第06講 切線長(zhǎng)定理與弦切角定理（解析版）

第06講切線長(zhǎng)定理與弦切角定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①切線長(zhǎng)的定義與切線長(zhǎng)定理②三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心③弦切角的定義與弦切角定理掌握切線長(zhǎng)的定義與切線長(zhǎng)定理，并能夠熟練的運(yùn)用切線長(zhǎng)解決問(wèn)題。掌握并能夠畫(huà)三角形的內(nèi)切圓，掌握三角形的內(nèi)心極其性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決相關(guān)問(wèn)題。掌握弦切角的定義與定理并熟練運(yùn)用。知識(shí)點(diǎn)01切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。即如圖，若PA與PB是圓的切線，切點(diǎn)分別是A與B，則PA與PB的長(zhǎng)度是切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，可以作2條，它們的長(zhǎng)度相等。圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。推廣：有切線長(zhǎng)定理的結(jié)論可得：①△APO≌△BPO∠AOP＝∠BOP＝AB⊥OP。題型考點(diǎn)：①切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用。【即學(xué)即練1】1．如圖，⊙O與△ABC的邊AB、AC、BC分別相切于點(diǎn)D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的長(zhǎng)為7．【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切線，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．【即學(xué)即練2】2．如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長(zhǎng)為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故選：A．【即學(xué)即練3】3．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝5，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．10【解答】解：∵PA、PB為圓的兩條相交切線，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周長(zhǎng)＝10，故選：D．【即學(xué)即練4】4．如圖所示，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點(diǎn)，C是上任意一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．若△PDE的周長(zhǎng)為12，則PA的長(zhǎng)為（）A．12 B．6 C．8 D．4【解答】解：∵PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點(diǎn)，∴PA＝PB，∵DE是⊙O的切線，∴DA＝DC，EB＝EC，∵△PDE的周長(zhǎng)為12，即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6．故選：B．知識(shí)點(diǎn)02三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心內(nèi)切圓的定義：如圖：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓。三角形叫做圓的外切三角形。內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。所以圓心到三角形三邊的距離相等。特別說(shuō)明：任意三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形。直角三角形內(nèi)切圓半徑與直角三角形的邊的關(guān)系：若a、b是直角三角形的直角邊，c是直角三角形的斜邊。則這個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為或。三角形的面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系：若三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則此三角形的面積可表示為：?？键c(diǎn)題型：內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】5．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)O到三邊的距離相等，∴點(diǎn)O是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)；故選：B．【即學(xué)即練2】6．如圖，在△ABC中，∠C＝58°，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，則∠AOB的度數(shù)為（）A．119° B．120° C．121° D．122°【解答】解：∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∴∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝∠CBA，∴∠AOB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），∵∠C＝58°，∴∠CAB+∠CBA＝122°，∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，故選：A．【即學(xué)即練3】7．如圖，已知等邊△ABC的內(nèi)切圓⊙O半徑為3，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．6【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OD⊥BC，則OD＝3；∵O是△ABC的內(nèi)心，∴∠OBD＝30°；Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝3，∴OB＝6，∴BD＝3，∴AB＝BC＝2BD＝6．故選：C．【即學(xué)即練4】8．已知△ABC的三邊長(zhǎng)a＝3，b＝4，c＝5，則它的內(nèi)切圓半徑是1．【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝5，∴a2+b2＝c2，∴∠ACB＝90°，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切AC于E，切AB于F，切BC于D，連接OE、OF、OD、OA、OC、OB，內(nèi)切圓的半徑為R，則OE＝OF＝OD＝R，∵S△ACB＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，∴×AC×BC＝×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD，∴3×4＝4R+5R+3R，解得：R＝1．故答案為：1．【即學(xué)即練5】9．已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半徑r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半徑r．【解答】解：如圖；在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm；根據(jù)勾股定理AB＝＝15cm；四邊形OFCD中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°；則四邊形OFCD是正方形；由切線長(zhǎng)定理，得：AD＝AE，CD＝CF，BE＝BF；則CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）；即：r＝（12+9﹣15）＝3．當(dāng)AC＝b，BC＝a，AB＝c，由以上可得：CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）；即：r＝（a+b﹣c）．則⊙O的半徑r為：（a+b﹣c）．知識(shí)點(diǎn)03弦切角定理弦切角的定義：如圖，像∠ACP這樣頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，一邊與圓相切的角叫弦切角。即圓的切線與弦構(gòu)成的夾角。弦切角定理：弦切角的度數(shù)與它所夾的弧的圓周角度數(shù)相等。等于它所夾弧的圓心角度數(shù)的一半。證明提示：連接圓心與切點(diǎn)，過(guò)圓心作弦的切點(diǎn)即可證明。題型考點(diǎn)：①利用弦切角定理計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】10．如圖，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切線，過(guò)B點(diǎn)作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E點(diǎn)，若AE平分∠BAD，則∠ABD的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．60°【解答】解：∵AC是⊙O切線，∴∠DAE＝∠B，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠B＝∠BAE，∵BD⊥AC，∴∠DAE＝∠B＝∠BAE＝30°．故選：A．【即學(xué)即練2】11．如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：連接BC，∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．【即學(xué)即練3】12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點(diǎn)C，∠PCB＝35°，則∠B等于55度．【解答】解：∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案為：55．題型01切線長(zhǎng)定理求長(zhǎng)度【典例1】如圖，⊙O與△ABC的邊AB、AC、BC分別相切于點(diǎn)D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的長(zhǎng)為7．【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切線，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．【典例2】如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為P、C、D，若AB＝4，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切線，∴AP＝AC＝3，∵AB＝4，∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，∵BP、BD是⊙O的切線，∴BD＝BP＝1，故選：D．【典例3】如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長(zhǎng)度為（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，∴AD+7＝10+8，解得：AD＝11．故選：D．【典例4】如圖，直線AB、CD、BC分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，則BE+CG的長(zhǎng)等于（）A．13 B．12 C．11 D．10【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CD、BC，AB分別與⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝10，∴BE+CG＝10（cm）．故選：D．題型02切線長(zhǎng)與周長(zhǎng)【典例1】如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．20【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長(zhǎng)為16．故選：C．【典例2】如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝8，CD＝15，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為46．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，如圖，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝23，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46，故答案為：46．【典例3】以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過(guò)點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)F，交AB邊于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為12，則直角梯形ABCE周長(zhǎng)為（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：設(shè)AE的長(zhǎng)為x，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∵CE與半圓O相切于點(diǎn)F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周長(zhǎng)為14．故選：C．題型03三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)【典例1】如圖，已知圓O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠A＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（）?A．140° B．135° C．125° D．110°【解答】解：∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，∴點(diǎn)O為三角形的內(nèi)心，即點(diǎn)O為△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝．∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°．∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．故選：C．【典例2】如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，若∠C＝80°，則∠MAN的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．80°【解答】解：在△ABC中，∠C＝80°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∴∠ANB＝80°，∵M(jìn)為△ABC的內(nèi)心，∴AM、BM為∠BAC、∠ABC的平分線，∴∠BAM＝∠BAC，∠ABM＝∠ABC，∴∠BAM+∠ABM＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝50°，∴∠AMN＝50°，在△AMN中，∠MAN＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣50°﹣80°＝50°．故選：A．【典例3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)P是△ACM的內(nèi)心，則∠MPC的度數(shù)（）A．等于115° B．可以等于80° C．等于120° D．無(wú)法確定【解答】解：∵∠ACB＝80°，AC＝BC，∴∠B＝∠A＝50°，設(shè)∠BCM＝x°，則∠MCA＝80°﹣x，∴∠AMC＝50°+x，∵點(diǎn)P是ACM的內(nèi)心，∴CP平分∠MCA，MP平分∠AMC，∴∠MCP＝∠ACP＝MCA＝（80°﹣x），∠CMP＝∠AMP＝AMC＝（50°+x），∴∠MPC＝180°﹣∠MCP﹣∠CMP＝180°﹣（80°﹣x）﹣（50°+x°）＝115°．故選：A．【典例4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點(diǎn)D、E、F，則圓心O到頂點(diǎn)A的距離是（）A． B．3 C． D．【解答】解：如圖，連結(jié)OD，OE，OF，設(shè)⊙O半徑為r，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點(diǎn)D、E、F，，∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四邊形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，∵AF+BF＝AB＝5，∴3﹣r+4﹣r＝5，∴r＝1．∴OD＝CD＝1，∴AD＝3．∴AO＝＝，故選：C．【典例5】如圖，在⊙?O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的內(nèi)心，則線段OI的值為（）A．1 B．﹣3 C．5﹣ D．【解答】解：如圖，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于H，連接OB．∵＝，∴AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝9，設(shè)OA＝OB＝x，在Rt△BOH中，∵OB2＝OH2+BH2，∴x2＝（9﹣x）2+32，∴x＝5，∴OH＝AH﹣AO＝9﹣5＝4，∵S△ABC＝?BC?AH＝?（AB+AC+BC）?IH，∴IH＝＝﹣1，∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（﹣1）＝5﹣，故選：C．【典例6】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，【解答】解：如圖，連接IF，IE．∵△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，∴∠EIF＝180°﹣α，∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．故選：D．題型04弦切角定理的應(yīng)用【典例1】如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：連接BC，∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．【典例2】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠ABC＝65°，則∠D的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【解答】解：連接OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，∴∠BCD＝∠A＝25°，∵∠OBC＝∠BCD+∠D∴∠D＝65°﹣25°＝40°．故選：C．【典例3】如圖，BD為圓O的直徑，直線ED為圓O的切線，A、C兩點(diǎn)在圓上，AC平分∠BAD且交BD于F點(diǎn)．若∠ADE＝19°，則∠AFB的度數(shù)為何？（）A．97° B．104° C．116° D．142°【解答】解：∵BD是圓O的直徑，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直線ED為圓O的切線，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故選：C．【典例4】如圖，PA、PB分別是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑．已知∠APB＝70°，則∠ACB的度數(shù)為55°．【解答】解：∵PA、PB分別是⊙O的切線，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．1．如圖，AB、AC、BD分別切⊙O于點(diǎn)P、C、D．若AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵AC、AP為⊙O的切線，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故選：C．2．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝5，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．10【解答】解：∵PA、PB為圓的兩條相交切線，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周長(zhǎng)＝10，故選：D．3．如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故選：B．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，若⊙O的半徑為2，AD?DB＝24，則AB的長(zhǎng)（）A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：如圖連接OE、OF．則由題意可知四邊形ECFO是正方形，邊長(zhǎng)為2．∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴可以假設(shè)AD＝AF＝a，BD＝BE＝b，則AC＝a+2，BC＝b+2，AB＝a+b，∵AC2+BC2＝AB2，∴（a+2）2+（b+2）2＝（a+b）2，∴4a+4b+8＝2ab，∴4（a+b）＝48﹣8，∴a+b＝10，∴AB＝10．故選：B．5．如圖，△ABC的內(nèi)切圓圓O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠DEF＝53°，則∠A的度數(shù)是（）A．36° B．53° C．74° D．128°【解答】解：連接OD、OF，∵⊙O分別與AB、AC相切于點(diǎn)D、點(diǎn)F，∴AB⊥OD，AC⊥OF，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∵∠DEF＝53°，∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，故選：C．6．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，下列選項(xiàng)中，⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)圓O的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，切AB于F，如圖，∵OE⊥AC，OD⊥BC，∠C＝90°，∴四邊形OECD是矩形，又∵OE＝OD，∴四邊形OECD是正方形，∴CE＝CD，∵AE＝AF，BD＝BF，∴a﹣x+b﹣x＝c，∴x＝，∴⊙O的半徑為，故選：A．7．點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∠P＝70°，點(diǎn)C是⊙O上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），則∠ACB等于（）A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°【解答】解：如圖，∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度數(shù)為250°，∴∠ACB＝125°．故選：D．8．如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠FOG＝120°，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，給出下列四個(gè)結(jié)論：①△ODE形狀不變；②△ODE的面積最小不會(huì)小于四邊形ODBE的面積的四分之一；③四邊形ODBE的面積始終不變；④△BDE周長(zhǎng)的最小值為1.5a．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點(diǎn)O是等邊△ABC的內(nèi)心，∴OB＝OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∠BOD＝∠COE，BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正確；∴S△BOD＝S△COE，∴四邊形ODBE的面積＝S△OBC＝S△ABC＝×a2＝a2，所以③正確；作OH⊥DE，如圖，則DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝?OE?OE＝OE2，即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，∵BD＝CE，∴△BDE的周長(zhǎng)＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝a+DE＝a+OE，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)OE＝a，∴△BDE周長(zhǎng)的最小值＝a+a＝1.5a，所以④正確；∴△ODE的面積最小為：（a）2＝a2，而四邊形ODBE的面積為：a2，∴△ODE的面積最小不會(huì)小于四邊形ODBE的面積的四分之一，所以②正確綜上所述：上述結(jié)論中正確的是①②③④．故選：A．9．如圖，小明同學(xué)測(cè)量一個(gè)光盤(pán)的直徑，他只有一把直尺和一塊三角板，他將直尺、光盤(pán)和三角板如圖放置于桌面上，并量出AB＝3cm，則此光盤(pán)的直徑是6cm．【解答】解：∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC與⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盤(pán)的直徑是6cm．故答案為：6．10．如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6，，則⊙O的半徑為．【解答】解：過(guò)O作交BC于E，設(shè)BE＝x，∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，OB＝3，OC＝6，，在Rt△OBE中，由勾股定理可得：32＝x2+r2，在Rt△OCE中，由勾股定理可得：，故，解得，故，故答案為：．11．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝5，則△PCD的周長(zhǎng)為10．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA＝PB＝5；同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；∴△PDC的周長(zhǎng)＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．即△PCD的周長(zhǎng)是10．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角邊BC在x軸上，其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為I（0，1），拋物線y＝ax2+2ax+1的頂點(diǎn)為A，則a＝．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為I（0，1），∴CE＝OC＝OI＝1，OB＝BD，AE＝AD，∴AB＝AD+BD＝AE+OB，設(shè)AE＝x，OB＝y(tǒng)，∴AC＝x+1，BC＝y(tǒng)+1，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，即AB＝2（x+1），2（x+1）＝x+y，化簡(jiǎn)得y＝x+2①，由勾股定理，得（x+1）2+（y+1）2＝[2（x+1）]2，化簡(jiǎn)得3x2+6x﹣y2﹣2y+2＝0②，把①代入②解得：（負(fù)值不符合題意，已舍去），∴，∴，∵y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2+1﹣a，∴拋物線y＝ax2+2ax+1的頂點(diǎn)為（﹣1，1﹣a），∵拋物線y＝ax2+2ax+1的頂點(diǎn)為A，∴，∴，故答案為：．13．如圖，PA、P