一類帶有積分邊界條件的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的正解

一類帶有積分邊界條件的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的正解

【引言】

分?jǐn)?shù)階微積分是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的擴(kuò)展，其應(yīng)用領(lǐng)域涵蓋了科學(xué)、工程以及金融經(jīng)濟(jì)等多個(gè)領(lǐng)域。近年來(lái)，研究者們對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的研究，其中包括帶有積分邊界條件的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題。本文將討論一類這樣的問(wèn)題并給出其正解。

【正文】

設(shè)函數(shù)$u(x)$是區(qū)間$[0,1]$上的未知函數(shù)，考慮帶有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題：

$$

\left\{

\begin{aligned}

&D^\alphau(x)=f(x,u(x),u'(x)),\quad0<x<1,\\

&I_cu(x)=\int_0^1g(x,u(x))\,dx=c.

\end{aligned}

\right.

\tag{1}

$$

其中$D^\alphau(x)$表示Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，$f(x,u(x),u'(x))$和$g(x,u(x))$是給定的已知函數(shù)，$c$是常數(shù)。

為了求解邊值問(wèn)題(1)，我們首先需要引入輔助函數(shù)。考慮以下積分變分問(wèn)題：

$$

J(u)=\int_0^1F(x,u(x),u'(x))\,dx+\lambda\left(\int_0^1g(x,u(x))\,dx-c\right),

\tag{2}

$$

其中$F(x,u(x),u'(x))=\int_0^xf(s,u(s),u'(s))\,ds$，$\lambda$是拉格朗日乘子。

通過(guò)計(jì)算變分導(dǎo)數(shù)，即對(duì)函數(shù)$u(x)$變分求導(dǎo)，我們可得邊值問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程為：

$$

\frac{\partialF}{\partialu}-\frachifbow9{dx}\left(\frac{\partialF}{\partialu'}\right)+\lambdag(x,u)=0.

\tag{3}

$$

接下來(lái)，我們對(duì)歐拉-拉格朗日方程(3)進(jìn)行求解。首先，對(duì)于給定的$f(x,u,v)$和$g(x,u)$函數(shù)，我們可以通過(guò)數(shù)值方法得到$F(x,u,u')$的逼近值，例如使用龍格-庫(kù)塔法。然后，我們將逼近值代入方程(3)中進(jìn)行求解。最后，對(duì)于經(jīng)過(guò)計(jì)算得到的$u(x)$，我們可以驗(yàn)證其是否滿足邊值條件$I_cu(x)=c$。

【實(shí)例】

為了更好地理解上述分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的求解過(guò)程，以下給出一個(gè)具體的例子。考慮如下邊值問(wèn)題：

$$

\left\{

\begin{aligned}

&D^\alphau(x)=x^2+u(x),\quad0<x<1,\\

&I_2u(x)=\int_0^1x^3u(x)\,dx=2.

\end{aligned}

\right.

\tag{4}

$$

先計(jì)算輔助函數(shù)$F(x,u(x),u'(x))=\int_0^x(s^2+u(s))\,ds$，然后代入方程(3)中進(jìn)行求解。得到該例子的歐拉-拉格朗日方程為：

$$

\fracb3ln9gc{dx}\left(x^2+u\right)-\left(2x+\fract9gru60{dx}u\right)+\lambdax^3u=0.

\tag{5}

$$

對(duì)于方程(5)的求解，我們可以使用求解常微分方程的方法。首先，通過(guò)將方程(5)改寫為$2x+\fracedjd66u{dx}u=\left(x^2+u\right)+\lambdax^3u$，我們可以將其分解為兩個(gè)一階方程的組合形式。令$v=u'$，則可得到以下方程組：

$$

\left\{

\begin{aligned}

&u'=v,\\

&v'=\left(x^2+u\right)+\lambdax^3u-2x.

\end{aligned}

\right.

\tag{6}

$$

進(jìn)一步，我們可以使用數(shù)值方法（如龍格-庫(kù)塔法）求解方程組(6)，得到近似解$(u(x),v(x))$。最后，我們驗(yàn)證$I_2u(x)=2$是否成立，若滿足條件，則得到了邊值問(wèn)題(4)的正解。

【結(jié)論】

本文討論了一類帶有積分邊界條件的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題，并給出了其正解的求解思路。通過(guò)引入輔助函數(shù)，得到歐拉-拉格朗日方程