福建省2021年中考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合要求的.

1.在實(shí)數(shù)近，J，0,一1中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.OC.gD.72

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,。大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.

【詳解】解：在實(shí)數(shù)正，0,-1中，

亞,g為正數(shù)大于0,

-1為負(fù)數(shù)小于0,

??.最小的數(shù)是：一1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是:根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的

反而小，可以直接判斷出來(lái).

2.如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)從上面看到的圖形即可得到答案.

【詳解】從上面看是一個(gè)正六邊形，中間是一個(gè)圓,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.看得見(jiàn)部分的輪廓線要畫(huà)成實(shí)

線，看不見(jiàn)部分的輪廓線要畫(huà)成虛線.

3.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校4與河對(duì)岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C,利用測(cè)量?jī)x

器測(cè)得NA=6()o,NC=90°,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于()

A.2kmB.3kmC.273kmD.4km

【答案】D

【解析】

【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個(gè)銳角，求斜邊的長(zhǎng).

【詳解】?ZA=60°,NC=90°,AC=2km

cosA----,cos60°--

AB2

“八AC2

AB=-----------4km

cosA1?

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵.

4.下列運(yùn)算正確的是()

22b32326

A.2a-a=2B.(a-1)=a-lC.a^a=aD.(2a)=4?

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不同的運(yùn)算法則或公式逐項(xiàng)加以計(jì)算，即可選出正確答案.

【詳解】解：A：2“一。=(2-1)。=。，故A錯(cuò)誤；

B：(a—1)-=a?—2。+1,故B錯(cuò)誤；

C:。6+/=“6-3=。3,故c錯(cuò)誤；

D:（2"）2=22%/）2=43x2=46.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減法法則、乘法公式、同底數(shù)基的除法法則、積的乘方、幕的乘方等知識(shí)點(diǎn),

熟知上述各種不同的運(yùn)算法則或公式，是解題的關(guān)鍵.

5.某校為推薦一項(xiàng)作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對(duì)甲、乙、丙、丁四項(xiàng)候選作品進(jìn)行量化評(píng)分，具體成績(jī)

（百分制）如表：

項(xiàng)目

甲乙丙T

作品

創(chuàng)新性90959090

實(shí)用性90909585

如果按照創(chuàng)新性占60%,實(shí)用性占40%計(jì)算總成績(jī)，并根據(jù)總成績(jī)擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算總成績(jī)，比較判斷即可

【詳解】根據(jù)題意，得：

甲：90x60%+90x40%=90；

乙：95x60%+90x40%=93；

丙：90x60%+95x40%=92；

T：90X60%+85X40%=88；

故選8

【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

6.某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開(kāi)展植

樹(shù)造林活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x,那么，符合題

意的方程是（）

A.0.63(1+x)=0.68B.0.63(1+x)2=0.68

C.0.63(1+2%)=0.68D.0.63(1+2x)2=0.68

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2020年底森林覆蓋率=2018年底森林覆蓋率乘(l+x『，據(jù)此即可列

方程求解.

【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,由題意得：

0.63(1+x)2=0.68,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，列出方程即可.

7.如圖，點(diǎn)F在正五邊形4BCDE的內(nèi)部，，一A5/為等邊三角形，則NAEC等于()

A.108°B.120°C.126°D.132°

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出/A8C的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得A8=BC,根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)可得N45F=NAFB=60。，AB=BF,可得BF=BC,根據(jù)角的和差關(guān)系可得出/FBC的度數(shù)，根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)可求出/8FC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案.

【詳解】是正五邊形，

(5-2)x180°

，NABC=------------------=108°,AB=BC,

5

???,A斯為等邊三角形，

NABF=ZAFB=60°,AB=BF,

：.BF=BC,ZFBC=ZABC-ZABF=4S°,

...NBFC=1(180°-ZFBC)=66°,

ZAFC=ZAFB+ZBFC=126°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是

解題關(guān)鍵.

8.如圖，一次函數(shù)3=丘+方伏>。）的圖象過(guò)點(diǎn)（TO）,則不等式攵（彳-1）+匕>。的解集是（）

X>-1C.x>0D.x>\

【答案】C

【解析】

【分析】先平移該一次函數(shù)圖像，得到一次函數(shù)y=Z（x—1）+8（%>0）圖像，再由圖像即可以判斷出

A(x—l)+h>0的解集.

【詳解】解：如圖所示，將直線y=h+/L>（））向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=1）+8（%>0）,該圖

像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

由圖像可知，在y軸右側(cè)，直線位于X軸上方，即y>0,

因此，當(dāng)x>o時(shí)，Z(x-l)+/?>0,

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)圖像的平移和利用一次函數(shù)圖像求對(duì)應(yīng)一元一次不等式的解集等，解決本題

的關(guān)鍵是牢記一次函數(shù)的圖像與一元一次不等式之間的關(guān)系，能從圖像中得到對(duì)應(yīng)部分的解集，本題蘊(yùn)含

了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

9.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)P在4?的延長(zhǎng)線上，2。,電）與。。相切，切點(diǎn)分別為C,D.若

Afi=6,PC=4,則sin/GW等于（）

3

A.-

5

【答案】D

【解析】

【分析】連接OC,CP,。尸是OO的切線，根據(jù)定理可知NOCP=90°,ZCAP^ZPAD,利用三角形的

一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可求NCAO=/COP,在母△OCP中求出sinNCOP即可.

【詳解】解：連接。C,

CP,OP是。。的切線，則/OCP=90°,ZCAP=ZPAD,

：.ZCAD=2ZCAP,

'：OA=OC

：.ZOAC=ZACO,

：.ZC0P=2ZCA0

J.ZCOP^ZCAD

AB=6

???003

在RtZ\C0P中，0C=3,PO4

：.0P=5.

..4

sinZ.CAD-sin/COP=—

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解.

10.二次函數(shù)丁=公2-2公+4。>0）的圖象過(guò)4（一3,3）,8（-1,%）,。（2,%），。（4,乂）四個(gè)點(diǎn)，下列說(shuō)法

一定正確的是（）

A.若x%>o，則%>4>°B.若MR〉。，則y2y3>°

C.若必然<0，則X%<0D.若%>4<°，則x%<°

【答案】c

【解析】

【分析】求出拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向和增減性，根據(jù)橫坐標(biāo)的值，可判斷出各點(diǎn)縱坐標(biāo)

值的大小關(guān)系，從而可以求解.

【詳解】解：.二次函數(shù)丁=加一2"+c（a>0）的對(duì)稱軸為：

x=--^-=--^-=1,且開(kāi)口向上，

2a2a

二距離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，

???%>%>%>%，

A,若X%>0,則為”〉0不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B,若,%>0,則%%〉0不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C,若必然<0,所以乂>0，%<0,則M為<0一定成立，故選項(xiàng)正確，符合題意；

D,若%以<°，則,必<0不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸及開(kāi)口方向，

確定各點(diǎn)縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，再進(jìn)行分論討論判斷即可.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.若反比例函數(shù)y=K的圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）,則k的值等于

x

【答案】1

【解析】

【分析】結(jié)合題意，將點(diǎn)（1,1）代入到y(tǒng)=與，通過(guò)計(jì)算即可得到答案.

X

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=七的圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）

X

1=—,即左=1

1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，從而完成求解.

12.寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)x,使得l<x<4,則x可以是（只要寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的x即可）

【答案】答案不唯一（如夜，肛1.010010001…等）

【解析】

【分析】從無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有兀的數(shù)，

【詳解】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義寫(xiě)一個(gè)無(wú)理數(shù)，滿足l<x<4即可；

所以可以寫(xiě)：

①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)：V2,

②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，1.010010（X）1.........,

TT

③含有兀的數(shù)一，等.只要寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的X即可.

2

故答案為：答案不唯一（如0,4,1.010（）10001........等）

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限

不循環(huán)小數(shù)，③含有兀的數(shù).

13.某校共有1000名學(xué)生.為了解學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)分布情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)，畫(huà)出

條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖.根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可估計(jì)該校中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是.

【答案】270

【解析】

【分析】利用樣本中的優(yōu)秀率來(lái)估計(jì)整體中的優(yōu)秀率，從而得出總體中的中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).

27

【詳解】解：由圖知：樣本中優(yōu)秀學(xué)生的比例為：—=27%,

,該校中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是：1000x27%=270（人）

故答案是：270.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)圖中信息求出樣本中優(yōu)秀率作為

總體中的優(yōu)秀率，即可求出總體中優(yōu)秀的人數(shù).

14.如圖，AO是45c的角平分線.若NB=90°,BD=&，則點(diǎn)。到AC的距離是一.

BDC

【答案】百

【解析】

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即可求得.

【詳解】如圖，過(guò)。作0EJ.AC,則。到AC的距離為OE

BDC

AD平分NC4B,ZB=90°,BD=y/3>

DE=BD=6

???點(diǎn)。到AC的距離為百.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，理解點(diǎn)到直線的距離的定義，熟知角平分

線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.已知非零實(shí)數(shù)x,y滿足y則'二‘葉的值等于_________.

x+1xy

【答案】4

【解析】

【分析】由條件y變形得，x-產(chǎn)孫，把此式代入所求式子中，化簡(jiǎn)即可求得其值.

X+1

X

【詳解】由y=—;得：xy+y=x即4?產(chǎn)孫

x+1f

.x-y-h3xy_xy+3xy_^xy_

xyxyxy

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題是求代數(shù)式的值，考查了整體代入法求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是根據(jù)條件y=」7,變形為x-產(chǎn)孫,

X+1

然后整體代入.

16.如圖，在矩形A3C。中，A6=4,AD=5,點(diǎn)E,尸分別是邊A8,8。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與4,8重合,

且石尸=AB,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GE且N￡Gb=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①NGEB與NGF5一定互補(bǔ)；

②點(diǎn)G到邊AB,8c的距離一定相等;

③點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等;

④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2及■

其中正確的是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【解析】

【分析】①利用四邊形內(nèi)角和為360°即可求證;

②過(guò)G作GM_LAB,GN±BC,證明△GME四△GNE即可得結(jié)論;

③分別求出G到邊AROC的距離的范圍，再進(jìn)行判斷;

④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為當(dāng)GE_LA3時(shí).，GE即為所求.

【詳解】/EGF=9Q。GE=GF

:.NGEF=45。

①，四邊形ABC。是矩形

.-.ZB=90°

-.2￡＜加=90。,四邊形內(nèi)角和為360。

ZGEB+ZGFB=180°

①正確.

②如圖：過(guò)G作GMJ.A6,GN18C

:2GME=/GNF=9QP

ZGEB+ZGFB=\SO°,Z.GEM+Z.GEB=\^°

NGFN=GEM

又GE=GF

△GME烏△Gg/US)

:.GM=GN

即點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等

②正確.

③如圖：過(guò)G作

NG<AB--EF^2,GM<AD--EF^3

22

NG>AB-EFxsin45。=4—272,

GM>AD-EFxsin450=5-2y/2

.-.4-2V2<A^G<2,5-272<GM<3

而-2<5-2夜

所以點(diǎn)G到邊AO,OC的距離不可能相等

③不正確.

④如圖：

當(dāng)GE_LA3時(shí)，點(diǎn)G到邊的距離的最大

GE=E/xsin45°=4x也=2&

2

④正確.

綜上所述：①②④正確.

故答案為①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，四邊形內(nèi)角和為360。，全等三角形的證明，點(diǎn)到直線的距離，銳角三角函

數(shù)，矩形的性質(zhì)，熟悉矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(1、一】

17.計(jì)算：V12+1^3—3|—.

【答案】也

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，絕對(duì)值，負(fù)整式指數(shù)累，然后計(jì)算即可得答案.

【詳解】V12+|V3-3|-(11

=273+(3-73)-3

=273+3-73-3

【點(diǎn)睛】本小題考查二次根式的化簡(jiǎn)、絕對(duì)值的意義、負(fù)指數(shù)幕等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

18.如圖，在，A8C中，力是邊8C上的點(diǎn)，DE±AC,DF±AB,垂足分別為E,F,且

DE-DF,CE=BF.求證：/R=NC.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

【分析】由DE，AC,LAB得出N￡)EC=N￡)F8=90°,由S4S證明，DEC會(huì)..OEB,得出對(duì)應(yīng)角

相等即可.

(詳解】證明：IDE±AC,DF±AB,

；.NDEC=ZDFB=90°.

DE=DF,

在.DEC和ADFB中，<NOEC=NDFB,

CE=BF,

：.jDECADFB,

：./B=NC.

【點(diǎn)睛】本小題考查垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念與幾

何直觀.

x>3-2X(D

19.解不等式組：L-1X—3與

I26

【答案】l<x<3

【解析】

【分析】分別求出不等式組中各不等式的解集，再取公共部分即可.

【詳解】解：解不等式》之3—2%,

3x23,

解得:xNl.

解不等式」x—1—一x—3<1,

26

3x—3—x+3<6,

解得：x<3.

所以原不等式組的解集是：l<x<3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：準(zhǔn)確解出各個(gè)不等式的解集，再取公共部分即

可.

20.某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是40元.

（1）已知該公司某月賣(mài)出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元，問(wèn)：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱

數(shù)分別是多少？

（2）經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問(wèn)：

應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？

【答案】（1）該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱；（2）該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)

品700箱才能使總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是49000元

【解析】

【分析】（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品X箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱，利用賣(mài)出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600

元列方程組，然后解方程組即可；

（2）設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品，〃箱，獲得總利潤(rùn)w元，利用利潤(rùn)的意義得到

卬=70加+40（1000-附=30m+40000,再根據(jù)該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%可確定m的范

圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

【詳解】解：（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品x箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱.

70x+40y=4600,

依題意,得《

[x+y=100,

x=20,

解得

y=80.

所以該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱.

（2）設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品機(jī)箱，獲得總利潤(rùn)w元.則批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為（1000-加）箱,

??.該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%

m<300

依題意，得卬=70m+40(1000-in)=30m+40000,/?<300.

因?yàn)?0>0,所以w隨著m的增大而增大，

所以加=300時(shí)，取得最大值49000元，

此時(shí)1000-/〃=700.

所以該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品700箱才能使總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是49000元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：建立一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍解決

最值問(wèn)題；也考查了二元一次方程組.

21.如圖，在ABC中，NAC3=90°.線段所是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊上，△EED

是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)。恰好在AC的延長(zhǎng)線上.

（1）求證：ZADE=ZDFC：

（2）求證：CD=BF.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）通過(guò)兩角和等于90。，然后通過(guò)等量代換即可證明；

（2）通過(guò)平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對(duì)應(yīng)邊相等，通過(guò)等量代換即可證明.

【詳解】證明：（D在等腰直角三角形功產(chǎn)中，NEDF=90。,

：.ZADE+ZADF=90°.

ZACB=90°，

ZDFC+ZADF=ZACB=90°,

；?ZADE^ZDFC.

（2）連接AE.

B

由平移性質(zhì)得A￡〃8F,A￡=8F.

???NE4D=ZACB=90°，

/.ZDCF=1800-Z4CB=90°,

ZEAD=ZDCF.

?；..￡￡尸是等腰直角三角形，

'-DE=DF.

由（1）得ZADE=NDFC,

:.二AEg二CDF,

：.AE=CD,：.CD=BF.

【點(diǎn)睛】本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).

22.如圖，已知線段腦V=a,AR_LAK,垂足為a.

（1）求作四邊形ABC。，使得點(diǎn)分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a,ZABC=（O°,CD//AJB；

（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊A8,CD的中點(diǎn)，求證：直線相交于同一點(diǎn).

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)A3=。，點(diǎn)8在射線AK上，過(guò)點(diǎn)A作A8=。；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得A3=3C=AC,

分別過(guò)點(diǎn)A、B,。為半徑畫(huà)圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD,即可得到答案；

（2）設(shè)直線6c與AZ）相交于點(diǎn)S、直線PQ與AO相交于點(diǎn)S'，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得

AnAn

—=—,從而得S'O=S0,即可完成證明.

S'DSD

【詳解】（1）作圖如下：

四邊形ABC。是所求作的四邊形；

（2）設(shè)直線BC與AO相交于點(diǎn)S,

S(Sf)

DC//AB，

：.SBA^^SCD,

.SA_AB

"'~SD~~DC

設(shè)直線PQ與AO相交于點(diǎn)S'，

S'APA

同理——=

S'DQD

；P，。分別為AB,C￡＞的中點(diǎn),

APA^-AB,QD^-DC

22

.PAAB

"^D~15C

.S'A_SA

??詬一訪’

.S'D+ADSD+AD

*'-SV---SD-'

.ADAD

??麗一礪’

/.S'D=SD,

???點(diǎn)S與S'重合，即三條直線AO,8C,PQ相交于同一點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解.

23.“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬

4,四,G，田忌也有上、中、下三匹馬且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：

/I,>A2>B,>>C,>C2（注：A>5表示4馬與8馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約

定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王

三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上

馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣（。24,4與，626）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案

例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問(wèn)題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求

其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，

請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

【答案】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝，!；（2）不是，田忌獲勝的所有對(duì)陣是

2

仁444也。3（。24也％44）,（&4CAeG）,（&綜/GCA），（＜￡64,44），

（B2G，44，GA）,—

o

【解析】

【分析】（1）通過(guò)理解題意分析得出結(jié)論，通過(guò)列舉法求出獲勝的概率；

（2）通過(guò)列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對(duì)陣，求出概率.

【詳解】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝.

此時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣為：

（GA，&K芻cj,（&4，巴。1,44）,

（。24，員4，4。1）,（。24,4。1,四4）,共四種.

其中田忌獲勝的對(duì)陣有

（。24，44，與6；）,（。24，名。1,44）,共兩種，

故此時(shí)田忌獲勝的概率為《=；.

（2）不是.

齊王的出馬順序?yàn)?,男,a時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是（G4,44,Bg）；

齊王的出馬順序?yàn)?,a，鳥(niǎo)時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是（。24，為。”44）；

齊王的出馬順序?yàn)榕c,A，G時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是（44，。24，鳥(niǎo)￡）；

齊王的出馬順序?yàn)槠?G,A時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是（44，B2G,G4）；

齊王的出馬順序?yàn)镚，A，與時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是（B2C?C24,44）；

齊王的出馬順序?yàn)镚，⑸,4時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是（，A4，GA）?

綜上所述，田忌獲勝的所有對(duì)陣是

GA.&BUB2cJ,（GA.HGMBJ,（44，。2。名《）,

（44，員弓,。24），（與。］，64,44），

齊王的出馬順序?yàn)?,g,c時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣是

（&A,B再,GG），（44,G4，4G），（鳥(niǎo)&,44,c2c.）,

（與A，Gg，ACj，（64,44也3,（GA，44,AG）,

共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應(yīng)的6種可能對(duì)陣,

所以，此時(shí)田忌獲勝的概率R=3=’.

366

【點(diǎn)睛】本小題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想；

通過(guò)列舉所有對(duì)陣情況，求得概率是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在正方形ABC。中，E,尸為邊A3上兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為A',A4'的

延長(zhǎng)線交8c于點(diǎn)G.

(1)求證：DEHA!F,

(2)求的大小；

(3)求證：AC=2AB.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)45。；(3)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)直線。石與AA相交于點(diǎn)T,證明ET是qAA'尸的中位線即可；

(2)連接FG,取FG的中點(diǎn)。，連接OA,O8,證明點(diǎn)4,F,B,G四點(diǎn)共圓即可；

(3)設(shè)AB=3a,則A￡>=BC=3a,AF=2a,A￡=8b=a,設(shè)4尸=左，則A4'=3Z,根據(jù)勾股定理

找到k與a的關(guān)系，根據(jù)一AFBsAGC列比例求解即可.

【詳解】解：(1)設(shè)直線與AA'相交于點(diǎn)7,

?.?點(diǎn)A與4關(guān)于￡>E對(duì)稱，

，OE垂直平分4A，即r>E，A4',AT=7X'.

:E,尸為AB邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

???AE=EF，

：.后丁是_44尸的中位線，

/.ET//AF，即?！辍ˋE.

(2)連接FG,?.?四邊形ABC。是正方形，

AD=AB,ZDAB=ZABG=90°,ZDAT+ZBAG=90°,

DE工AA'，/.ZDTA=90°,

ZADT+ZDAT=90°，：.ZADT=ZBAG.

：.^DAE^ABG,

；.AE=BG,又AE=EF=FB，

FB—BG,

/XEBG是等腰直角三角形，

ZGFB=45°.

'：DE//AF,

AFA.AA，

ZFAG=90°.

取FG的中點(diǎn)。，連接。4',08,

在Rt.AFG和Rt_BFG中，

OA'=OF=OG=^FG,OB=OF=OG=^FG,

：.OA=OF=OG=OB,

.?.點(diǎn)A',F,B,G都在以尸G為直徑的二。上，

/.NG4'B=NGFB=45°.

(3)設(shè)AB=3a,則AO=BC=3a,A/=2a,4E=Bf=a.

由(2)得BG-AE=a，

tanZBAG=—=—=即tanNAAF=1，.A'F1

.?------二一

AB3a33AA'3

設(shè)AN=Z,則A4'=3h在必ZVl'A尸中，由勾股定理，得AF=，

.?.麻~,k=第八警

在R/.ABG中，由勾股定理，得AGMQA^+BG?=回吐

T7...3>y/lOa

又?AA=3k=------，

5

/.A'G^AG-AA'=4l0a-^^-=2^a,

55

.AN=3J

"A'G27nL2

5

CG-BC—CB—2a，

?BF_a_1

??—―,

CG2a2

.A'F_BF\

''~A^G~CG~2'

由(2)知，ZAFB+ZAGB=\SO0,

又ZAGC+ZAGB=180°,

：.ZAFB=ZAGC,

??一AFBs二AGC,

.A'BBF1

??-----=-------=—f

A!CCG2

/.AC=2AB.

【點(diǎn)睛】本小題考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、圓的基本概念與性質(zhì)、解直角三角

形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、運(yùn)算能力，考查空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

25.已知拋物線y=ox2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)P(0,l),求。+人的最小值；

(2)已知點(diǎn)6(-2,1),鳥(niǎo)(2,—1),6(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：丁=丘+1與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線丁=一1上，且NM4N=90°，過(guò)點(diǎn)A且與x

軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B,C.求證：AM48與△MBC的面積相等.

【答案】(1)-1；(2)①y=—7；②見(jiàn)解析