數(shù)與隱函數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù)教師總結(jié)90作業(yè) 1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題一對應(yīng)內(nèi)容.1.2 函數(shù)的幾種特性教學目標：（1）掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法；（2）了解函數(shù)有界性的概念；（3）掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；（4）會求解簡單的周期函數(shù)的周期.教學重點：函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的求解方法.教學難點：判斷

6、函數(shù)的奇偶性.授課時數(shù)： 2課時教學過程過程備注1.2.1函數(shù)的有界性觀察函數(shù)的有界性是主要是用來揭示函數(shù)的變化范圍，我們遇到的很多函數(shù)的變化范圍始終是介于某個最大值和最小值之間，比如這樣的函數(shù)我們稱其是有界的.教師草繪圖像，引導學生觀察5新知識函數(shù)的有界性有如下定義：對于定義在定義域內(nèi)的函數(shù)，如果存在一個正數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的所有，都有成立，則稱在定義域內(nèi)有界.如果不存在這樣的，則稱在定義域內(nèi)無界.教師結(jié)合草繪的圖像講解10知識鞏固常見的有界函數(shù)：注意的取值不是唯一的有界性是依賴于區(qū)間的教師引領(lǐng)完成并總結(jié)151.2.2函數(shù)的奇偶性概念：觀察在我們的之前的學習中，我們可以發(fā)現(xiàn)有些比較特殊的函

7、數(shù)，比如,等等.這些函數(shù)關(guān)于軸或者坐標原點有一些對稱關(guān)系，我們稱關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于坐標原點對稱的函數(shù)為奇函數(shù)，本節(jié)我們就將來介紹函數(shù)的奇偶性.教師草繪圖像并講解20新知識設(shè)函數(shù)定義在以原點為中心的對稱區(qū)間內(nèi)，如果對于任意，都有=成立，則稱是奇函數(shù)，如；如果對于任意，都有=成立，則稱是偶函數(shù)，如.奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱.注意：奇+奇=奇; 2.偶+偶=偶; 3.奇+偶=非; 奇*奇=偶; 5.偶*偶=偶; 6.奇*偶=奇;奇復奇=奇; 8.偶復偶=偶; 9.奇復偶=偶;奇函數(shù)的導數(shù)=偶函數(shù); 11.偶函數(shù)的導數(shù)=奇函數(shù).教師講授40知識鞏固例 討論的奇偶性解 為

8、奇函數(shù)，為偶函數(shù)例 試討論的奇偶性解 ，當為奇數(shù)時為奇函數(shù)，為偶數(shù)時為偶函數(shù).教師引領(lǐng)完成45例 （1）是奇函數(shù);（2）為非奇非偶函數(shù);（3）是偶函數(shù).例 證明是奇函數(shù)證 設(shè),故函數(shù)是奇函數(shù)學生課上完成,教師講評601.2.3函數(shù)的單調(diào)性概念：觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，某些變化過程是一直增加或者一直減少的，為了研究這樣的變化過程我們引入了函數(shù)單調(diào)性的概念，接下來我們介紹函數(shù)的單調(diào)性.教師講授62新知識設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間內(nèi)，,若時有,則稱在內(nèi)單調(diào)遞增，圖像上升；若時有,則稱在內(nèi)單調(diào)遞減，圖像下降.教師講授65知識鞏固用定義法證明在內(nèi)單調(diào)遞增.證：設(shè)且則 , 即在內(nèi)單調(diào)遞增.注意：1.在整個區(qū)間上單調(diào)遞增或

9、單調(diào)遞減的函數(shù)稱為單調(diào)函數(shù)；2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法通常有圖像法、定義法、判定定理法.教師引導學生完成并講解701.2.4函數(shù)的周期性概念：觀察觀察，以及的圖像我們可以發(fā)現(xiàn)，他們的圖像每經(jīng)過一個固定的周期就重復一次,這樣的周期變化的現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中也比較多見，比如月亮的陰晴圓缺，太陽的升起落下等等，為了研究這種周期變化的過程，我們引入了周期函數(shù)的概念.教師講授73新知識對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù),對于定義域內(nèi)的所有,都有,則稱為周期函數(shù)，使等式成立的最小正數(shù)稱為函數(shù)的周期.1.，；2.，；3.若、的周期均為，則的周期也為；4.若、的周期分別為、，則的周期為和的最小公倍數(shù).教師講授80知識鞏

10、固例. (1)， 解 ；， 解 .教師引導學生完成并總結(jié)82練習例 求以下函數(shù)的周期：（1）; （2）.解 （1）; （2）. 學生課上完成，教師講解并總結(jié)85小結(jié)教師總結(jié)90作業(yè) 1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題一對應(yīng)內(nèi)容.1.3 反函數(shù)與基本初等函數(shù)教學目標：（1）理解反函數(shù)的概念，掌握常見的反三角函數(shù)及其定義域與值域，會求解簡單的函數(shù)的反函數(shù)；（2）掌握基本初等函數(shù)及其性質(zhì)；（3）掌握函數(shù)的復合運算的方法.教學重點：（1）求解簡單的反函數(shù)；（2）掌握常見的反三角函數(shù)及其定義域與值域；（3）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì).教學難點：（1）求解簡單的反函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì).授課時數(shù)： 2

11、課時教學過程過程備注1.3.1反函數(shù)觀察經(jīng)過前面的學習，我們知道，函數(shù)就是揭示自變量和因變量之間關(guān)系的表達式，我們已經(jīng)掌握了由自變量求因變量的方法，那么如何根據(jù)因變量來求自變量呢？這就是我們這一節(jié)需要學習的內(nèi)容，反函數(shù).教師導入新知識3新知識設(shè)函數(shù)的定義域是,值域是,如果對于任意一個，都有唯一的使得成立,這時也是的函數(shù),稱它為的反函數(shù),記作,而稱為直接函數(shù).習慣上常用表示自變量,表示因變量,因此,經(jīng)常把反函數(shù)寫成.1.反函數(shù)的定義域是直接函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是直接函數(shù)的定義域；2.單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)；3.函數(shù)與其反函數(shù)是互為反函數(shù)的關(guān)系，且圖像關(guān)于直線對稱.4. 求反函數(shù)的步驟： = 1

12、 * GB3 解出 = 2 * GB3 互換、 = 3 * GB3 寫出定義域教師講授15知識鞏固例 求函數(shù)的反函數(shù).解 由解得,互換和,得函數(shù)的反函數(shù)為.教師引導完成201.3.2反三角函數(shù)觀察在高等數(shù)學的三角函數(shù)中，我們是通過角度值來求對應(yīng)的三角函數(shù)值，但是如何通過三角函數(shù)值來求對應(yīng)的角度值呢？這就用到了反三角函數(shù)，反三角函數(shù)是高等數(shù)學中最常見，最常用到的反函數(shù).教師講授23新知識正弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù),記作.定義域為,值域為,為奇函數(shù).余弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù),記作.定義域為,值域為,為非奇非偶函數(shù).正切函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù), 記作.定義域為,

13、值域為,為奇函數(shù).余切函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù), 記作.定義域為,值域為,為非奇非偶函數(shù).名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)符號定義域值域(主值區(qū)間)有界性有界有界有界有界單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)教師講授并總結(jié)45知識鞏固例 求下列反三角函數(shù)的值.（1）;（2）;（3）；（4）.解 （1）因為，且，所以；因為，且，所以；因為，且，所以;因為，且，所以.教師引導學生完成50練習求下列反三角函數(shù)的值.（1）；（2）.解 （1）因為=，且，所以；（2）因為，且，所以.學生課堂完成，教師講解551.3.3基本初等函數(shù)觀察回顧之

14、前學到的一些函數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)，一些較復雜的函數(shù)都是由一些較為基本的，較為簡單的函數(shù)經(jīng)過四則運算或者復合運算得到的，我們將這些基本的，簡單的函數(shù)稱為基本初等函數(shù)，接下來我們詳細介紹高等數(shù)學里面的基本初等函數(shù).教師講授57新知識所謂基本初等函數(shù)就是指如下函數(shù)：常數(shù)函數(shù)：(為常數(shù))；冪函數(shù)：；指數(shù)函數(shù)：；對數(shù)函數(shù)：；三角函數(shù)：；反三角函數(shù)：.教師繪制圖像講解并總結(jié)621.3.4復合函數(shù)觀察在高等數(shù)學中，我們常見的函數(shù)的自變量都表述為,但是實際上自變量也可以不僅僅是一個單一的字母，也可能是一個表達式，在這種情況下自變量變成了一個表達式的運算結(jié)果，也就是另外一個函數(shù)的因變量，我們稱這種函數(shù)為復合函數(shù).

15、教師講授65新知識如果是的函數(shù)，又是的函數(shù)，即，且與對應(yīng)的的值能使有定義，則稱通過是的復合函數(shù)，記作，其中稱為中間變量.1.復合的前提條件是：內(nèi)層函數(shù)的值域與外層函數(shù)的定義域必須有交集.如：不能將，進行復合.因為的定義域,的值域 .故不能復合.2.復合次序不能調(diào)換.如.3.常把復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)，從而便于研究和計算.復合函數(shù)在拆分時一般按照、的字母順序進行表示.教師講授70知識鞏固例 設(shè)，將表示成的函數(shù).解 例 試將以下函數(shù)進行拆分：（1）; （2）.解 （1），;（2），.例 試將以下函數(shù)進行拆分：（1）; （2）. 解 （1），;（2）.教師引導學生完成73練習試將以下函數(shù)進行拆分：

16、（1）; （2）;（3）.解 （1），;（2）;（3）.試將以下函數(shù)進行拆分：; . 解 （1），;（2）學生課堂完成教師講解781.3.5初等函數(shù)觀察在學習了基本初等函數(shù)和函數(shù)的復合運算，以及我們初中時候?qū)W習的函數(shù)的四則運算之后，我們就得到了初等函數(shù)的組成元素和組合方法了，基本初等函數(shù)是初等函數(shù)的組成元素，復合運算以及四則運算是這些元素的組合方法.教師講授83新知識由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復合所得到的由一個式子表示的函數(shù)叫做初等函數(shù).例如,都是初等函數(shù).1.絕對值函數(shù)既是初等函數(shù)也是分段函數(shù).2.絕大部分分段函數(shù)不是初等函數(shù).如和符號函數(shù)都不是初等函數(shù).教師講授88小結(jié)教師總

17、結(jié)90作業(yè) 1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題一對應(yīng)內(nèi)容.2.1極限的性質(zhì)與概念教學目標：（1）理解極限的概念，以及數(shù)列極限與函數(shù)極限特點；（2）理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；（3）掌握極限的性質(zhì).教學重點：理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；教學難點：極限存在與左、右極限之間的關(guān)系的理解.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注觀察按照某種規(guī)律,以正整數(shù)1,2,3,編號依次排列的一系列數(shù),稱為數(shù)列,記為.其中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項,稱為通項.教師導入新知識5新知識對于數(shù)列,若當自然數(shù)無限增大時,能無限地趨近于一個確定的常數(shù),

18、則稱數(shù)列為收斂數(shù)列, 稱為它的極限. 記為或.若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散.例如數(shù)列,是收斂數(shù)列，教師講授15知識鞏固 例 若將一根長為一尺的木棒,每天截去一半,則這樣的過程可以無限制地進行下去.此即我國古代有關(guān)數(shù)列的例子.早在戰(zhàn)國時代哲學家莊周的莊子天下篇中就有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的記載.如果將每天剩下部分的長度記錄,則（單位為尺）第一天剩下,第二天剩下,第三天剩下,第天剩下,.這樣就得到一個數(shù)列, 即數(shù)列 .數(shù)列的通項隨著的無限增大而無限地接近于0,也即無限收斂0.教師引領(lǐng)學生完成25新知識定義2.3對于函數(shù),如果當自變量的絕對值無限增大時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，則

19、稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記為,或(）.教師結(jié)合圖像說明33知識鞏固例 .教師引領(lǐng)學生完成40新知識對于函數(shù),如果當自變量從左右兩側(cè)無限趨近于時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，就稱函數(shù)在處的極限為，記為，或（）.注 當時并不要求函數(shù)在點處有定義.教師講授 47知識鞏固當時,函數(shù)的極限是1,記作或.教師引領(lǐng)學生完成53新知識當自變量時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，則稱常數(shù)為時的左（右）極限，記為（）.顯然,函數(shù)的極限與左、右極限之間有以下結(jié)論:的充分必要條件是.即左右極限存在并相等.教師講授65知識鞏固例 求當時的極限.解 ,. . 故時,函數(shù)極限不存在.教師引領(lǐng)學生完成75例 設(shè)； 求當時的極

20、限.解 ，因為,所以不存在.學生課上完成教師講評80新知識性質(zhì)2.1(唯一性）若,則.性質(zhì)2.2（有界性）若,則函數(shù)有界.性質(zhì)2.3(局部保號性）若,且（或）,則（或）.教師講授86小結(jié)數(shù)列極限 數(shù)列極限極 限極 限極限的性質(zhì)函數(shù)極限極限的性質(zhì)函數(shù)極限總結(jié)90作業(yè) 1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題二對應(yīng)內(nèi)容2.1極限的四則運算法則教學目標：掌握函數(shù)極限的運算法則，并會求簡單的函數(shù)的極限；教學重點：運用函數(shù)極限的運算法則求極限；教學難點：函數(shù)極限法則的運用.授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注新知識若,則(1)=.(2).(3).新知識引入5新知識推論1 常數(shù)可以提到極限號前面，即（為常數(shù)

21、）.推論2 （為正整數(shù)）.此外，（為常數(shù)）.教師講授15知識鞏固(1)； (2)； (3)； (4).解 (1) =.(2). (3).(4)=.教師引領(lǐng)學生完成45新知識例 設(shè)為自然數(shù)，則教師講授50知識鞏固(1); (2) ;(3)；(4);解 (1) ;(2) =;(3) =;(4) .學生完成教師指導80小結(jié) 極限的四則運算法則極 極限的四則運算法則極 限90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題二對應(yīng)內(nèi)容.2.3兩個重要極限教學目標：掌握兩個重要極限，并使用其求解函數(shù)極限；教學重點：運用兩個重要極限求函數(shù)極限教學難點：兩個重要極限的應(yīng)用.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注觀察

22、一、極限我們列表考察當時，的變化趨勢.0.84147090.95885110.99833420.99998330.9999998 從表2-1可以看出，當時，的值無限趨近于1，所以.新知識導入 5知識鞏固例 求極限.解 .例 求極限. 解 .教師引領(lǐng)完成20練習 求.解 .學生練習,教師講解25觀察極限下面列表考察當時，函數(shù)的變化趨勢.1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972.731992.719642.718422.

23、718302.71828從表中可以看出，當或時，的值都無限趨近于一個確定的常數(shù)，它是一個無理數(shù)，記作.所以.若令，則當時，所以上式也可改寫成,也即.從而，.新知識導入, 35知識鞏固例 求極限.解 =.學生完成,教師指導33知識鞏固例 求極限.解 .例 求極限.解 .練習 求.解 .練習 求.解 .學生課上完成,教師講評40例 求極限.解 = =.教師講授45練習 計算.解 令,則.教師引領(lǐng)學生完成55小結(jié) 兩個重要極限極 兩個重要極限極 限45作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題二對應(yīng)內(nèi)容.2.4無窮小量與無窮大量教學目標：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限；

24、教學重點：無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念；教學難點：無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注新知識若，則稱為在時的無窮小量,簡稱無窮小.例如,函數(shù)是當時的無窮??；函數(shù)是當時的無窮小.所以，我們不能說是無窮小量.是當時的無窮小量.新知識導入5知識鞏固例 求極限.解 .例 求極限. 解 .練習 求.解 .教師引領(lǐng)完成15觀察極限下面列表考察當時，函數(shù)的變化趨勢.1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972

25、.731992.719642.718422.718302.71828從表中可以看出，當或時，的值都無限趨近于一個確定的常數(shù)，它是一個無理數(shù)，記作.所以.若令，則當時，所以上式也可改寫成,也即.從而，.結(jié)合課件說明25知識鞏固例 求極限.解 =.教師講授33知識鞏固例 求極限.解 .例 求極限.解 .教師講授45練習 求.解 .練習 求.解 .學生課上完成教師講評55例 求極限.解 = =.學生課上完成教師講評75練習 計算.解 令,則.教師引領(lǐng)完成80小結(jié) 兩個重要極限極 兩個重要極限極 限總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題二對應(yīng)內(nèi)容.2.5函數(shù)的連續(xù)性教學目標：（1）理解自

26、變量的增量、函數(shù)的增量的概念；（2）掌握函數(shù)在點處連續(xù)的兩種定義方式；（3）掌握左(右)連續(xù)的概念；（4）掌握間斷的概念，并且會判斷函數(shù)的間斷點；（5）掌握初等函數(shù)的連續(xù)性.教學重點：函數(shù)在點處連續(xù)的兩種定義方式；間斷的概念.教學難點：函數(shù)間斷點的判斷.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注觀察如何定義自變量的增量、函數(shù)的增量？自變量的增量.函數(shù)的增量 .課件演示圖像教師引導學生5新知識函數(shù)在點處連續(xù)有哪兩種定義方式？定義2.10 設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義，若自變量在點處的增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量 也趨于零，即,則稱函數(shù)在點處連續(xù)，點稱為函數(shù)的連續(xù)點.定義2.11設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義，若

27、，則稱函數(shù)在點處連續(xù). .結(jié)合課件說明15知識鞏固例1證明函數(shù)在點處連續(xù).證明 因為，即，所以函數(shù)在點處連續(xù).3. 如何定義函數(shù)在點處左(右)連續(xù)？若，則稱函數(shù)在點處左連續(xù). 若，則稱函數(shù)在點處右連續(xù).顯然，函數(shù)在點處連續(xù).例 證明函數(shù)在點處連續(xù).證明 因為，即所以函數(shù)在點處連續(xù).【例題詳解】練習 討論在點處的連續(xù)性.解 因為,故在點處左連續(xù)；因為,故在點處不能右連續(xù).,所以函數(shù)在點處不連續(xù).教師引領(lǐng)學生完成25注意1若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù);2一般的,如果函數(shù)在某個區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線.教師講授33新知識函數(shù)的間斷點如何分類？定義 若函數(shù)在

28、點處不連續(xù)，則稱點為函數(shù)的間斷點.定義 左右極限都存在的間斷點稱為第一類間斷點；否則就稱為第二類間斷點.若,稱為可去間斷點;若,稱為跳躍間斷點;若,稱為無窮間斷點;若振蕩不存在,稱為振蕩間斷點.即教師講授65知識鞏固【例題詳解】例 討論函數(shù)的間斷點類型.解 ,顯然是它的兩個間斷點.因為，所以是第二類間斷點，且為無窮間斷點.因為，所以是第一類間斷點，且為可去間斷點.例 討論符號函數(shù)的間斷點類型. 解 ，因為,所以是的跳躍間斷點. 例 討論函數(shù)的間斷點類型.解 顯然是函數(shù) 的間斷點.因為當時，函數(shù)值在-1與1之間無限次的振蕩變化，故是的振蕩間斷點. 練習 判斷函數(shù)的間斷點類型.解 顯然是函數(shù) 的間

29、斷點.因為,故是無窮間斷點.練習 判斷函數(shù)的間斷點類型.解 函數(shù)在點處的左右極限存在但不相等, 故為跳躍間斷點.練習 判斷函數(shù)的間斷點類型.解 函數(shù)在點處有,所以是可去間斷點.教師引領(lǐng)學生完成75新知識初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì) 有限個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）也是連續(xù)函數(shù).性質(zhì) 有限個連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).性質(zhì) 單調(diào)增（減）的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增（減）的連續(xù)函數(shù).應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的運算法則可以得到：所有基本初等函數(shù)在各自定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù).結(jié)合課件說明80知識鞏固例 設(shè)討論函數(shù)在處的連續(xù)性.分析 由于函數(shù)在分段點兩側(cè)的表達式不同，因此要考慮在分段點處的左極限與右極限解 ,

30、所以 而，即.所以函數(shù)在處連續(xù)教師引領(lǐng)完成90小結(jié) 連 連 續(xù)間 斷總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題二對應(yīng)內(nèi)容.3.1導數(shù)的概念教學目標：（1）了解導數(shù)的物理意義，掌握導數(shù)的幾何意義；（2）掌握導數(shù)的定義；（3）掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)；（4）理解連續(xù)與可導的關(guān)系；教學重點：（1）導數(shù)的定義；（2）可導與連續(xù)的關(guān)系.教學難點：導數(shù)的定義.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注觀察1.變速直線運動的即時速度一物體作變速直線運動，從某時刻開始到時刻所經(jīng)過的路程為，求物體在某時刻的速度考察在時間段內(nèi)物體運動的平均速度為 .如果很小，則物體在時間段內(nèi)的平均速度就接近它在時刻的即時速度，

31、當時，時間段收縮成一點，因而平均速度的極限就是即時速度. . 2曲線的切線點是曲線上的任意一點，求過該點并與曲線相切的切線方程 在的鄰近取一點，則割線 的斜率為.當點沿曲線趨向于，割線的極限位置就是曲線在點的切線因此，切線的斜率為 .上述兩個具體問題盡管實際背景不一樣，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看卻是一樣的，都是當自變量的改變量趨于零時，計算函數(shù)的改變量與自變量的改變量比值的極限.大量的實際問題都需要計算這種類型的極限，由此我們抽象出導數(shù)定義.新知識導入10新知識定義 3.1 設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義，當自變量在點處取得增量，相應(yīng)地，因變量取得增量，如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限值為函

32、數(shù)在點處的導數(shù)，記為，即.函數(shù)在處的導數(shù)也可記為，或，并稱函數(shù)在點處可導；如果不存在，則稱函數(shù)在點處不可導.有時為了書寫和計算方便，導數(shù)也可表示為 及 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，即對任何，有.稱為的導函數(shù)，簡稱為的導數(shù)，且.教師講授20知識鞏固例 計算函數(shù)在點處的導數(shù).解 當由變化到時，函數(shù)相應(yīng)的改變量 ,從而.例 若，求=？解 因為，所以.教師講授25新知識函數(shù)在點處的左導數(shù)與右導數(shù),記作與,即 ,.左導數(shù)與右導數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)導數(shù).為了研究可導，有時我們還要用到單側(cè)導數(shù)概念.根據(jù)函數(shù)在點處的導數(shù)定義，導數(shù) 是一個極限，因此存在即函數(shù)在點處可導的充分必要條件是左

33、、右極限 和都存在且相等.這兩個極限分別稱為函數(shù)在點處的左導數(shù)與右導數(shù)，記作與，即 , .左導數(shù)與右導數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)導數(shù).顯然，函數(shù)在點處可導的充要條件是函數(shù)在點處可導的充要條件是函數(shù)在點處的左導數(shù)與右導數(shù)都存在且相等,即.它一般用于判斷分段函數(shù)在分段點處的可導性.教師講授35新知識導數(shù)的幾何意義如果函數(shù)在點處可導，則在點處的導數(shù)值為曲線在點處的切線的斜率，即.注意 .曲線在點處的切線方程為；法線方程為.注意 切線斜率與法線斜率互為負倒，即.若，表示切線的傾斜角為0；若，表示切線的傾斜角為.教師講授45知識鞏固例 求曲線在處的切線方程和法線方程？解 ，切點為，切線方程為:，即.法線方程為:

34、，即.教師講授50練習 求曲線在處的切線方程和法線方程？解 ，切點為，切線方程為:，即. 法線方程為:，即.學生完成55新知識函數(shù)可導與連續(xù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)在點處可導，則存在，由于分母的極限為0，因此分子的極限必為0. 由此可見，當時，. 這就是說，函數(shù)在點處是連續(xù)的. 所以可導必連續(xù)，但連續(xù)卻不一定可導.例如雖然在處連續(xù),但,顯然在處不可導.教師講授60知識鞏固例 證明函數(shù)在處連續(xù)但不可導.解 ,故在處連續(xù)，又,左右導數(shù)存在但不相等，因此不存在，故在處不可導例 證明函數(shù)在處連續(xù)但不可導.解 ，故在處連續(xù)，又不存在,因此不存在，故在處連續(xù)但不可導從導數(shù)的幾何意義可以看出，函數(shù)在某一點連續(xù)，只要求函

35、數(shù)在該點不間斷，而函數(shù)在某一點可導，不僅要求函數(shù)在該點不間斷，而且還要求函數(shù)在該點能作出一條唯一的不垂直于軸的切線.教師講授65新知識基本初等函數(shù)的導數(shù)(1) (為常數(shù));(2) (為任意常數(shù)), 特別地，,;(3) () 特別地， ;(4) (), 特別地，;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10);(11) ; (12) .此外，.結(jié)合以前知識介紹75知識鞏固例 求出下列函數(shù)的導數(shù)： ，. 解 ， ，. 教師講授80練習 求出下列函數(shù)的導數(shù)：，.解 ， ，.學生完成85小結(jié) 導數(shù)連續(xù)導數(shù)連續(xù)教師總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題三對應(yīng)內(nèi)容.3.2求

36、導法則教學目標：掌握復合函數(shù)求導法則；教學重點：復合函數(shù)的求導法則.教學難點：復合函數(shù)的求導法則.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注新知識復合函數(shù)的求導法則定理3.3 如果在點可導，在的對應(yīng)點可導，則復合函數(shù)在點可導，且導數(shù)為或 .這個定理說明，復合函數(shù)的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).教師講授10知識鞏固例 求函數(shù)的導數(shù).解 可看作由，復合而成.因為,所以.例 求函數(shù)的的導數(shù).解 可看作由，復合而成.因為 ,所以 .教師講授20對復合函數(shù)的分解比較熟練后,就不必寫出中間變量,而采用心里默記復合過程,逐層求導的方法求出導數(shù). 例 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1) ; (2

37、) ; (3);(4); (5); (6) .解 (1) .(2) .(3) .(4) ,. (5) . (6), .教師講授55練習 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1); (2).解 (1);(2).練習 求下列函數(shù)的導數(shù)：(3); (4).解 (3).(4), .練習 求下列函數(shù)的導數(shù)：(5); (6).解 (5).(6).學生完成85小結(jié) 復合函數(shù)求導求導復合函數(shù)求導求導教師講授90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題三對應(yīng)內(nèi)容.3.2求導法則教學目標：（1）掌握隱函數(shù)求導法則；（2）掌握對數(shù)函數(shù)求導法則；教學重點：隱函數(shù)求導法則.教學難點：隱函數(shù)求導法則.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程

38、備注新知識 隱函數(shù)求導如稱為顯函數(shù)，如稱為隱函數(shù)一般地，方程可確定一個函數(shù)或，稱為由方程確定的隱函數(shù) 在實際問題中，我們需要求變量對變量的導數(shù)，一般情況下通過方程無法解出或隱函數(shù)求導數(shù)的方法是:方程的兩端同時對求導,遇到含有的項,把看作是的復合函數(shù)，先對求導,再乘以對的導數(shù),得到一個含有的方程式,然后從中解出即可.教師講授10知識鞏固例 設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解 兩邊對求導數(shù)，得 解得.教師講授20練習 已知,求.解 兩邊對求導數(shù) 即 也即 整理得 .學生完成30知識鞏固例 設(shè)由方程確定，求.解 方程兩邊對求導數(shù)，得 解得 .由于時，故.教師講授35練習 設(shè)由方程確定，求.解 方程兩邊同

39、時對求導，得 即,故 .學生完成45新知識對于冪指函數(shù)（），求時可以先在方程兩邊取對數(shù)，再兩邊對求導，然后解出這種求導數(shù)的方法稱為對數(shù)求導法.教師講授50知識鞏固例 求（）的導數(shù)解 兩邊取對數(shù)再對求導數(shù)，得解得.教師講授55練習 求的導數(shù).解 兩邊取對數(shù)，兩邊對求導，兩邊乘以，將代入，.學生完成65知識鞏固例 求的導數(shù).解 兩邊取對數(shù),上式兩邊對求導得 ,于是 即.教師講授75練習 求的導數(shù).解 兩邊取對數(shù)，兩邊對求導，故.學生完成85隱函數(shù)求導小結(jié)隱函數(shù)求導 求導求導對數(shù)函數(shù)求導對數(shù)函數(shù)求導教師總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題三對應(yīng)內(nèi)容.3.2求導法則教學目標：（1）掌握

40、函數(shù)的和差積商求導法則；（2）掌握反函數(shù)的求導法則；教學重點：（1）函數(shù)的和差積商求導法則；教學難點：反函數(shù)的求導法則.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注新知識函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理3.1 如果函數(shù)及都在點處具有導數(shù)，則(1) ;(2) ;(3) ();我們常把函數(shù)的和、差、積、商的求導法則簡記為(1) ;(2) ;(3) ().此外，常用的公式還有(4);(5);特別的，;(6),為常數(shù).法則(1)、(2)可推廣到有限個可導函數(shù)的情形. 特別有,為常數(shù).教師講授10知識鞏固例 設(shè)，求.解 .例 設(shè)，求.解 .例 設(shè)，求.解 .例 設(shè)，求.解.教師講授30練習 求出下列函數(shù)的導數(shù)

41、：(1);(2);(3).解 (1);(2);(3).學生完成45新知識反函數(shù)的求導法則定理 如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導且，則它的反函數(shù)在其對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)也可導，且 或 .結(jié)合以前知識介紹55知識鞏固例 設(shè)，求.解 令，其反函數(shù)為，則.類似可得 教師講授65練習 證明. 證：令，其反函數(shù)為，則.學生完成75例5 ，求解：與互為反函數(shù)，因此 .教師講授85基本初等函數(shù)求導法則小結(jié)基本初等函數(shù)求導法則 求導求導復合函數(shù)求導復合函數(shù)求導教師總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題三對應(yīng)內(nèi)容.3.3高階導數(shù)教學目標：（1）理解高階導數(shù)的定義；（2）掌握高階導數(shù)的求導方法；教學重點：高階導數(shù)

42、的求導方法.教學難點：高階導數(shù)的求導方法.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注新知識我們知道，變速直線運動的速度是路程函數(shù)對時間的導數(shù)，即,而加速度又是速度對時間的導數(shù).故 .稱為為二階導數(shù)，記成.所以,直線運動的加速度就是路程函數(shù)對時間的二階導數(shù).新知識導入5若函數(shù)的導數(shù)存在，這個導數(shù)叫原來函數(shù)的二階導數(shù)，用來表示.類似地,二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù),三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù),一般地,階導數(shù)的導數(shù)叫做階導數(shù),分別記作 .二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).教師講授15知識鞏固例 設(shè)，求.解 ,.例 設(shè)，求.解 ,.教師講授35例 設(shè)，求解 由此遞推得 ，即. 用類似的方法,可得 教師講授4

43、5例 設(shè)，求.解 ,，,由此遞推得 .教師講授55練習 設(shè)，求.解 ，由此遞推得 .練習 ,求.解 , , 由此遞推得 .學生完成85高階導數(shù)一階導數(shù)高階導數(shù)一階導數(shù)教師總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題三對應(yīng)內(nèi)容.3.4 微分教學目標：（1）理解微分的概念；（2）掌握微分求導法則；（3）掌握微分在近似計算中的應(yīng)用；教學重點：（1）微分的概念；（2）微分在近似計算中的應(yīng)用.教學難點：微分在近似計算中的應(yīng)用.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注觀察微分的概念先看一個具體例子由某種材料構(gòu)成的邊長為的正方形，由于熱脹冷縮，邊長從增加到時，那么其面積的增量為圖3包含兩部分，和，由于是

44、比高階的無窮小，可忽略不計這樣當很小時，它是函數(shù)該變量的主要部分 一般，設(shè)函數(shù)在處可導，則存在，那么 ，為時的無窮小 得由于是的高階無窮小，可忽略不計，故得，是函數(shù)該變量的主要部分由此可得：新知識導入5新知識定義3.2 設(shè)函數(shù)在點處可導,則稱函數(shù)改變量的主要部分為函數(shù)在點處的微分,記作,即此時也稱函數(shù)在點處可微分，簡稱可微如果函數(shù)在任意點都可微分，則在任意點的微分為,特別地，函數(shù)的微分為因此，函數(shù)的微分還可寫為 .教師講授10知識鞏固例 求函數(shù)在處，當時的微分解 ，.例 ，求解：例 已知 ，求.解 方程兩邊對求導，解得 ，則 .教師引領(lǐng)完成20新知識微分運算法則由于函數(shù)微分，故微分的運算法則和

45、求導運算法則是一致的.1微分的四則運算(1) (2) (3) （C為常數(shù)） (4) 2復合函數(shù)的微分法則如果函數(shù)與都可導，則復合函數(shù)可微，而且.由于，因此 即對于函數(shù)，無論是自變量還是中間變量，微分形式都是,保持不變.教師講授25知識鞏固例 求下列函數(shù)的微分：（1）;（2）.解 （1）, 故 . （2）,故 . 教師引領(lǐng)完成30練習 求下列函數(shù)的微分：（1）; （2）.解（1）, 故 . （2）,故 .練習 ，求.解：學生完成40例 ，求解：例 ，求.解 兩邊微分,得即 解得.本題也可在方程兩邊求導，得出，因而教師講授50新知識微分在近似計算中的應(yīng)用如果函數(shù)在可導,且,則當很小時，有 . 因此

46、 ,或 ,也可寫為 .教師講授55知識鞏固例 計算的近似值.解 由于（弧度）,即：. 設(shè)，則.教師引領(lǐng)學生完成60練習 試計算的近似值.解 （弧度），即：假設(shè)，.學生完成70當很小時， 取，有 當很小時，有下列近似公式：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .教師講授80例 計算的近似值.解 .教師講授85微分法則小結(jié)微分法則 微分可導微分可導微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用教師總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題三對應(yīng)內(nèi)容.4.1中值定理教學目標：（1）掌握羅爾定理；（2）掌握拉格朗日定理；（3）熟練使用羅爾定理和拉格朗日定理教學重點：羅爾定理和拉格朗日

47、定理的使用條件；教學難點：羅爾定理和拉格朗日定理的使用條件；授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注新知識定理4.1（羅爾定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內(nèi)可導, 且,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點,使得 羅爾定理的幾何意義是：在滿足條件的曲線弧上至少能找到一點，使其在該點的切線平行于軸.證因為在閉區(qū)間上連續(xù)，故它在閉區(qū)間上必有最大值與最小值.若，則在閉區(qū)間上恒為常數(shù)，所以, 定理的結(jié)論顯然成立 aABbOyx圖 41M否則，由于，故至少有一個最值在開區(qū)間內(nèi)取得不妨設(shè)存在一點 使(如圖31)aABbOyx圖 41M00教師講授20知識鞏固例 已知函數(shù)，說明方程有幾個實根，并指出它們各自所在的區(qū)間

48、解 顯然在上連續(xù)且可導， 且.故在區(qū)間1,2與2,3上滿足羅爾定理條件，從而方程在（1,2）及（2,3）內(nèi)至少各有一個根又為二次多項式，所以方程只能有兩個根教師講授35練習4.1.1練習 設(shè),證明方程有三個實根,并指出其所在區(qū)間.解 在上連續(xù)、可導,且由羅爾定理，在、內(nèi)分別存在點使得所以方程有三個實根,分別在、內(nèi).學生完成45新知識定理4.2（拉格朗日定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則至少存在一點，使得.baOxybaOxy圖42ABC.如果, 那么這樣就變成羅爾中值定理了，因此羅爾定理是拉格朗日定理的特例 顯然，若函數(shù)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零, 則在區(qū)間I上是一個常數(shù) 事實上，在

49、區(qū)間I上任取兩點,且,在應(yīng)用拉格朗日定理,有，由題設(shè)知, f ()0，所以有，即，由的任意性，在I上為常數(shù).結(jié)合圖像說明65知識鞏固例 證明當時,.證明 設(shè),顯然,在上滿足拉格朗日中值定理的條件,有,，從而.由于，所以即.教師引領(lǐng)完成85小結(jié)羅爾中值定理 羅爾中值定理中值定理中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題四對應(yīng)內(nèi)容.4.2洛必達法則教學目標：（1）掌握洛必達法則，并會使用洛必達法則求極限；（2）掌握極限的形式判斷，熟練使用洛必達法則；教學重點：極限形式判斷；洛必達法則的使用條件；教學難點：洛必達法則的使用條件.授課時數(shù)： 2課時.教學過

50、程過程備注新知識若當或時，、同時趨近于零(或無窮)，極限可能存在，也可能不存在.通常把這種極限叫做未定式, 并簡記為“”型或“”型.定理4.3 設(shè)函數(shù)滿足: (1) 或 ;(2)在附近、都可導，且; (3)（或為）. 則 洛必達法則的實質(zhì)就是通過對分子分母分別求導，使得原來極限脫離或狀態(tài)，進而求出該極限教師講授10知識鞏固例 求極限. 解 .教師講授 20知識鞏固例 求極限.解 .例3 ，（為任意實數(shù)）.解：例 求極限. 解 . 例 求極限.解 . 教師講授45練習 求極限（3）;（4）.解 （3）;（4）=.學生完成55練習 求極限（1）;（2）.解（1）=.（2）=.學生完成65新知識“”

51、型和“”型是未定式的兩種最基本類型，其它類型的未定式還有:型、型、型、型、 型等一般都可以通過適當?shù)姆椒ɑ癁榛蛐臀炊ㄊ絹碛嬎?教師講授75知識鞏固例 求極限.解 .教師講授80小結(jié)“”“”型和“”型洛必達法則洛必達法則型、型、型、型、型、 型教師總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題四對應(yīng)內(nèi)容.4.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值教學目標：掌握函數(shù)極值的求解方法；教學重點：函數(shù)極值的判定；教學難點：函數(shù)極值的判定.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注新知識定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，是內(nèi)一點如果對附近所有有定義的點都有（或），就稱是函數(shù)的一個極大值（或極小值）.x0 x0 xyO圖46f(x

52、0)x0 xyO圖 45ff(x0) 注意1.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 2.函數(shù)的極值是局部性概念f(x1)（xbx6x5x4x3x2x1Oaf(x4)（f(x1)（xbx6x5x4x3x2x1Oaf(x4)（y圖7 函數(shù)的極值點實質(zhì)上就是函數(shù)升降的分界點，因此有：定理4.5 (極值的必要條件) 若函數(shù)在點x0 處取得極值, 則或不存在注意：駐點和不可導點都有可能是函數(shù)的極值點定理4.6(極值存在的第一充分條件) 設(shè)函數(shù)在點x0及其附近連續(xù)且可導（在x0處可以不可導），且在x0的兩邊導數(shù)值異號，則在點x0必取得極值具體表述如下：(1)若f (x)由正變

53、負, 則是函數(shù)的極大值; (2)若f (x)由負變正, 則是函數(shù)的極小值; (3)如果在x0的左、右兩側(cè)符號相同,則不是極值求函數(shù)極值的解題步驟：1.求定義域;2.求導數(shù)、駐點、不可導點;3.列表判定.教師講授20知識鞏固例 求的極值.解 f (x)的定義域為 ( ) ,， 令得駐點為；顯然無不可導點；列表得：-11+0-0+極大值4極小值0故函數(shù)的極大值為，極小值為.教師講授30 練習 求的極值.解 ,，令得駐點為；顯然為不可導點.2-0+極小值12故函數(shù)的極小值為.無極大值.學生完成40例 求函數(shù)的極值 解 （1） f (x)的定義域為 ( ) ;（2） f (x) =2xex += x

54、e x (2+x);（3） 令f (x)0 得駐點x1 2, x2 0，無不可導點; （4） 用駐點x12, x10 分f(x)的定義域( )，列表如下：x( 2)2(2 0)0(0 )f (x)00 f (x)極大值極小值0 函數(shù)的極大值為f (2) 極小值為教師講授50新知識定理4.7（極值存在的第二充分條件） 設(shè)函數(shù)在點x0處具有二階導數(shù),且f (x0)=0，,(1) 若，則f (x0)是函數(shù)的極大值; (2) 若，則f (x0)是函數(shù)的極小值定理表明，在函數(shù)的駐點x0處如果二階導數(shù)，則該駐點一定是極值點，且可根據(jù)的符號判定是極大值還是極小值注意以下三種情況下不能使用第二判別法，必須使用

55、第一判別法進行判別：（1）不存在；（2）；（3）不存在.教師講授55知識鞏固例 求函數(shù)的極值.解 函數(shù)的定義域為，,令得駐點，又,故由極值存在的第二充分條件，是函數(shù)的極小值點，的極小值為.教師講授65練習 求函數(shù)的極值.解 函數(shù)的定義域為，令得駐點為或；由于，,故函數(shù)的極大值為，極小值為.學生完成75例 設(shè)方程恰有兩個實根，求的取值分析 當函數(shù)的極大值點或極小值點在軸上時，函數(shù)曲線恰好過軸兩次，也就是方程恰有兩個實根.解 令 ，,由于,故函數(shù)在處取得極大值,在處取得極小值.當函數(shù)的極大值點或極小值點在軸上時，函數(shù)曲線恰好過軸兩次，也就是方程恰有兩個實根，故或.從而或教師引領(lǐng)學生完成85小結(jié) 極

56、值存在的第一充分條件極值存在的第一充分條件極值函數(shù)的單調(diào)性與極值極值函數(shù)的單調(diào)性與極值極值存在的第二充分條件極值存在的第二充分條件教師總結(jié)90作業(yè)1. 梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成練習題四對應(yīng)內(nèi)容.4.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值教學目標：掌握函數(shù)最值的求解方法；教學重點：函數(shù)最值的判定；教學難點：實際生活中函數(shù)最值的判定.授課時數(shù)： 2課時.教學過程過程備注新知識我們知道，閉區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)f (x)一定存在最大值和最小值最大值和最小值可能在區(qū)間內(nèi)取得，也可能在區(qū)間的端點取得.如果最大值不在區(qū)間的端點取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內(nèi)取得.在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的某個極大值.從而

57、, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最大值一定是函數(shù)在(a, b)上的所有極大值和區(qū)間端點處的函數(shù)值f (a)和f (b)中最大者最小值同理.函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)在(a, b)上的所有極小值、f (a)和f (b)中最小者 因此, 要求一個函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間a, b上的最值可以按如下方法進行: （1）求出函數(shù)f (x)在(a, b)內(nèi)的所有可能的極值點 (即駐點和不可導點):x1, x2,xn（2）求出這些駐點和不可導點以及閉區(qū)間a, b端點處的函數(shù)值: f (x 1), f (x 2), , f (x n), f (a), f (b) ;（3）比較f (a),f (x 1)

58、, f (x 2), , f (x n), f (b)的大小, 其中最大者就是f (x)在閉區(qū)間a, b上的最大值, 最小者是f (x)在a , b上的最小值 求函數(shù)最值的解題步驟:1.求;2.求駐點、不可導點、端點處的函數(shù)值;3.比較大小.教師講授20知識鞏固例 求在上的最大值和最小值.解 ,令得駐點為,由,故函數(shù)的最大值最小值.教師講授20練習 求函數(shù)在上的最值.解 , 令得駐點為,，故函數(shù)的最大值為，最小值為.學生完成30注意若函數(shù)f (x) 在a, b上連續(xù)且單調(diào)增加, 則f (a) 是最小值, f (b) 是最大值; 若f (x) 在a, b上連續(xù)且單調(diào)減少, 則f (a)是最大值,

59、 f (b)是最小值教師講授35知識鞏固Ox1y圖48例 求函數(shù)f Ox1y圖48解 因為0, x( ),所以函數(shù)f (x)在0 , 1上單調(diào)遞增故函數(shù)f (x)的最小值為f (0)= 0, 最大值為f (1)= 在有些實際問題中, 我們根據(jù)其實際意義就可以斷定函數(shù)確有最大值或最小值, 而且一定在其定義區(qū)間內(nèi)取得此時如果在定義區(qū)間內(nèi)只有唯一駐點, 那么就不必討論是否是極值,而直接判定是最大值或最小值.知識鞏固例 欲用鐵皮制作一個體積為V的圓柱形有蓋鐵桶, 應(yīng)如何設(shè)計其底面半徑和高才能使用料最省?解 用料最省也就是使鐵桶的表面積最小設(shè)鐵桶底面半徑為r, 高為h, 表面積為S則因為,所以將 代入上

60、式，得 ，顯然0 r V這樣,問題就轉(zhuǎn)化為求目標函數(shù)在( 0 , V )上的最小值 求S對r的導數(shù): ,令S =0得唯一駐點 由問題的實際意義知，S在( 0 , V )內(nèi)必有最小值, 故最小值必在該唯一駐點 處取得 將代入中，得 即當高h是底面半徑r的兩倍且時，用料最省例 某工廠與鐵路的垂直距離，到城的距離為100km，欲將工廠的產(chǎn)品運到城，已知公路運費為10元，鐵路運費為8元，想在鐵路處修建一個轉(zhuǎn)運站，問建在何處，才能使運費最少？最少運費是多少？解 令，則，設(shè)總運費是元，依題意得 問題就歸結(jié)為求函數(shù)在上的最小值點,令，解得（負值舍去），在區(qū)間內(nèi)，只有一個駐點，也就是所求的最小值點因此，當時，