定積分的概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)

《定積分的概念》教學(xué)案例設(shè)計(jì)1教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)1.1教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：1.通過求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程，了解定積分概念的實(shí)際背景意義；2.借助于幾何直觀理解定積分的根本思想，了解定積分的概念，會應(yīng)用定積分的定義求函數(shù)的定積分．3.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；能力目標(biāo)：體會“以直代曲〞，“無限逼近〞，“近似代替〞等數(shù)學(xué)思想.情感態(tài)度價(jià)值觀：體會定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的強(qiáng)大威力.教學(xué)重點(diǎn)微元法思想和定積分的根本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)無限細(xì)分和無窮累積的思維方法2教學(xué)過程簡錄2.1實(shí)例鋪路，引出課題教師：“回憶前面曲邊圖形面積，變速運(yùn)動的路程，變力做功等問題的解決方法，解決步驟是什么？〞學(xué)生：分割→以直代曲→求和→取極限〔逼近〕教師：“對這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)．〞師生共同歸納得出，以上兩個(gè)例子盡管來自不同領(lǐng)域，卻都?xì)w結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的和式的極限.我們以后還將看到，在求變力所作的功、水壓力、某些空間體的體積等許多問題中，都會出現(xiàn)這種形式的極限，因此，有必要在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一對它們進(jìn)行研究．演示驗(yàn)證，直觀感知教師：“讓我們再次回憶解決曲邊梯形的面積的方法，體會當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.〞〔教師動畫演示對曲邊梯形的分割過程〕這是曲邊梯形的過剩近似值的擬合效果，請同學(xué)們再觀察其缺乏近似值的動畫演示.教師：表達(dá)了哪些數(shù)學(xué)思想，哪位同學(xué)說說？學(xué)生1：以上對曲邊梯形的無限分割表達(dá)了“無限逼近〞的思想。學(xué)生2：還有“近似代替〞的思想，用缺乏近似值和過剩近似值代替曲邊梯形的面積，以及“以直代曲〞的思想.教師：這種求面積的方法具有普遍意義，為此，引入定積分的概念.2.2.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任意用分點(diǎn)將分成個(gè)小區(qū)間，用表示第個(gè)小區(qū)間的長度，在上任取一點(diǎn)，作乘積，.再作和.假設(shè)當(dāng)時(shí)，上式的極限存在，那么稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并稱此極限值為在上的定積分，記作.即.(1)其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為積分下限和上限.許多實(shí)際問題都可用定積分表示.例如，假設(shè)變速直線運(yùn)動的速度為，那么在時(shí)間區(qū)間上，物體經(jīng)過的路程為.(2)同理，圖5－1所示的曲邊梯形面積可表為圖5－1a=x圖5－1a=x0x1x2xi-1xixn-1xn=biOn12y=f(x)xy變力做功(4)=1\*ROMANI．在可積，是指不管對區(qū)間分劃的方式怎樣，也不管點(diǎn)在小區(qū)間上如何選取，只要，極限值總是唯一確定的.哪些函數(shù)是可積的呢？定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在上可積；在區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)也必在上可積.=2\*ROMANII．定積分是一個(gè)數(shù)，只取決于被積函數(shù)與積分區(qū)間，而與積分變量的記號無關(guān)，即．=3\*ROMANIII．定義定積分時(shí)已假定下限小于上限，為便于應(yīng)用，規(guī)定當(dāng)時(shí)，．．定積分的幾何意義=1\*ROMANI．假設(shè)，那么積分表示如下圖的曲邊梯形的面積，即．針對訓(xùn)練：用定積分表示以下圖形的面積.(兩名學(xué)生上黑板板書)學(xué)生1：學(xué)生2：隨堂檢測：利用定積分的幾何意義求值:yxoyxo12(請兩名同學(xué)在黑板上板演，并解說自己的想法)學(xué)生3：〔略〕學(xué)生4：半徑為2的半圓，此積分計(jì)算的是半圓的面積.半徑為2的半圓，此積分計(jì)算的是半圓的面積.練習(xí)：計(jì)算以下定積分學(xué)生5：〔略〕學(xué)生6：〔略〕=2\*ROMANII．假設(shè)，那么積分表示如圖5－3所示的曲邊梯形面積的負(fù)值，即y=fy=f(x)baOyx這是顯然的，因?yàn)榇藭r(shí)曲邊梯形各點(diǎn)處的高是而不是．對定積分的幾何意義的幾點(diǎn)補(bǔ)充說明：根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影局部的面積?ababyf(x)OxyyOxyyf(x)學(xué)生7：可以用兩局部面積的差表示：y=f(x)Oyx=3\*ROMANIII．如果在上的值有正也有負(fù)，如圖，那么積分表示介于軸、曲線及直線之間各局部面積的代數(shù)和．即在軸上方的圖形面積減去軸下方的圖形面積：．y=f(x)Oyx2.2.3根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2〔其中k是不為0的常數(shù)〕〔定積分的線性性質(zhì)〕性質(zhì)3〔定積分的線性性質(zhì)〕性質(zhì)4〔定積分對積分區(qū)間的可加性〕教師：你能將性質(zhì)4可加性推廣到更一般的情況嗎？〔學(xué)生展開討論，選取幾個(gè)油代表性的，師生共同歸納得出〕說明：①推廣：②推廣:③性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)1性質(zhì)4性質(zhì)1練習(xí)：1、根據(jù)定積分的可加性，可將以下定積分表示為？學(xué)生8：2、計(jì)算定積分：學(xué)生9：〔2〕式表示半圓2.3發(fā)散思考，深入探索不計(jì)算積分，比擬以下各組積分的大小:(1),;(2),;(3),;(4),.〔四名同學(xué)板演，教師巡視，各小組共同討論得出〕學(xué)生10：在同一區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值大的，對應(yīng)的定積分值大。學(xué)生11：同一函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的積分值比擬大小，先看函數(shù)值的正負(fù)，再看區(qū)間范圍的大小.教師：表述更嚴(yán)謹(jǐn)應(yīng)該怎么說？學(xué)生11：應(yīng)該是區(qū)間長度的大小.教師：推廣到一般情形呢？:學(xué)生12：假設(shè)在區(qū)間上，，那么．學(xué)生13：假設(shè)在區(qū)間上，，那么．學(xué)生14：先畫圖再定值.比擬積分區(qū)間上兩函數(shù)大小,再由即得(3)令,.2.4歸納小結(jié)，提煉升華〔學(xué)生從知識和數(shù)學(xué)思想兩方面總結(jié)，教師加以歸納引導(dǎo)〕1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？定積分的概念、定積分法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．2、表達(dá)了哪些數(shù)學(xué)思想？“以直代曲〞，“近似代替〞，“無限逼近〞，“極限的思想〞作業(yè)課本50頁習(xí)題