專題06 等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)（原卷版）

專題06等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)【題型目錄】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓(xùn)題型二直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)【重難點(diǎn)訓(xùn)練】等腰三角形中的15道分類討論問題直角三角形中的15道分類討論問題【知識(shí)梳理】1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可．1.無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時(shí)要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時(shí)要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論．2.“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線，點(diǎn)在該中垂線上（除外）【經(jīng)典例題一等腰三角形中的分類討論問題】【例1】1．（2023春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知，，若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）

A．3 B．4 C．6 D．7【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖．在中，，．點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)P的位置有（）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)2．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）(1)如圖，在等邊中，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則的長為______________(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，若以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有___________個(gè)．3．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）在中，，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，連接，若為等腰三角形，則的度數(shù)為___________．4．（2023春·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，．

(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．①試說明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數(shù)．5．（2020秋·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)A向點(diǎn)C以的速度運(yùn)動(dòng)．若P，Q兩點(diǎn)分別從B，A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，回答下列問題：

(1)經(jīng)過后，此時(shí)______，______；(2)在（1）的條件下，證明：；(3)求經(jīng)過多少秒后，為等腰三角形且周長為?【知識(shí)梳理】2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經(jīng)典運(yùn)用：已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時(shí)要分類討論．2.“兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）③當(dāng)時(shí)，以為直徑作圓，點(diǎn)在該圓上（，除外）【經(jīng)典例題二直角三角形中的分類討論問題】【例2】（2023秋·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)、分別是邊長為的等邊的邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）秒時(shí)，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【變式訓(xùn)練】1．（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏市八中校考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長為的等邊的邊上的動(dòng)點(diǎn)（其中P，Q不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為，連接交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①；②的度數(shù)等于；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，秒．其中正確的結(jié)論有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)2．（2023春·北京海淀·八年級(jí)中關(guān)村中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，有一動(dòng)點(diǎn)自向以的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)自向以的速度運(yùn)動(dòng)，若，同時(shí)分別從，出發(fā)．

（1）經(jīng)過___________秒，為等邊三角形；（2）經(jīng)過___________秒，為直角三角形．3．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則的度數(shù)可以是_____．4．（2022秋·江蘇無錫·八年級(jí)無錫市東林中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在中，，動(dòng)點(diǎn)以每秒的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（知識(shí)儲(chǔ)備：一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形．直角三角形中角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．）．(1)當(dāng)時(shí)，求證：是直角三角形．(2)如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)在線段上以每秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出的值．(3)如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于．在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？為什么？5．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1所示，在邊長為12的等邊中，動(dòng)點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，．(1)當(dāng)_____時(shí)，是直角三角形；(2)如圖2．若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)出發(fā)，那么當(dāng)_____時(shí)，是直角三角形(3)如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作于E，試問線段的長度是否變化？若変化，請(qǐng)說明如何變化；若不變，請(qǐng)求出的長度．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓(xùn)1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形底角的度數(shù)為（）A． B．或 C． D．或2．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，是等腰三角形，，，BP平分；點(diǎn)D是射線BP上一點(diǎn)，如果點(diǎn)D滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是（

）．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°3．（2021秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若以的一邊為邊畫一個(gè)等腰三角形，使它的第三個(gè)頂點(diǎn)也在的其他邊上，則這樣的等腰三角形最多能畫出（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4．（2022秋·河南三門峽·八年級(jí)校考期末）如圖，在等腰三角形中，，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，，若點(diǎn)P是等腰三角形的腰上的一點(diǎn)，則當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是______．5．（2021秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長分成12和9兩部分，則腰長為___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數(shù)為___．6．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“好線”；如果兩條線段將一個(gè)三角形分割成3個(gè)小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的“好好線”．（1）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且，則_____度；（2）在中，和是的“好好線”，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上，且，，則的度數(shù)為____________．7．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）在中，，，，在直線BC上取一點(diǎn)P使得是等腰三角形，則可以考慮點(diǎn)P在線段延長線上和______上的情況；當(dāng)點(diǎn)P在線段延長線上時(shí)，等腰三角形PAB的腰長為______．8．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，平分；點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，如果點(diǎn)滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是____．

9．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）很多三角形過它一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線，可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．由此，請(qǐng)你探究如下幾個(gè)問題．（1）如圖1，在中，，，，直線交于D，求證：與都為等腰三角形；（2）請(qǐng)你在圖2、圖3中，分別過一個(gè)你認(rèn)為合適的三角形頂點(diǎn)畫出一條直線，把它們各自分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所得小等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)（不證明）；（3）在（1）、（2）中，都是將一個(gè)等腰三角形，分成兩個(gè)小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成兩個(gè)小等腰三角形嗎？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)符合上述條件且6個(gè)內(nèi)角度數(shù)均不同的兩個(gè)三角形，并且分別過一頂點(diǎn)畫一直線分成兩個(gè)小等腰三角形；同時(shí)標(biāo)出所得小等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)（不證明）；若不能，請(qǐng)說明理由．10．（2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐在等腰三角形紙片中，，．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺規(guī)解決這一問題的過程，請(qǐng)閱讀后完成相應(yīng)的任務(wù)．作法：如圖1．①分別作，的垂直平分線，交于點(diǎn)；②連接，，結(jié)論：沿線段，，剪開，即可得到三個(gè)等腰三角形理由：∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴______．（依據(jù)）同理，得∴∴，，都是等腰三角形．任務(wù)：(1)上述過程中，橫線上的結(jié)論為______，括號(hào)中的依據(jù)為______．(2)受小文的啟發(fā)，同學(xué)們想到另一種思路：如圖2，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．在此基礎(chǔ)上構(gòu)造兩條線段（以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)）作為裁剪線，也可解決問題．請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出一種裁剪方案，并求出得到的三個(gè)等腰三角形及相應(yīng)頂角的度數(shù)．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，．請(qǐng)?jiān)趫D3中設(shè)計(jì)出一種裁剪方案，將該三角形紙片分成三個(gè)等腰三角形．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，說明裁剪線）11．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答下列問題：（1）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠A≠36°時(shí)，一些等腰三角形也具有這樣的特性，即經(jīng)過等腰三角形某一頂點(diǎn)的一條直線可以把該等腰三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．則∠A的度數(shù)為______（寫出兩個(gè)答案即可）；并畫出相應(yīng)的具有這種特性的等腰三角形及分割線的示意圖，并在圖中標(biāo)出兩個(gè)小等腰三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫出一個(gè)具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出兩個(gè)小等腰三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．12．（2022春·七年級(jí)單元測試）綜合與探究：在綜合實(shí)踐課上，張老師首先出示了例題．例題：在等腰三角形中．，求的度數(shù)．（答案：40°或70°或100°）張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏同學(xué)編了如下一題：變式：在等腰三角形中，，求的度數(shù)

（1）請(qǐng)你解答以上變式題；（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，的度數(shù)不同，得到的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同，在等腰三角形中，設(shè)，當(dāng)有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索的取值范圍然后張老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學(xué)們開展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖，在中，，，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示位置放置，頂點(diǎn)在線段上滑動(dòng)（點(diǎn)不與，重合），三角尺的直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)，并且與的夾角，斜邊交于點(diǎn)拓展：（3）小華發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)的滑動(dòng)過程中，的形狀也在改變，請(qǐng)你探索可以是等腰三角形嗎？若不可以，請(qǐng)說明理由；若可以，請(qǐng)求出的大小13．（2022秋·北京西城·八年級(jí)北京市西城外國語學(xué)校?？计谥校?duì)于所有直角三角形，我們都可以將其分割為兩個(gè)等腰三角形；例如：如圖，已知，，作直角邊AB的垂直平分線DE，分別交BC與AB于D，E兩點(diǎn)，連接AD，則AD將分割成兩個(gè)等腰三角形，．(1)請(qǐng)?jiān)谝韵伦C明過程中填入適當(dāng)理由證明：DE垂直平分AB（）（）在中，，（）、是等腰三角形．(2)根據(jù)上述方法，將下面三角形分割成4個(gè)等腰三角形；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）(3)將下面的不等邊三角形分割成5個(gè)等腰三角形；（不要求尺規(guī)，準(zhǔn)確作圖并用相同的記號(hào)標(biāo)出相等的線段）14．（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若和均為等腰三角形，且，當(dāng)和互余時(shí)，稱與互為“底余等腰三角形”，的邊上的高叫做的“余高”如圖，與互為“底余等腰三角形”．(1)若連接，，判斷與是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)當(dāng)時(shí)，若的“余高”，則______；(3)當(dāng)時(shí)，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．15．（2022秋·全國·八年級(jí)期末）如圖①，中，，、的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作交于E、F．(1)圖中有幾個(gè)等腰三角形？猜想：與、之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，若，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中與、間的關(guān)系還存在嗎？(3)如圖③，若中的平分線與三角形外角平分線交于O，過O點(diǎn)作交于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？與、關(guān)系又如何？說明你的理由．題型二直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)1．（2020秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，點(diǎn)P在邊AC上以1cm/s的速度從點(diǎn)A向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以同樣的速度從點(diǎn)B向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，各自到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，t的值為（

）A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s2．（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┑冗叺倪呴L為，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別從頂點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，且速度都是，則經(jīng)過______秒后，是直角三角形．3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，x的值是______．4．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等邊三角形中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為______．5．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為/s，點(diǎn)N的速度為2/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)_____秒后，可得到直角三角形．6．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等邊三角形的邊長是2，點(diǎn)在等邊三角形的邊上（除點(diǎn)外），以為一邊作等邊三角形，頂點(diǎn)、、逆時(shí)針排序．若三角形是直角三角形時(shí)，則的長度是____________．7．（2022秋·北京順義·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)以1cm/s的速度出發(fā)，沿著由的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)的值為______．8．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，等邊三角形的邊長為，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是，點(diǎn)Q的速度是，當(dāng)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若為直角三角形，則t的值是___________．9．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)浙江省蘭溪市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，P點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，（1）當(dāng)______時(shí)，是直角三角形；（2）設(shè)，則滿足______時(shí)，是鈍角三角形．10．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，若過頂點(diǎn)的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過頂點(diǎn)的一條直線交于點(diǎn)，且，則直線是的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．如圖，已知，同時(shí)滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點(diǎn)的二分割線，則的度數(shù)為______．11．（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知是邊長為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以速度向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（），