高等代數(shù)（北大版）習題集答案解析

第三章線性方程組

1.用消元法解以下線性方程組：

解1〕對方程組得增廣矩陣作行初等變換，有

因為

rank(A)=rank(B)=4<5,

所以方程組有無窮多解，其同解方程組為

%,-X4=1

2%+*5=—2

-2*3=0'

-X2+/=0

解得

其中左為任意常數(shù)。

2)對方程組德增廣矩陣作行初等變換，有

因為

rank(A)=4>rank(A)=3,

所以原方程無解。

3〕對方程組德增廣矩陣作行初等變換，有

-101-2-2'1000-8

01-11-301003

―002012002012

00-48-2400080

因為

rank(A)=rank(A)=4,

所以方程組有惟一解，且其解為

x1=-8

%,=3

VO

x3=6

%4=0

4〕對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有

-17-89一-17-89

0-1719-200-1719-20

->

0-3438-40_0000

即原方程組德同解方程組為

國+7%—8X3+9X4=0

-17X2+19X3-20X4=0

由此可解得

313

x.=-k,-—k

117117■2

19,20,

=—K,k、

217I17一，

%3=4

X4=k2

其中匕，心是任意常數(shù)。

5）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有

因為

rank(A)=4聲rank(A)=3,

所以原方程組無解。

6）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有

-2020000000

5520205702

I6

T01001

5555

-10100-10100

0000000000

即原方程組的同解方程組為

5X2+7七=2

—X]+%3=0

解之得

其中％是任意常數(shù)。

2.把向量P表成%,。2，。3，。4的線性組合.。

解1）設有線性關系

代入所給向量，可得線性方程組

“1+“2+“3+*4=1

4+“2—”3—“4=2

k.I—hZ+hJ—kA4—1

4-心_%3+&4=1

解之，得

,5,1,1,1

ki=-,k2=-,k3=--,k4=--

因此

2)同理可得

°=a、—°

3.證明：如果向量組％%,???,。,.線性無關，而囚,。2,…，4?，月線性相關，

那么向量可由名,%，…，4?線性表出?

證由題設，可以找到不全為零的數(shù)勺,包,???,(+]使

kficx+k2a2+…+krar+%加/=0,

顯然女』NO.事實上，假設出川=0,而給右，…人不全為零，使

成立，這與%,%，…，氏線性無關的假設矛盾，即證4+]wO.故

夕=工工

/=!Kr+\

即向量夕可由四,火，…，？線性表出。

4.%”）（j=1,2,…，證明：如果卜0,那么

線性無關。

證設有線性關系左烏+k2a2H—+knan-0,

代入分量，可得方程組

%]&+a?+???+攵〃=0

%2kl+a22k2+???+a〃2女〃=0

<）

一冶+%?+???+。溫=°

由于|%.卜0,故齊次線性方程組只有零解，從而%,。2,…,見線性無關。

5.設44,…是互不一樣的數(shù)，證明：

ai=（1山,…"A）（i=1,2,…,r）是線性無關的。

證設有線性關系匕4+內(nèi)。2+…+&烏=0，那么

k、+《+?,?+2「=0

八兄+灰匕+???+1k=0

<1r

鵬+《-出+--+「（=0

1〕當r=〃時，方程組中的未知量個數(shù)與方程個數(shù)一樣，且系數(shù)行列

式為一個范德蒙行列式，即

111

4，2t,

G2K2e=n(LK°

1\12

所以方程組有惟一的零解,這就是說％,。2,…,區(qū).線性無關。

2）當rV〃時，令

那么由上面1）的證明可知用，夕2,…，力是線性無關的。而四,火，…，氏是

%,分2，???，4延長的向量，所以四,。2,…，氏也線性無關。

6.設4,%，出線性無關，證明?+02，。2+々3，23+四也線性無關。

證設由線性關系人（%+%）+&（%+。3）+匕（。3+。1）=。，那么

（仁+23）。1+（女］+攵2）%+伏2+%）%=0。

再由題設知四,。2，出線性無關，所以

尢+女3=0

<K+&=0,

乂+攵3=。

解得匕=k2=k3=0,所以/+4，%+%，％+/線性無關。

7.冬,％，…，小的秩為死，證明：%,見，…，%中任意〃個線性無關的

向量都構成它的一個極大線性無關組.

證設%,%，…，%丁是%%，…，％中任意了個線性無關向量組，如

果能夠證明任意一個向量%（，=1,2,…,$）都可由%，。上…,%.線性表

出就可以了。

事實上，向量組?！?名2，???,％.八%是線性相關的，否那么原向量組的

秩大于一，矛盾.這說明%.可由%「線性表出，再由％的任意

性，即證。

8.設囚，。2,…，%的秩為r,a,；,4,,…，%，是…，%中的，'個

向量，使得a”。?,…,％中每個向量都可被它們線性表出，證明：

a,是弓,。?，…，見的一個極大線性無關組。

證由題設知%,%「?,%與L，…,a,等價，所以

的秩與???,?,的秩相等，且等于r.又因為

al,ai,---,ai線性無關，故而%是…,巴的一個極大

線性無關組。

9.證明：一個向量組的任何一個線性無關組都可以擴大成一線性無關

組。

證將所給向量組用［I)表示，它的一個線性無關向量組用(II)表

不。

假設向量組1I)中每一個向量都可由向量組〔II〕線性表出，那么向

量組［II)就是向量組〔I〕的極大線性無關組.否那么，向量組(I)至少有

一個向量a不能由向量組(ID線性表出，此時將a添加到向量組〔II〕中

去，得到向量組(110,且向量組(III)是線性無關的。

進而，再檢查向量組〔I〕中向量是否皆可由向量組(110線性表出.

假設還不能，再把不能由向量組(III)線性表出的向量添加到向量組［III)

中去，得到向量組〔IV〕。繼續(xù)這樣下去，因為向量組[I)的秩有限，所

以只需經(jīng)過有限步后，即可得到向量組(I)的一個極大線性無關組。

10.設向量組為

a,=(1,-1,2,4),%=(0，3,1,2),%=(3,0,7,14),

a4=(1,-1,2,0),%=(2,1,5,6)。

1)證明：%，a?線性無關。

2)把％，%擴大成一極大線性無關組。

證1)由于%,%的對應分量不成比例，因而%,見線性無關。

2)因為4=3四+。2，且由

k}a}+k2a2+k4a4-0,

可解得

K=k[=l(4=0,

所以四,口2，%線性無關。

再令

kya}+k2a2+k4a4+k5a5=0,

代入向量后，由于相應的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0,因而該齊次

線性方程組存在非零解，即4,4，%，線性相關，所以％可由4,%，%

線性表出。

這意味著名,。2,%就是原向量組的一個極大線性無關組。

注此題也可將名,。2，。4，。5排成5X4的矩陣，再通過列初等變換化為

行階梯形或行最簡形，然后得到相應結論。

11.用消元法求以下向量組的極大線性無關組與秩：

1)%=(6,4,—1,2),。2=(1,0,2,3,4

=(1,4,-9,-16,22),?4=(7,1,0,-1,3),

一641-12

?2I023-4

解1）設4=—

a3I4-9-1622

_?4._710-13

對矩陣A作行初等變換，可得

'04-11-1926''00000

102341023-4

Ar

04-11-1926004569-98

01-14-223101-14-2231

所以囚,。2，。3，。4的秩為3,且4，％，4即為所求極大線性無關組。

3)同理可得風,。2,%為所求極大線性無關組，且向量組的秩為3?

12.證明:如果向量組CO可以由向量組(II)線性表出，那么［I)

的秩不超過〔II〕的秩。

證由題設，向量組(I)的極大線性無關組也可由向量組(II)的極

大線性無關組線性表出，即證向量組(D的秩不超過向量組(II)的秩。

13.設,,%，…,見是一組維向量，單位向量卬弓，…，與可被它們線

性表出,證明:名,。?，…,見線性無關。

證設%，。2,…，%的秩為，而馬，々，…，￡"的秩為”。

由題設及上題結果知

n<r,

從而r="，故a”％,&線性無關。

14.設4,是一組”維向量，證明：風,。2,…，氏線性無關的

充分必要條件是任一〃維向量都可被它們線性表出。

證必要性.設名,％,…,見線性無關，但是“+1個〃維向量

%,火，…,%，/必線性相關，于是對任意“維向量,它必可由

/,火,…線性表出。

充分性任意〃維向量可由四,。2,…,％線性表出，特別單位向量

馬尼,…,％可由4,%，…，見線性表出，于是由上題結果，即證

線性無關。

15.證明：方程組

對任何偽,打,…,“都有解的充分必要條件是系數(shù)行列式再卜0。

證充分性.由克拉默來姆法那么即證。

下證必要性.記

?,=(?h,a2(,-(i=1,2,…,”)

力=他也,…也)

那么原方程組可表示為

夕=—+x2a24---Fxnan,

由題設知，任意向量夕都可由線性%,。2，???，%表出，因此由上題結果可

知四,%，…，%線性無關。

進而，下述線性關系

k}a2+k2a2+???+knan=0,

僅有惟一零解，故必須有|A|=|%.|WO,即證。

16.a”a2,…,％與必，%，…0,有一樣的秩>證明：

與/,,。,旬，…,小等價。

證由于%,4,…,％與4有一樣的秩>因此

它們的極大線性無關組所含向量個數(shù)必定相等.這樣名,。2,…,％的極大

線性無關組也必為名,4,。山，…,見的極大線性無關組，從而它們

有一樣的極大線性無關組。

另一方面，因為它們分別與極大線性無關組等價，所以它們一定等價。

17.設/?]=a,+%"I-----%,A=必+%+—%，…，

P,=?|+?2----har-\■

證明:四，&…，瓦與%,火,…,a,具有一樣的秩。

證只要證明兩向量組等價即可.由題設，知片,四，…，以.可由

%,4,…,火線性表出。

現(xiàn)在把這些等式統(tǒng)統(tǒng)加起來，可得

1

(4+22■*------1■耳)=q+a2H--------

7^1f-ar

于是

ai=+---^--1)^,+???+---P,.,

r-1r-1r-1r-1

即證風,火，…,％也可由用，62,…，力線性表出，從而向量組

少”2,…血與即。2,…，％等價。

18.計算以下矩陣的秩:

011-121-1210

02-2-20O'12-24-20

0-1-111306-11

1101-103001

一10014一

'1412682'

01025

610421917

3)4)00136

76341

1231432

353015205_

_4563277

10100

11000

5)01100

00110

01011

解1〕秩為4;2〕秩為3;3〕秩為2;4〕秩為3;5)秩為5。

19.討論取什么值時，以下方程有解，并求解。

4%+x2+x2=1(A+3)M+x2+x2=2

xi+Zx2+%3=丸2〕vAX|+(A—I)/+毛=22

23(4+1)X1+A%2+(2+3)工3=3

Xj+x2+AX3=A

axx+x2+x2=4

3〕＜x]+bx2+七=3

x}+2hx2+x3=4

解1〕因為方程組的系數(shù)行列式

A11

D=1%1=(2-1)2(2+2),

112

所以當4=1時，原方程組與方程為+/+%=1同解，故原方程組有無窮

多解，且其解為

%1=1—k、—k，2

x2=k、

X3~火2

其中匕，網(wǎng)為任意常數(shù)。

當幾=—2時，原方程組無解。

當；Iwl且/lw—2時，原方程組有惟一解。且

2+2

a+i)2

A—2

2）因為方程組的系數(shù)行列式

3+212

D=22-11=22(2-l),

3/1+3ZA+3

所以當2=0時，原方程組的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣彳的秩分別為2與3,

所以無解。

當4=1時，A的秩為2,X的秩為3,故原方程組也無解。

當,且;時，方程組有唯一解

'23+322-152+9

122(2-1)

萬一12/1+9

〈小=---n------O

-22(2-1)

423-322-122+9

x,=-----；----------

22(2-1)

3)因為方程組的系數(shù)行列式

a11

0=161=—仇”-1),

12b1

所以當OwO時，即awl且人力0時，方程組有惟一解，且為

2/7-1

A|一伏”1)

1+2ab-4b

b(a-l)

當。=0時

1。假設。=0這時系數(shù)矩陣A的秩為2而它的增廣矩陣A的秩為3,

故原方程組無解。

2。假設。=1,這時增廣矩陣

所以當a=1/H時，A的秩為3,A的秩為，原方程組無解。

2

而當。=1/=,時，原方程組有無窮多個解，且其解為

2

xx=2-k

X2=2

x3=k

其中人為任意常數(shù)。

20.求以下齊次線性方程組的一個根底解系，并用它表出全部解:

X]+々+X3+X4+X5=0Xj+x2-3X4—X5=0

〔〕3%+2X+忍+%一毛=0-x+2x-x=0

22)/234

%一

x2+2X3+2X4+6X5=042X2+6X3+3X4-4X5=0

5x}+4X2+3X3+3%-/=02x}+4X2-2X3+4X4-7X5=0

X]-2尤2+退+%4_%5=0xl-2X2+尤3—X4+/=0

2x+x-x-x-x=02x+x-x+2X-3X=0

3)4l23454)}2345

x}+7々-5As-5%+5&=03%-2X2-x3+x4-2X5=0

-x2-2X3+X4-X5=02%j-5X2+/一2X4+2X5=0

解1〕對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有

111111111111111

3211-30-1-2-2-60-1-2-2-6

—>

01226()122600000

5433-10-1-2-2-600000

因為，5次(A)=2<5,所以原方程組的根底解中含有3個線性無關的解

向量，且原方程組的同解方程組為

X]+%2+W+毛=0

<

x2+2X3+2X4+6/=0'

于是只要令

Xj=l,x4=x5=0,即得?=(1,一2,1,0,0)',

同理，令

X,=l,x3=x5=0,即得％=(1,-2,0,1,0)',

x5=l,x3=x4=0,即得〃3=(5,-6,0,0,1)',

那么？,%,優(yōu)為原方程組的一個根底解系，且該齊次線性方程組的全部解

為

7=k[小++k3r，

其中匕%為任意常數(shù)。

2)對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有

因為山川t(A)=3<5，所以原方程組的根底解系中含有2個線性無關的解

向量，且原方程組的同解方程組為

%,+x2-x4-x5=0

X

<-2X2+2X3+24+x5=0,

3X4-x5=0

假設令

x,=l,x4=0，得7=(-1,1,1,0,0)',

75

%=0,無4=1,得%=(—5,5，。,1,3)',

那么小為原方程組的一個根底解系，且該齊次線性方程組的全部解為

其中匕，心為任意常數(shù)。

3〕對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有

又因為

所以m〃A(A)=4<5，方程組的根底解系含有一個線性無關的解向量，且

原方程組的同解方程組為

%1-2X2+毛+—2毛-0

5X2-3A3-3X4+毛=0

vo

-6X2+9X3=0

—5工2+/+4%=0

于是令9=1，可得

—J1213A，

那么〃即為原方程組的一個根底解系，且該齊次線性方程組的全部解為

k”,其中攵為任意常數(shù)。

4)對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有

又應為

所以raMr(A)=3<5，方程組的根底解系含有2個線性無關大解向量，且

原方程組的同解方程組為

x3=l,x5=0,得7=(-l,-l,l,2,0y,

當=0,%=1,得力=(；,0,01,1)',

那么7,%為原方程組的一個根底解系，且該齊次線性方程組的全部解為

其中配網(wǎng)為任意常數(shù)。

21.用導出組的根底解系表出第1題1〕、4〕、6)題中線性方程組的全

部解，其中

解1)對原方程組的增廣矩陣作初等行變換，可得

rank(A)=rank(A\b')=4<5,

所以方程組有無窮多解，且其導出組的根底解系中含有1個線性無關的解

向量，又因為原方程組的同解方程組為

/-/=1

<2X4+/=-2,

—X2+%=0

假設令％=1，代入原方程組的導出組，可解得

西=1,工2=1,芻=。,毛=一2，于是導出組的根底解系為

7=(1,1,0,1,-2/,

且原方程組的一個特解為

〃0=(1,0,0,0,-2)',

故園方程組的全部解為

4〕對原齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等變換，可得

rank(A)=2<4,

所以方程組有無窮多解，且其根底解系中含有2個線性無關的解向量，又

因為原方程組的同解方程組為

玉+7X2-8七+9*4=0

-17%+1居—20X4=0

假設令

319

*3=1，，4=。＞得玉17，%2-17

再令

1320

x,=0,x=1，得內(nèi)=行,看

4T?

于是導出組的根底解系為

3IQ1320

7=（行，萬』，0）'，小=（一6，-石,01）'，

故原方程組的全部解為

313

n17

1920

=3+左2%=K

17T7

0

其中匕,出為任意常數(shù)。

6〕對原方程組的增廣矩陣作初等變換，可得

rank(A\b)=3<4,

所以方程組有無窮多個解，且其導出組的根底解系中含有1個線性無關的

解向量，又因為原方程組的同解方程組為

一西+毛二°

假設令尤3=1,代入原方程組的導出組，可解得％=1,工2=—1,/=]

于是導出組的根底解系為

且原方程組的一個特解為

21

故原方程組的全部解為

其中左為任意常數(shù)。

22.a/取什么值時，線性方程組

有解？在有解的情形，求一般解。

解對方程組的增廣矩陣行作初等變換：

111111

00000a

012263

00000b-2

于是，只有。=0且b=2時，增廣矩陣的秩與系數(shù)的秩都為2,此時原方

程組有解；當。工0且人工2時，原方程組都無解。

當。=0,b=2時，原方程組與方程組

玉+%2+芻+*4+

*=1

x2+2X3+2X4+6X5=3'

同解，且其一般解為

X[=-2+&+%+5k$

=3—2k3—2k4—6k§

<X3=k~3,

尤4=&

X5~“5

其中&為任意常數(shù)。

23.設

證明：此方程組有解的充分必要條件為

5

，

/=1

在有解的情形，求出它的一般解。

證對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有

此時A的秩為4,A的秩為4的充分必要條件是

5

￡4=0，

/=1

5

因此，原方程組有解的充分必要條件是￡生=0。

/=1

5

其次，當=0時，原方程組與方程組與

i=\

x1—x2=q

a

<工2一元3=2

X3-X4=%

與一"能

同解，所以它的一般解為

%=4+/+。3〃4+k

/%+。3+。4+左

<&=。3+。4+%，

Z=%+左

其中攵為任意常數(shù)。

24.證明：與根底解系等價的線性無關向量組也是根底解系。

證由于兩個等價的線性無關向量組所含向量個數(shù)是相等的，不妨設

7,%,…,名是齊次線性方程組的一個根底解系，且知生,…,可與它等

價那么4（，=1,2「-4）可由7，%「-,力線性表出從而《"=1,2,…,r）

也是原齊次線性方程組的解。

又由題設知q,4,…,外線性無關，且可由4,4,…，4

線性表出，從而齊次線性方程組的任一個解月也都可以由囚,4,…，可線

性表出，即證4,出,…，可也是方程組的一個根底解系。

25.設齊次方程組

?

allxl+a2lx2+一+%/“=