七章不等式及其解法

第七章不等式高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅲ專用)§7.1不等式及其解法考點(diǎn)一不等式的概念及性質(zhì)五年高考

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,則

()A.

-

>0

B.sinx-siny>0C.

-

<0

D.lnx+lny>0答案

C函數(shù)y=

在(0,+∞)上為減函數(shù),∴當(dāng)x>y>0時(shí),

<

,即

-

<0,故C正確;函數(shù)y=

在(0,+∞)上為減函數(shù),∴由x>y>0?

<

?

-

<0,故A錯(cuò)誤;函數(shù)y=sinx在(0,+∞)上不單調(diào),當(dāng)x>y>0時(shí),不能比較sinx與siny的大小,故B錯(cuò)誤;x>y>0?/xy>1?/ln(xy)>0?/lnx+

lny>0,故D錯(cuò)誤.2.(2015浙江,3,5分)設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a+b>0”是“ab>0”的

()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

D當(dāng)a=2,b=-1時(shí),a+b=1>0,但ab=-2<0,所以充分性不成立;當(dāng)a=-1,b=-2時(shí),ab=2>0,但a+

b=-3<0,所以必要性不成立,故選D.3.(2015浙江,6,5分)有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色,且三個(gè)房間顏

色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)

用(單位:元/m2)分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費(fèi)用(單位:元)是

()A.ax+by+cz

B.az+by+cx

C.ay+bz+cx

D.ay+bx+cz答案

B用粉刷費(fèi)用最低的涂料粉刷面積最大的房間,且用粉刷費(fèi)用最高的涂料粉刷面積

最小的房間,這樣所需總費(fèi)用最低,最低總費(fèi)用為(az+by+cx)元,故選B.1.(2018北京,8,5分)設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則

()A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈A

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)?AC.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),(2,1)?A

D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤

時(shí),(2,1)?A考點(diǎn)二不等式的解法答案

D本題主要考查不等式的性質(zhì)和解法,元素與集合的關(guān)系.若(2,1)∈A,則

解得a>

.故當(dāng)a>

時(shí),(2,1)∈A;當(dāng)a≤

時(shí),(2,1)?A.故選D.易錯(cuò)警示注意集合中的條件是“或”還是“且”.本題容易把三個(gè)不等式的中間聯(lián)結(jié)詞認(rèn)

為是“或”,而錯(cuò)選A.2.(2019天津,10,5分)設(shè)x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為

.答案

解析3x2+x-2<0?(x+1)(3x-2)<0,所以-1<x<

.方法總結(jié)求解一元二次不等式,常借助二次函數(shù)圖象,首先確定圖象與x軸的交點(diǎn),然后由圖

象位于x軸上方或下方的部分確定不等式的解集.3.(2015江蘇,7,5分)不等式

<4的解集為

.答案{x|-1<x<2}解析不等式

<4可轉(zhuǎn)化為

<22,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集為{x|-1<x<2}.4.(2015廣東,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集為

.(用區(qū)間表示)答案(-4,1)解析

不等式-x2-3x+4>0等價(jià)于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.考點(diǎn)三不等式恒成立問(wèn)題(2018天津,14,5分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=

若對(duì)任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,則a的取值范圍是

.答案

解析本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題.①當(dāng)x∈[-3,0]時(shí),因?yàn)閒(x)≤|x|恒成立,所以x2+2x+a-2≤-x,參變量分離得a≤-x2-3x+2,令y=-x2-3x+

2=-

+

,所以當(dāng)x=0或x=-3時(shí),y取得最小值,最小值為2,所以a≤2.②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),因?yàn)閒(x)≤|x|恒成立,所以-x2+2x-2a≤x,參變量分離得a≥-

x2+

x,令y=-

x2+

x=-

+

,所以當(dāng)x=

時(shí),y取得最大值,最大值為

,所以a≥

.由①②可得

≤a≤2.考點(diǎn)一不等式的概念及性質(zhì)教師專用題組1.(2014四川,5,5分)若a>b>0,c<d<0,則一定有

()A.

>

B.

<

C.

>

D.

<

答案

B∵c<d<0,∴0>

>

,兩邊同乘-1,得-

>-

>0,又a>b>0,故由不等式的性質(zhì)可知-

>-

>0,兩邊同乘-1,得

<

.故選B.2.(2014山東,5,5分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax<ay(0<a<1),則下列關(guān)系式恒成立的是

()A.x3>y3

B.sinx>sinyC.ln(x2+1)>ln(y2+1)

D.

>

答案

A∵ax<ay且0<a<1,∴x>y,∴x3>y3.3.(2014浙江,7,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則

()A.c≤3

B.3<c≤6C.6<c≤9

D.c>9答案

C由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,由①②,解得a=6,b=11,∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故選C.1.(2013江西,6,5分)下列選項(xiàng)中,使不等式x<

<x2成立的x的取值范圍是

()A.(-∞,-1)

B.(-1,0)C.(0,1)

D.(1,+∞)考點(diǎn)二不等式的解法答案

A當(dāng)x>0時(shí),原不等式可化為x2<1<x3,解得x∈?,當(dāng)x<0時(shí),原不等式可化為

解得x<-1,選A.2.(2014浙江,15,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=

若f(f(a))≤2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案(-∞,

]解析當(dāng)a≥0時(shí),f(a)=-a2≤0,又f(0)=0,故由f(f(a))=f(-a2)=a4-a2≤2,得a2≤2,∴0≤a≤

.當(dāng)-1<a<0時(shí),f(a)=a2+a=a(a+1)<0,則由f(f(a))=f(a2+a)=(a2+a)2+(a2+a)≤2,得a2+a-1≤0,得-

≤a≤

,則有-1<a<0.當(dāng)a≤-1時(shí),f(a)=a2+a=a(a+1)≥0,則由f(f(a))=f(a2+a)=-(a2+a)2≤2,得a∈R,故a≤-1.綜上,a的取值范圍為(-∞,

].考點(diǎn)三不等式恒成立問(wèn)題(2014江蘇,10,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取

值范圍是

.答案

解析要滿足f(x)=x2+mx-1<0對(duì)于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需

即

解得-

<m<0.考點(diǎn)一不等式的概念及性質(zhì)三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2019四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三下月考,3)設(shè)b>a>0,c∈R,則下列不等式中不一定成立的是

()A.

<

B.

-c>

-cC.

>

D.ac2<bc2

答案

D由不等式的性質(zhì)可知,當(dāng)b>a>0時(shí),A,B,C中不等式均成立;當(dāng)c=0時(shí),ac2=bc2,故D不一

定成立,故選D.2.(2019云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考,7)已知a=5ln2,b=log32,c=log43,則a,b,c的大小關(guān)系為

()A.a>c>b

B.c>b>aC.a>b>c

D.c>a>b答案

A因?yàn)?<ln2<1,所以50<5ln2,即a>1.因?yàn)?2<24<33,所以

<2<

,所以

<log32<

,即

<b<

.c=log43=

log23,因?yàn)?3<32<42,所以

<3<4,所以

<log23<2,即

<c<1.所以a>c>b,故選A.3.(2019貴州遵義航天高級(jí)中學(xué)高三四模,3)已知命題p:?x∈R,x2-x+1≥0;命題q:若a2<b2,則a<b.

下列命題中為真命題的是

()A.p∧q

B.p∧(?q)

C.(?p)∧q

D.(?p)∧(?q)答案

B命題p,x2-x+1=

+

≥0,∴命題p是真命題,則?p是假命題.命題q,若a=2,b=-3,滿足22<(-3)2,但a>b,∴命題q是假命題,則?q是真命題.選項(xiàng)A,p∧q是假命題;選項(xiàng)B,p∧?q是真命題;選項(xiàng)C,?p∧q是假命題;選項(xiàng)D,?p∧?q是假命題.4.(2019四川成都七中高三三模,4)已知a,b,c為實(shí)數(shù),則“

<

”是“ac2>bc2”的

(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

B因?yàn)閥=

是單調(diào)遞減函數(shù),所以“

<

”的充要條件是“a>b”.而“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件,所以“

<

”是“ac2>bc2”的必要不充分條件.故選B.5.(2017廣西桂林、崇左、百色聯(lián)考,6)設(shè)a=log32,b=ln2,c=

,則

()A.c>b>a

B.a>b>c

C.a>c>b

D.b>a>c答案

D由于a=log32=

,b=ln2=

,而log23>log2e,所以b>a.又a=log32>log3

=

,c=

=

<

,所以a>c,故b>a>c,故選D.1.(2019四川成都七中高三一診,2)設(shè)集合A=

,B=

,則A∩B=

()A.(-1,2)

B.[-1,2)

C.(-1,2]

D.[-1,2]考點(diǎn)二不等式的解法答案

A∵集合A=

={x|x>-1},B=

={x|(x+1)(x-2)≤0且x≠2}={x|-1≤x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},故選A.評(píng)析本題考查了集合的運(yùn)算,考查解指數(shù)不等式及分式不等式問(wèn)題,是一道基礎(chǔ)題.2.(2019貴州部分重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)=

則滿足f(x)+f(x+1)>1的x的取值范圍是

()A.(-1,+∞)

B.

C.(0,+∞)

D.(1,+∞)答案

B由題意,根據(jù)函數(shù)的解析式可知,當(dāng)

?x≤0時(shí),f(x)+f(x+1)=2x+1+2x+3>1,解得-

<x≤0,當(dāng)

?x>1時(shí),lnx+1>1,所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)+f(x+1)>1恒成立,當(dāng)0<x≤1時(shí),1<x+1≤2,故f(x)+f(x+1)=2x+1+ln(x+1)+1>1恒成立.綜上,x>-

.故選B.3.(2018四川成都二診,8)若x為實(shí)數(shù),則“

≤x≤2

”是“2

≤

≤3”的

()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

B充分性:∵

≤x≤2

,∴取x=2

,此時(shí)

=

>3,即充分性不成立.必要性:由2

≤

≤3得

解得1≤x≤2,因?yàn)閇1,2]?

,所以必要性成立.所以“

≤x≤2

”是“2

≤

≤3”的必要不充分條件.4.(2017云南昆明高考仿真,11)已知函數(shù)f(x)=

則|f(x)|≤2的解集為

(

)A.[0,1]

B.(-2,1]C.

D.

答案

D當(dāng)0≤x<2時(shí),f(x)=2-log2(-x+2),由

解得0≤x≤1;當(dāng)-2<x<0時(shí),f(x)=2-f(-x)=log2(x+2),由

解得-

≤x<0.綜上所述,|f(x)|≤2的解集為

,故選D.5.(2019四川成都七中高三考試,13)已知函數(shù)f(x)=

在區(qū)間[-1,2]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)m,則f(m)>0的概率為

.答案

解析當(dāng)-1≤m≤0時(shí),由3m+1>0得-

<m≤0;當(dāng)0<m≤2時(shí),由

>0得1<m≤2.故所求概率為

=

.1.(2019云南玉溪一中高三下調(diào)研,5)已知a>0,b>0,若不等式

+

≥

恒成立,則m的最大值為

()A.9

B.12

C.18

D.24考點(diǎn)三不等式恒成立問(wèn)題答案

B因?yàn)閍>0,b>0,所以由不等式

+

≥

恒成立得m≤

(a+3b)=6+

+

恒成立.因?yàn)?/p>

+

≥2

=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=3b時(shí)等號(hào)成立,所以6+

+

≥12,所以m≤12,即m的最大值為12.故選B.2.(2019四川成都七中高三階段性測(cè)試,11)對(duì)任意x≥0,不等式sinxcosx≤2ax恒成立,則實(shí)數(shù)a

的最小值是

()A.

B.1

C.2

D.

答案

D

sinxcosx=

≤2ax在[0,+∞)上恒成立,設(shè)f(x)=

,g(x)=2ax,即f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,則由f(x),g(x)的圖象,可知g(x)與f(x)在原點(diǎn)處相切,f'(x)=cos2x,f'(0)=1,g'(x)=2a,令2a=1,得a=

,易知a≥

時(shí),f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,即sinxcosx≤2ax恒成立.故實(shí)數(shù)a的最小值是

.3.(2018四川成都一診,6)若關(guān)于x的不等式x2+2ax+1≥0在[0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為

()A.(0,+∞)

B.[0,+∞)C.[-1,1]

D.[-1,+∞)答案

D當(dāng)x=0時(shí),1≥0,恒成立;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),a≥

,令f(x)=

,x∈(0,+∞),則f'(x)=

=-

+

,令f'(x)=0,得x=1(x=-1舍去),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

所以f(x)在x=1處取得極大值,也是最大值,故f(x)max=f(1)=-1,所以a≥f(x)max=-1.故選D.4.(2017貴州貴陽(yáng)適應(yīng)性考試,14)若命題p:?x∈R,x2+2ax+1≥0恒成立是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是

.答案[-1,1]解析由題意可知,命題p是真命題?Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,1].知識(shí)總結(jié)一元二次不等式問(wèn)題通常需要考慮該不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的情況以

及對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象.對(duì)于恒成立問(wèn)題,直接利用Δ來(lái)求解即可.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時(shí)間:15分鐘分值:25分選擇題(每小題5分,共25分)1.(2019云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上月考四,1)已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=

,則A∩(?RB)=

()A.(-1,2)

B.(-1,1)

C.(-1,2]

D.(-1,1]答案

D由題意得A={x|x2+x-2≤0}={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1},B=

={x|x≤-1或x>2},所以?RB={x|-1<x≤2},則A∩(?RB)=(-1,1],故選D.2.(2019廣西柳州高中、南寧二中兩校聯(lián)考,3)設(shè)a,b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是

()A.b-a>0

B.a3+b3<0C.a2-b2<0

D.b+a>0答案

D利用賦值法,令a=1,b=0,A項(xiàng),b-a=-1<0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤,B項(xiàng),a3+b3=1>0,故B項(xiàng)錯(cuò)誤,C項(xiàng),a2

-b2=1>0