四川省廣安市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

廣安市2022年秋季高一期末試題數(shù)學(xué)一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每題僅一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，，則圖中陰影部分表示的集合為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】圖中陰影部分表示，因?yàn)?，所以，故選.2.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先去絕對(duì)值，分段解一元二次不等式，最后得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式即為，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得：或，所以，綜上，原不等式的解集為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值，一元二次不等式的解法，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.3.若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可以排除C選項(xiàng)，根據(jù)定義域與值域的概念排除A，D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，沒有對(duì)應(yīng)的圖像，不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義本選項(xiàng)符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，值域當(dāng)中有的元素在集合中沒有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，不符合題意.故選：B．4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定函數(shù)單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間.【詳解】明顯函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且為連續(xù)函數(shù)，又，，由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是.故選：A.5.在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加：停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出．詳解】在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．排除B．能反映血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象是C．故選：C．6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，以及充要條件的定義可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，可得，所以“”是“”的充要條件.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，以及充要條件的定義求解是解題關(guān)鍵.7.，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，故.故選：D.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，解得：，故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A、D項(xiàng)運(yùn)用作差法判斷，對(duì)于B項(xiàng)由不等式性質(zhì)可判斷，對(duì)于C項(xiàng)舉反例可判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋郧?，即：且，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)可知，若，，則正確，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)，，，時(shí)，滿足，，但不滿足，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，，所以，即：，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A項(xiàng)，方法1：舉反例，方法2：運(yùn)用單調(diào)性性質(zhì)分析；對(duì)于B項(xiàng)，換元法后使用基本不等式分析；對(duì)于C項(xiàng)，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域分析；對(duì)于D項(xiàng)，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性分析其值域.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，方法1：當(dāng)時(shí)，，所以2不是的最小值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；方法2：因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，所以其值域?yàn)镽，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，令，則，所以，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為2，所以值域?yàn)?，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，所以值域?yàn)?，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閷?duì)稱軸為，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以值域?yàn)?，故D項(xiàng)正確.故選：BD.11.下列說法正確的有（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)（且）的圖像恒過定點(diǎn)（2，1）D.函數(shù)的遞減區(qū)間是【答案】BC【解析】【分析】運(yùn)用含有一個(gè)量詞的命題的否定書寫方法可分析A項(xiàng)，運(yùn)用奇函數(shù)的定義分析B項(xiàng)，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)分析C項(xiàng)，運(yùn)用多個(gè)單調(diào)區(qū)間的書寫方法可分析D項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，命題“”的否定是“”，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因定義域?yàn)镽，，所以為奇函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以令，得，代入函?shù)得，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由多個(gè)單調(diào)區(qū)間用“，”隔開或“和”隔開，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12.定義表示不大于的整數(shù)，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（）A.B.若，則的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增D.使得不等式恒成立的的最小值是1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的定義，結(jié)合函數(shù)圖象，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：當(dāng)，此時(shí)，令，解得或，均不滿足，故舍去；當(dāng)，此時(shí)，令，解得，不滿足題意，故舍去；當(dāng)，此時(shí)，令，解得（舍）或，此時(shí)方程有1根；當(dāng)，此時(shí)，令，解得或，不滿足題意，故舍去；當(dāng)，則，故不是的根；綜上所述：在上只有一個(gè)根為，故，則的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，正確；對(duì)：由可知，當(dāng)當(dāng)，此時(shí)，其在不單調(diào)，故在不可能單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，恒成立，；當(dāng)時(shí)，即，即，令，在平面直角坐標(biāo)系中繪制其函數(shù)圖象如下所示：注意到，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，的最小值為零，要滿足題意，只需，解得；綜上所述，的最小值為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義問題，處理問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)的定義，靈活的應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，屬綜合中檔題.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,列出不等式組即可解得其定義域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以解得且，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意可得，解得故答案為：4.15.已知，，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】變形，然后展開，利用基本不等式求最值.【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.16.函數(shù)，若，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】做出函數(shù)圖像，得出和的關(guān)系，以及，和的取值范圍，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，中，，且，做出函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知，，，∴∴，故的取值范圍是，故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分）17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接計(jì)算指數(shù)冪即可；（2）直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】.18.已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后由并集的定義可求得結(jié)果，（2）由，得，然后分和兩種情況求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】因?yàn)椋?，若，符合，則，解得.若，由，得，即，解得，綜上可知的取值范圍是.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）解不等式．【答案】（1）；在上是增函數(shù)；證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，求后，再驗(yàn)證函數(shù)是奇函數(shù)，并利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：先求得，再解分式不等式；方法二：利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性，解不等式.【詳解】解：（1）∵的解集是，∴的定義域是．又∵是奇函數(shù)，∴．∴，即．經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，，符合題意．，經(jīng)判斷可知在上是增函數(shù)．證明：任取，且，則，∴為增函數(shù)，，∴．∴，，．∴，即．∴在上是增函數(shù)．（2）方法一：由，可得，∴等價(jià)于，解得，∴原不等式的解集為．方法二：由（1）在上是增函數(shù)，且，∵，∴，∴，綜合得不等式的解集是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，本題的第一個(gè)關(guān)鍵是奇函數(shù)求解析式時(shí)，在處有定義時(shí)，，第二個(gè)關(guān)鍵是解抽象不等式時(shí)，需根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉“”解不等式，不要忽略函數(shù)的定義域.20.最近，考古學(xué)家再次對(duì)四川廣漢“三星堆古墓”進(jìn)行考古發(fā)掘，科學(xué)家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古生物的年代．已知某放射性元素每年都會(huì)衰減為前一年的倍（），且該放射性元素的半衰期約為4500年（即：每經(jīng)過4500年，該元素的存量變?yōu)樵瓉淼囊话耄阎派镏性撛氐某跏即媪繛閍（參考數(shù)據(jù)：）．（1）求出并寫出該元素的存量與時(shí)間（年）的關(guān)系；（2）經(jīng)檢測(cè)古生物中該元素現(xiàn)在的存量為，請(qǐng)推算古生物距今大約多少年？【答案】（1）（2）6000年【解析】【分析】（1）根據(jù)半衰期的定義即可得出該元素的存量與時(shí)間（年）的關(guān)系；（2）根據(jù)（1）中所給函數(shù)及古生物中該元素現(xiàn)在的存量，即可求出古生物距今大約多少年.【小問1詳解】由題意，放射性元素每年都會(huì)衰減為前一年的倍（），且該放射性元素的半衰期約為4500年∴【小問2詳解】由題意及（1）得，在中，當(dāng)古生物中該元素現(xiàn)在的存量為時(shí)，，即，∴，解得：，∴古生物距今大約6000年.21.已知定義域?yàn)榈膯握{(diào)減函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的解析式；（2）若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，求的值；求出的解析式，即可求的解析式；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，在上是減函數(shù)，所以．即對(duì)任意恒成立，，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以．所以．綜上，【小問2詳解】由得．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以．又在上是減函數(shù)，所以．即對(duì)任意恒成立．解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．22.已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（1）已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將的解析式上下同除