2024屆重慶市南岸區(qū)數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題含解析

2024屆重慶市南岸區(qū)數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將正整數(shù)排列如下：123456789101112131415……則圖中數(shù)出現(xiàn)在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列2．某幾何體的三視圖如圖所示，其外接球體積為（）A． B． C． D．3．已知，是兩個不同的平面，給出下列四個條件：①存在一條直線，使得，；②存在兩條平行直線，，使得，，，；③存在兩條異面直線，，使得，，，；④存在一個平面，使得，．其中可以推出的條件個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．6．已知三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．4 C． D．7．已知兩條直線m,n，兩個平面α,β，給出下面四個命題：①m//n，m⊥α?n⊥α；②α//β，m?α，n?β?m//n；③m//n，m//α?n//α；④α//β，m//n，m⊥α?n⊥β其中正確命題的序號是（）A．①④B．②④C．①③D．②③8．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．9．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對應關系如表：指數(shù)值0～5051～100101～150151～200201～300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染如圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢：下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好10．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等腰中，為底邊的中點，為的中點，直線與邊交于點，若，則___________．12．分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦.B.曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路，下圖是按照一定的分形規(guī)律生長成一個數(shù)形圖，則第13行的實心圓點的個數(shù)是________13．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點，，動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．14．設數(shù)列是首項為0的遞增數(shù)列，函數(shù)滿足：對于任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，則的通項公式是________．15．已知球的表面積為4，則該球的體積為________．16．在中角所對的邊分別為，若則___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．解下列方程（1）；（2）；18．甲、乙二人參加某體育項目訓練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;(2)根據(jù)圖和上面算得的結果,對兩人的訓練成績作出評價.19．已知直線（1）若直線過點，且.求直線的方程.（2）若直線過點A(2,0)，且，求直線的方程及直線,,軸圍成的三角形的面積.20．東莞市公交公司為了方便廣大市民出行，科學規(guī)劃公交車輛的投放，計劃在某個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發(fā)車的間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關系，選取一天中的六個不同的時段進行抽樣調(diào)查，經(jīng)過統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間（分鐘）81012141618等候人數(shù)（人）161923262933調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取其中的4組數(shù)據(jù)求得線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗，檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數(shù)，再求與實際等候人數(shù)的差，若兩組差值的絕對值均不超過1，則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：，（1）若選取的是前4組數(shù)據(jù)，求關于的線性回歸方程；（2）判斷（1）中的方程是否是“理想回歸方程”：（3）為了使等候的乘客不超過38人，試用（1）中方程估計間隔時間最多可以設置為多少分鐘？21．已知向量，，，設函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

計算每行首個數(shù)字的通項公式，再判斷出現(xiàn)在第幾列，得到答案.【題目詳解】每行的首個數(shù)字為：1,2,4,7,11…利用累加法：計算知：數(shù)出現(xiàn)在第行列故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)列的應用，計算首數(shù)字的通項公式是解題的關鍵.2、D【解題分析】

易得該幾何體為三棱錐,再根據(jù)三視圖在長方體中畫出該三棱錐,再根據(jù)此三棱錐與長方體的外接球相同求解即可.【題目詳解】在長方體中畫出該幾何體,易得為三棱錐,且三棱錐與該長方體外接球相同.又長方體體對角線等于外接球直徑,故.故外接球體積故選：D【題目點撥】本題主要考查了三視圖還原幾何體以及求外接球體積的問題,屬于基礎題.3、B【解題分析】當，不平行時，不存在直線與，都垂直，，，故正確；存在兩條平行直線，，，，，，則，相交或平行，所以不正確；存在兩條異面直線，，，，，，由面面平行的判定定理得，故正確；存在一個平面，使得，，則，相交或平行，所以不正確；故選4、C【解題分析】

寫出變換后的函數(shù)解析式，，，結合正弦函數(shù)圖象可分析得：要使函數(shù)有且僅有兩個零點，只需，即可得解.【題目詳解】由題，根據(jù)變換關系可得：，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，，，根據(jù)正弦函數(shù)圖象可得：，解得：.故選：C【題目點撥】此題考查函數(shù)圖象的平移和伸縮變換，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.5、A【解題分析】

由的體積計算得高，已知將三棱錐的外接球，轉化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【題目詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應用，根據(jù)已知計算出球的半徑是解答的關鍵，屬于中檔題．6、B【解題分析】

依據(jù)題中數(shù)據(jù)，利用勾股定理可判斷出從而可得三棱錐各面都為直角三角形，進而可知外接圓的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積【題目詳解】如圖，因為,又，,從而可得三棱錐各面都為直角三角形，CD是三棱錐的外接球的直徑，在中，,,即，，故選B．【題目點撥】本題主要考查學生空間想象以及數(shù)學建模能力，能夠依據(jù)條件建立合適的模型是解題的關鍵．7、A【解題分析】依據(jù)線面垂直的判定定理可知命題①是正確的；對于命題②，直線m,n還有可能是異面，因此不正確；對于命題③，還有可能直線n?α，因此③命題不正確；依據(jù)線面垂直的判定定理可知命題④是正確的，故應選答案A.8、B【解題分析】

利用正弦定理化簡，由此求得的值.利用三角形內(nèi)角和定理和兩角和與差的正弦公式化簡，由此求得的值，進而求得的值.【題目詳解】利用正弦定理化簡得，所以為銳角，且.由于，所以由得，化簡得.若，則，故.若，則，由余弦定理得，解得.綜上所述，，故選B.【題目點撥】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查三角形內(nèi)角和定理，考查兩角和與差的正弦公式，屬于中檔題.9、C【解題分析】

根據(jù)所給圖象，結合中位數(shù)的定義、指數(shù)與污染程度的關系以及古典概型概率公式，對四個選項逐一判斷即可.【題目詳解】對，因為第10天與第11天指數(shù)值都略高100，所以中位數(shù)略高于100，正確；對，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正確；對，由圖知，前半個月中，前4天的空氣質(zhì)量越來越好，后11天該市的空氣質(zhì)量越來越差，錯誤；對，由圖知，10月上旬大部分指數(shù)在100以下，10月中旬大部分指數(shù)在100以上，所以正確，故選C.【題目點撥】與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.10、D【解題分析】

令，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，可將問題轉化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題．【題目詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同．∵函數(shù)圖象的對稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)的值域，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意換元法的使用，將問題轉化為二次函數(shù)的值域問題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解題分析】

題中已知等腰中，為底邊的中點，不妨于為軸，垂直平分線為軸建立直角坐標系，這樣，我們能求出點坐標，根據(jù)直線與求出交點，求向量的數(shù)量積即可.【題目詳解】如上圖，建立直角坐標系，我們可以得出直線，聯(lián)立方程求出,,即填寫【題目點撥】本題中因為已知底邊及高的長度，所有我們建立直角坐標系，求出相應點坐標，而作為F點的坐標我們可以通過直線交點求出，把向量數(shù)量積通過向量坐標運算來的更加直觀.12、【解題分析】

觀察圖像可知每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.再利用規(guī)律找到行與行之間的遞推關系即可.【題目詳解】由圖像可得每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.故從第三行開始,每行的實心圓點數(shù)均為前兩行之和.即.故第1到第13行中實心圓點的個數(shù)分別為：.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了遞推數(shù)列的實際運用,需要觀察求得行與行之間的實心圓點的遞推關系,屬于中等題型.13、【解題分析】

設，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），可得，化簡整理可得.【題目詳解】設，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），所以，化簡得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【題目點撥】本題考查圓方程的標準形式和兩點距離公式，難點主要在于計算.14、【解題分析】

利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導公式和數(shù)列的遞推公式，可得，再利用“累加”法和等差數(shù)列的前n項和公式，即可求解．【題目詳解】由題意，因為，當時，，又因為對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，所以，又，對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，又，對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，以及誘導公式，數(shù)列的遞推關系式和“累加”方法等知識的綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．15、【解題分析】

先根據(jù)球的表面積公式求出半徑，再根據(jù)體積公式求解.【題目詳解】設球半徑為，則，解得，所以【題目點撥】本題考查球的面積、體積計算，屬于基礎題.16、【解題分析】,；由正弦定理，得，解得.考點：正弦定理.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）；【解題分析】

（1）由，得，解方程即可.（2）由已知得到，解得即可.【題目詳解】（1），，或，或.（2），，解得.【題目點撥】本題考查了指數(shù)型、對數(shù)型方程，考查了指數(shù)、對數(shù)的運算，屬于基礎題.18、(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解題分析】試題分析：（1）由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為，甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.根據(jù)平均數(shù)，方差的公式代入計算得解(2)由可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態(tài),而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高.試題解析：(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.=13,=13,×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.(2)由可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態(tài),而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高.19、(1)；(2)