2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)北師大版必修4教學(xué)教案：2.4.1平面向量的坐標(biāo)表示

2.4.1平面向量的坐標(biāo)表示

一、教學(xué)目標(biāo)

1)、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2)、掌握向量垂直的條件

3)、了解用平面向量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題

二、教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

三、教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決問題

四、教學(xué)過程：

問題1：設(shè)i是X軸上的單位向量，，是y軸上的單位向量，則

①—②3j=—③卜，=—④力j=一

設(shè)計(jì)意圖：鞏固向量數(shù)量積的概念，并為下面的問題做鋪墊

a={x],yl),b=(x2,y2),貝!|4/=%4+乂%，

讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)，教師歸納得：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于

它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

問題2：向量的數(shù)量積的性質(zhì)如何用坐標(biāo)表示？

(1)。=(%)，乂),則⑷怎么表示？

(2)若g,yj,B(%,%)則I而I又如何表示?

⑴|“|=&+靖(2)|AB|=+

問題3:你能寫出向量夾角公式的坐標(biāo)表示式以及向量平行和垂

直的坐標(biāo)表示式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：仍然在幫助學(xué)生回憶有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的過程中，引導(dǎo)他們用坐

標(biāo)的形式表示，通過兩向量的兩種特殊位置關(guān)系，體會(huì)向量的坐標(biāo)表

示，感受向量的數(shù)量積的作用。并幫助學(xué)生記住這些結(jié)論

(1)cos"上——.

22

IaI,gI&+y「-y/x2+y2

(2)a//b<^>x}y2-x2yi=0

(3)a1?人<=>%々+Ni%=0

4、例題解析

例1.已知1=(3,0),b=(-5,-5),求黑兀向，曲，Z與否的夾角6?？?/p>

以接著問：a,b的夾角怎么求？

先讓學(xué)生嘗試解答，體會(huì)自主應(yīng)用新知識(shí)解決問題的過程，然后給

出詳細(xì)解答.

例2.已知4(1,2),5(2,3),C(-2,5),試判斷AA8C的形狀，并給出證明.

解：AA3C是直角三角形.證明如下：

,/Afi=(1,1),AC=(-3,3)

/.ABAC=lx(-3)+lx3=0

/.AB1AC

/.A45c是直角三角形

先讓學(xué)生畫出簡(jiǎn)圖，直觀感知三角形的形狀，然后引導(dǎo)學(xué)生分析

解答.注重培養(yǎng)學(xué)生由觀察一一猜測(cè)一一證明的思維方法。

練習(xí)1,己矢及z=(2,1),5=(〃?,2),問桃為彳可值日寸

其夾角為銳角？

5、課堂小結(jié)(學(xué)生回答，教師補(bǔ)充)

⑴掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)

算；

⑵掌握平面向量的模的坐標(biāo)公式以及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；

⑶掌握兩個(gè)平面向量的夾角的坐標(biāo)公式；

⑷能用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系;

課題：2.4.1平面向量的坐標(biāo)表示

用向量的坐

教學(xué)目的要求：標(biāo)反映向量的數(shù)

1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示量積，為研究數(shù)量

2、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件積開創(chuàng)了一個(gè)新

教學(xué)重點(diǎn)：天地，體現(xiàn)了代數(shù)

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及由此推得的長(zhǎng)度、角度、垂直關(guān)系與幾何的完美結(jié)

的坐標(biāo)表示。合，通過本節(jié)學(xué)

教學(xué)難點(diǎn)：習(xí)，使學(xué)生感受到

坐標(biāo)法3決長(zhǎng)度、角度、垂直等問題

同一事物的不同

表示形式不會(huì)改

教師引導(dǎo)過程：學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)：變其本質(zhì)規(guī)律。

一、引入向量一?向量的加法與減法

1、能說出我們學(xué)了向—?平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

量的哪幾部分內(nèi)容—?平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

嗎？

2、平面向量的數(shù)量積.—?,,

定義：?。

是如何定義的？它有a?b-acos

什么幾何意義？

幾何意義：數(shù)量】石等于Z的長(zhǎng)度同與了

溫故而知新，學(xué)習(xí)

-*—,總是與一定的知

在。方向上的投影網(wǎng)cos的乘積。

識(shí)背景相聯(lián)系，利

用學(xué)生已有知識(shí)

3、平面向量的數(shù)量積—?2-*2和經(jīng)驗(yàn)引出新知

的性質(zhì)是什么？①長(zhǎng)度的表示：a=a識(shí)，不但保持已獲

取的知識(shí)，而且遷

移到陌生的情境

②角度的表不：cos=一一中

\a\\b\

③兩平面向量垂直的充要條件：

aLbab=o

4、練習(xí)x軸上單位向量i,y軸上單位向量j,

則：又j?j=_____，j'j=______，

i?八____，J'i=______

教師引導(dǎo)過程：學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng):

我們知道，向量的表

示形式不同，對(duì)其運(yùn)

算的表達(dá)形式也會(huì)改8（%,力）

變，用坐標(biāo)來表示向

量，為我們解決向量

的加、減帶來了方便，匕

那么向量的數(shù)量積能

圖5-32

否用坐標(biāo)表示呢？如

果能，形式又是怎樣解：設(shè)：是X軸上的單位向量，

充分體現(xiàn)學(xué)

呢？這節(jié)課我們探討

為主體，教為主

這個(gè)問題。了是y軸上的單位向量，

導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生實(shí)

二、新課講解踐，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維

（一）平面向量數(shù)量積

a=x\i+y\j,b=x2i+y2j過程，自得知識(shí)，

的坐標(biāo)自覓規(guī)律，自悟原

1、［問題］已知兩個(gè)非=(xli^yj)(x2i+y2j)理，主動(dòng)發(fā)展思維

零向量

-2■*———和能力。

=xxi+xyij+xyij+

。=（占,必），I2l22l

一2

b=（x2,y2）

,試用。和〃的坐標(biāo)表=xlx2+y1y2

示。?

b通過結(jié)論的

分析：已知的是兩向量坐推導(dǎo)過程培養(yǎng)學(xué)

標(biāo)，要進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，生歸納和能力。

只須根據(jù)向量坐標(biāo)的意

義，用運(yùn)算律解決。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘

2、能把這個(gè)結(jié)論用文積的和。

字表述嗎？

這是向量數(shù)量積的計(jì)知兩向量坐標(biāo)求數(shù)量積

算法則，什么時(shí)候適

用？

（二）有關(guān)性質(zhì)

有了數(shù)量積的坐標(biāo)表

示，我們就可以自己來

探討長(zhǎng)度、角度、垂直

的坐標(biāo)表示

|a|2=x2+j2njc|a|=^x2+J2

(1)設(shè)a=(x,y),求

教師引導(dǎo)過程：學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng):

(2)如果表示向量

a=AB=(x-x,y-y)

：=入方的有向線段的i2l2

一*2心+(71一%/

起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分通過性質(zhì)的

(平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式)推導(dǎo)過程培養(yǎng)學(xué)

別為A(M，y)、

生歸納能力、類比

推理能力和初步

B(x,y)?求AB

22cose=衛(wèi)=,再也+必.運(yùn)用所學(xué)新知識(shí)

(3)夾角能表示嗎？的能力。

1。1?聞y/x：+y；丘22+丫2°

(4)如何判定向量垂

直？(用坐標(biāo)表示)：〃J_%=a?b=0即xixz+yiyi=0

注意與向量共線的坐

標(biāo)表示的區(qū)別：

向量共線的充要條件

有哪兩種形式？a//b(b6)=力'

或修為一"1=0

(要從意義上區(qū)別)

由此可見，數(shù)量積有不

同的表示形式，體現(xiàn)了

數(shù)和形的美妙結(jié)合，但

它的本質(zhì)規(guī)律不會(huì)改

變，數(shù)量積的坐標(biāo)表示

為用“數(shù)”的運(yùn)算處理

“形”的問題架起了橋

梁。下面我們利用這座

橋解決問題。

(三)應(yīng)用知識(shí)的直接

例1：(1)直接運(yùn)用法(例題、練習(xí)以學(xué)生做老師、引導(dǎo)點(diǎn)評(píng)為主)運(yùn)用，有助于學(xué)生

則解決問題鞏固新學(xué)的知識(shí)。

例1(1)設(shè)。=

(5,-7),b=(-6,-4),用坐標(biāo)法表

示向量的數(shù)量積

求a?bo解決課本在上一

節(jié)提出的問題，使

(2)設(shè)

a=(5,-7),b=(-6,-4),學(xué)生初步體會(huì)到

新知識(shí)的作用。

求?否)和?(辦?

(2)由此題我們得到c=(-2,4),(a,cac)

什么結(jié)論？說明：平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，設(shè)置階梯，使

學(xué)生能用向量證

例2(1)

例2(1)此例結(jié)果與a=(cosa,sina),明己學(xué)的公式，體

我們學(xué)過的什么知識(shí)會(huì)到用向量解決

有關(guān)？b=(cos^,sin^),求a問題特別是有關(guān)

角度問題的優(yōu)越

教師引導(dǎo)過程：性。使學(xué)生對(duì)知識(shí)

學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)：的運(yùn)用有一個(gè)質(zhì)

的飛躍，進(jìn)一步提

(2)證U=

高學(xué)生運(yùn)用向量

的意識(shí)。

|flj?例cos第二種情況

留給學(xué)生課后思

=cos(a一夕)即可

考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)

注意，為“與力的夾的主動(dòng)性。

角

(有兩種情況)

利用向量方

法解幾何題，特別

是角度、長(zhǎng)度問

例3、已知：=(1,6)，ft=(V3+l,V3-l)題，是本課重點(diǎn)之

說明：此題有關(guān)平面內(nèi)一，一方面體現(xiàn)向

兩個(gè)非零向量的夾角

求a與芯的夾角量的應(yīng)用性，另一

問題，代入式子計(jì)算即方面，能在應(yīng)用中

達(dá)到對(duì)向量知識(shí)

—r八ab

可COS0=-------的理解與掌握。

\a\-\b\

通過幾何形式和

例4、例3.已知三點(diǎn)A(-1,-1),B(2,3),代數(shù)形式的互化，

說明：此題體現(xiàn)了向量C(3,-1),求證：三角形ABC是銳角三角使學(xué)生透徹理解

的數(shù)量積的不同表示形數(shù)量積的兩種表

本質(zhì)的一致性，達(dá)形式。

通過表格對(duì)

三、課堂小結(jié):比兩種表達(dá)形式

(填表)進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生

對(duì)向量的數(shù)量積

數(shù)量

長(zhǎng)度角度垂直及有關(guān)

積

性質(zhì)的表示有清

定義

晰的認(rèn)識(shí)。以便區(qū)

形式

分和應(yīng)用。

坐標(biāo)

這兩種形式在解題A組:

形式

時(shí)經(jīng)常使用1、股

下節(jié)課我們解決兩向本121頁(yè)第2題

量垂直問題及用向量

、已知向量與同向,

證明平幾問題2a1b=(1,2),

—?—*-?

ab=io,(1)求a的坐標(biāo)

四、作業(yè):

(2)求

3.已知向量a=(cosa,sina),

1=(cos4,sin夕),(0<a<j3<^),

且Aa+1與a-總大小相等，求z7-a

(其中A為非零實(shí)數(shù))

2.4.1平面向量的坐標(biāo)表示

教學(xué)分析

1.前面學(xué)習(xí)了平面向量的基本定理，.在引入了平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化，將

數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.

2.本小節(jié)主要是提出向量的坐標(biāo)的概念，運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律，推導(dǎo)

兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線性運(yùn)算

的交換律、結(jié)合律和分配律.

三維目標(biāo)

1.通過經(jīng)歷探究活動(dòng)，使學(xué)生掌握平面向量的坐標(biāo)及平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐

標(biāo)表示方法.理解并掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

2.引入平面向量的坐標(biāo)可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，平面向量的坐標(biāo)成了數(shù)與形結(jié)合的載體.

3.在解決問題過程中要形成“見數(shù)思形、以形助數(shù)”的思維習(xí)慣，以加深理解知識(shí)要點(diǎn),增強(qiáng)應(yīng)

用意識(shí).

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):平面向量的坐標(biāo)表示及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn):對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示的理解.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)

1、平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

如果ex,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于

這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)XI,X2

使得a=\ex+A2e2

2、什么是向量的正交分解？

基底互相垂直

教學(xué)目標(biāo)

1.理解平面向量的坐標(biāo)含義

2.掌握求向量坐標(biāo)的方法及坐標(biāo)的運(yùn)算

探索1：

以O(shè)為起點(diǎn)，A為終點(diǎn)的向量能否用坐標(biāo)表示？如何表示?

OP=OR+O旦=3i+2j

記

說明：

⑴從原點(diǎn)出發(fā)防向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)1的坐標(biāo)

(2)相等向量的坐標(biāo)也相同；

4二（玉,弘）,石二（入2，＞2），4=30

向量基底形式OA—xi+yJ

0A=(x,y)

向量的坐標(biāo)形式

探索2

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)。的向量又如何處理呢?

答：平移至起點(diǎn)為原點(diǎn)

■I媚236,畫0我標(biāo)就，仙微-嫄|而=

45/他=胱林量褊蝙

解也局=|O4|cos60。=x；=2石

|O4|=|OA|sin60。=46、三=6

所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為QV3,6）,既厲=（2g,6）

探索3

平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算可以用坐標(biāo)來運(yùn)算嗎？

已矢居=（*],弘）石=（%2，%）,貝必+1,4—加而坐標(biāo)如何求?

推導(dǎo)以=*]1+丫",6=%21+丫2上

—?-?

貝必+Z?=+yj+(xj+y2j)=(X+%2)f+(M+

所防+5=&+w，y+%)

向量的坐標(biāo)運(yùn)算

。=(%”%)力=(%2，%)則

a+h=(再+工2,%+丁2)

―?—?

a-b={xx_%2，X-％)

—?

Aa-(ZX1,Xy)

牛刀小試：已矢區(qū)=(2,1)3=(-3,4),求：

-2a,a+b,a-b,3a+4函勺坐標(biāo)

角牟：-2a=(-4,-2)

2+石=(2,1)+(—3,4)=(—1,5)

2-1=(2,1)-(—3,4)=(5,-3)

3a-h4b=3(2,1)+4(-3,4)=(-6,19)

探索4

寫出以A(Xpy,)為起點(diǎn)，B(x2,y2)為終點(diǎn)的向最行

的坐標(biāo)？

AB=OB-OA={x2,y2)-(xx,yx)=(x2-xx,y2-yx)A(xi,yi)

B%,y2)

結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向

線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。

例2：已知平面上三點(diǎn)4(2,-4),3(0,6),C(-8,10),

求⑴AB-AC,(2)AB+2BC;(3)BC--AC

2

教師分析，學(xué)生完成

對(duì)應(yīng)提升：已知43=a,求下列點(diǎn)的坐標(biāo)

(1)2=(4,5),A=(2,3),求B的坐標(biāo)

(2)2=(4,5),B=(2,3),求A的坐標(biāo)

解答：(1)B(6,8)

(2)A(-2,-2)

課堂練習(xí)

1日矢口【句=(x+3,x—3y-4)-^

AA相等,其中A41,2),BQ3g，美x,y

2口矢口A=<2,—1),石=<一4,8),

+3EU=O,與之OU'S勺勻仝木示-

課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)平面向量的坐標(biāo)表示:平面向量的和、差、數(shù)乘的

坐標(biāo)運(yùn)算.

2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，定義法、歸納、整理、概括的思想，強(qiáng)調(diào)在今后

的學(xué)習(xí)中,要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學(xué)態(tài)度和求實(shí)開拓的精神，為

將來的發(fā)展打下良好基礎(chǔ).

作業(yè)

課本習(xí)題2—4A.組5、6、7.

設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)課中向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算實(shí)際上是向量的代數(shù)運(yùn)算.這對(duì)學(xué)生來說學(xué)習(xí)并不困難，可

大膽讓學(xué)生自己探究.本教案設(shè)計(jì)流程符合新課改精神.教師在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)，始終抓住向

量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量具有數(shù)與形緊密結(jié)合的特點(diǎn).讓學(xué)生在了解向

量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步熟悉向量的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算法則、運(yùn)算律，能熟練向量代數(shù)

化的重要作用和實(shí)際生活中的應(yīng)用，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問題、解決問題的能力.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算包括向量的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算.相比較而言，學(xué)生對(duì)向量的代數(shù)運(yùn)算

要容易接受一些，但對(duì)向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難，無從下手.向量的幾何運(yùn)算主要包

括向量加減法的幾何運(yùn)算，

3.通過平面向量坐標(biāo)的加、減代數(shù)運(yùn)算，結(jié)合圖形,不但可以建立向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間

的聯(lián)系，而且教師可在這兩題的基礎(chǔ)上稍作推廣，就可通過求向量的模而得到直角坐標(biāo)系內(nèi)的

兩點(diǎn)間的距離公式甚至可以推出中點(diǎn)坐標(biāo)公式.它們?cè)谔幚砥矫鎺缀蔚挠嘘P(guān)問題時(shí)，往往有其

獨(dú)到之處，教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力.

2.4.1平面向量的坐標(biāo)表示

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能

(1)掌握平面向量正交分解及其坐標(biāo)表示.

(2)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算.

(3)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

2.過程與方法

通過將基底特殊化(向量的正交分解)，使向量的表示形式統(tǒng)一，這樣就為研

究向量之間的運(yùn)算及其他關(guān)系奠定基礎(chǔ).通過這樣的過程，學(xué)習(xí)研究和處理問題

的方法.

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

通過對(duì)向量的正交分解的學(xué)習(xí)；讓學(xué)生進(jìn)一步一般的問題往往歸結(jié)為人們最

熟悉的特殊的問題，體會(huì)領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的思想；培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神.

二.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)表示.

難點(diǎn)：對(duì)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量平行的坐標(biāo)表示的理解.

三.學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：自主性學(xué)習(xí)，探究式學(xué)習(xí)法；反饋練習(xí)法

教學(xué)用具：多媒體一體機(jī)，PPT.

四.教學(xué)過程

【復(fù)習(xí)回顧】

1、我們學(xué)習(xí)了平面向量的那些表示？（字母表示，有向線段）

2、平面向量的基本定理（基底），什么是正交分解？（學(xué)生回答）

5=入1的+入202其實(shí)質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向

量的線性組合.

今天，我們來學(xué)習(xí)平面向量的又一種表示一一坐標(biāo)表示。（板書課題）

【探究新知】

（一）平面向量的坐標(biāo)表示

思考：在平面直角坐標(biāo)系下，如果我們?nèi)∫唤M正交基底，那么向量的線性運(yùn)算會(huì)

有什么影響呢？（學(xué)習(xí)閱讀課本第88頁(yè)，前四個(gè)自然段后，師生共同

總結(jié)平面向量的坐標(biāo)表示的定義）

取x軸、y軸上兩個(gè)單位向量i,/作基底，則平面內(nèi)作一向量a=xi+y/

記作：方=（x,y）稱作向量，的坐標(biāo)

【概念深化】

學(xué)生思考，討論：

①向量的坐標(biāo)與什么點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)？（一一對(duì)應(yīng)，建立向量坐標(biāo)的概念后，向量

的運(yùn)算就代數(shù)化了，形與數(shù)實(shí)現(xiàn)了完美的統(tǒng)一）

②每一平面向量的坐標(biāo)表示是否唯一的？向量的坐標(biāo)表示與點(diǎn)的表示有何區(qū)

別？

③兩個(gè)向量相等的坐標(biāo)有什么關(guān)系？（兩個(gè)向量坐標(biāo)相等）

④向量的模用坐標(biāo)怎么表示呢？

（直接由學(xué)生討論回答）

［課件展示］例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）

例1如圖，⑴用基底;分別表示向量￡,瓦并求出它們的坐標(biāo).

⑵若口=4,且與x軸的夾角為30°,求工的坐標(biāo)？

⑶若2=（-2,3）,你能在平面直角坐標(biāo)系中畫出港r?

思考1.(1)已知＜7=(%,%),3=(工2,'2)，求。+石，a-B的坐標(biāo)

(2)已知Z=(x,y)和實(shí)數(shù)4,求花的坐標(biāo)

(教師組織學(xué)生思考，討論，并板書一例。學(xué)生用語(yǔ)言文字來述平面向量線性運(yùn)

算的坐標(biāo)表示。)

解:a+b=(X1i+y］j)+(X2/+y2j)=(X1+X2)i+(yi+y2)j

即：a+b=(x,+x2,y,+y2)

同理：aB=(xix2,y1y2)

A.a=X(x/+yj)=Xxz+A.yj

入方=(入X,A.y)

結(jié)論：①.兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

②.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。

(教師引導(dǎo)學(xué)生用文字語(yǔ)言來敘述￡+B,a-b,九￡的運(yùn)算)

思考2.已知4%,必),8(々,為)你覺得蔡的坐標(biāo)與八、B點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。

［課件展示］例題講評(píng)(學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充)

例2.已知。=(3,4)石=(一1,4),求Z+一瓦2)-36的坐標(biāo)。

(學(xué)生自主完成并體會(huì)、感受向量坐標(biāo)運(yùn)算便捷的優(yōu)點(diǎn))

例3.已知如圖平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為人(2,1),B(1,3),C(3,4),求

點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。

教師組織學(xué)生討論解題思路，有哪些不同的解法？個(gè)別學(xué)生回答，學(xué)生自主完成。

例4.已知4=(-2,3),役=(3,1),。=(10,-4),試用a,坂表示c。

解：設(shè)c=xa+yB,

則(10,T)=%(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y)

10=-2x+3y,

?<

[—4=3x+y,

解得x=—2,y=—2,c=-2a-2b

方法總結(jié)：待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，它的實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出

來，再利用方程或方程組求解，把一個(gè)向量用其他兩個(gè)向量表示，這是常用方法.

【探究新知】

(二)平面向量平行的坐標(biāo)表示

［展示投影］思考與交流：

思考：共線向量的條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人使得在=人不，那么這個(gè)條件如何

用坐標(biāo)來表示呢？(教師引導(dǎo)學(xué)生思考交流)

設(shè).=(石,y］)石=(/,%)其中］*0

由a=得,y)=A(X2,必)=><"

〔必=也

消去入：xty2-x2yt=0'：當(dāng)中至少有一個(gè)不為。

結(jié)論：a//b(3#用坐標(biāo)表示為王當(dāng)一工2%=0

注意：

①消去人時(shí)不能兩式相除Vy,.yz有可能為0.

②這個(gè)條件不能寫成工=%1.'X1,無2有可能為0.

X]x2

③向量共線的兩種判定方法：a//b（^6）^a=Ab

一力一為切=°

[展示投影]例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）

例5.0是坐標(biāo)原點(diǎn)，麗=（左,12）,麗=（4,5）,覺=（10㈤

當(dāng)%為何值時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線？

（三）鞏固深化，發(fā)展思維

1.判斷下列說法是否正確：

（1）公式五=互適用于任意兩向量共線的情況。（）

>2

（2）在平面直角坐標(biāo)系中如果把向量通平行移動(dòng)了，那么它的坐標(biāo)也改變了。

（）

（3）如果向量礪=（〃?,〃），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)也為（利,〃）。（）

2.已知向量￡=（1,1）石=（2,%），若Z+B與m-2￡平行，則實(shí)數(shù)x的值是（）

A.-2B.0C.1D.2

（四）課堂小結(jié)

（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補(bǔ)充）

1.平面向量坐標(biāo)的概念a=xi+yj=（x,y）

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）若<7=（%,乂）石=（%2，）2），則a±B=（%±七，y±%）。

⑵若4=（%,%）,3=（工2，%），則A月=（工2-3，必一%）

⑶若a=（x,y）,4為實(shí)數(shù)，則=

3.平面向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=（X],yJ,彼=（工2，%），若?！ㄈ藙t玉%2-％%=。

4.數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、待定系數(shù)法

（五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

1.作業(yè)：

課本習(xí)題2—4A組2,3,4；B組1,2

2.(備選題):已知A(T,-1)B(l,3)C(l,5)D(2,7)向量AB與CO平行嗎？

直線AB與平行于直線CD嗎？

解：V=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)

又；2X2-4-1=0,A,B//CD

又AC=(L(T),5-(-1))=(2,6)AB=(.2,4)

2X4-2X60彳？與不平行

AA,B,C不共線，AB與CD不重合，AB〃CD

第二章平面向量

4.1平面向量的坐標(biāo)表示

一、學(xué)情分析

本節(jié)課是在學(xué)生已有的基礎(chǔ)上(數(shù)軸、坐標(biāo))進(jìn)行學(xué)習(xí)的，而這

一內(nèi)容也是本節(jié)課學(xué)習(xí)之前必須掌握并且會(huì)用，而鑒于對(duì)學(xué)生的調(diào)

研，對(duì)這一內(nèi)容掌握情況不佳，所以在上課之前必須重點(diǎn)處理這一內(nèi)

容之后在進(jìn)行知識(shí)的遷移。

二、教材分析

學(xué)生已學(xué)習(xí)了向量的加法、減法、數(shù)乘向量的運(yùn)算，知道用作圖

的方法來求兩個(gè)向量的和、差、積向量，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)

遇到的困難有：數(shù)軸、坐標(biāo)的表示；平面向量的坐標(biāo)表示；平面向量

的坐標(biāo)運(yùn)算。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.平面向量的坐標(biāo)表示；

2.理解平面向量的坐標(biāo)概念，向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系;

3.通過對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷用向量方法解

決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題。

四.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；

難點(diǎn)：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

五.教學(xué)設(shè)想

【創(chuàng)設(shè)情境】

(回憶)平面向量的基本定理五=入z+入21

(［、］不共線，5任意性，入卜人2唯一性)

實(shí)質(zhì)：平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合.

【探究新知】

(一)、平面向量的坐標(biāo)表示

1.在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)(坐標(biāo))來表示

思考：在坐標(biāo)系下，向量是否可以用坐標(biāo)來表示呢？

取x軸、y軸上兩個(gè)單位向量i,/作基底，則平面內(nèi)作一向量

a=xi+yj

記作：五=(x,y)稱作向量5的坐標(biāo)

注：(1)］的規(guī)定：?jiǎn)挝幌蛄?、互相垂直、方向分別與X軸、Y軸

正方向一致；

(2)；=(1,0),>(0,1),6=(0,0)；

(3)注意書寫格式A(x,y),c=(x,y).

【例題解析】

例1.如圖，用基底i,j分別表示

向量a、b、c、d,并

求它們的坐標(biāo).

通過例題讓學(xué)生討論:

①向量的坐標(biāo)與與向量的起點(diǎn)及終點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系？

(一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)。)

②若向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)

系(當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)等于向量的坐

標(biāo).)

③兩個(gè)相等向量的坐標(biāo)有何關(guān)系？(相等向量的坐標(biāo)是相同的，但

是起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.)

［展示投影］例題講評(píng)(學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充)

1.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列向量.

⑴1(1,2)⑵石=(-1,2)

2.已知A(2,3),B(-3,5),求薪,IX的坐標(biāo).

3.已知質(zhì)=(1,-2),4(2,1),求價(jià)I坐標(biāo).

【小結(jié)歸納】

⑴任一平面向量都有唯一的坐標(biāo)；

⑵向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)坐標(biāo)；當(dāng)

向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

⑶相等的向量有相等的坐標(biāo).

(4)互為反向量的兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)互為相反數(shù).

本節(jié)課主要講解了平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算，向量的直角坐標(biāo)

運(yùn)算使向量運(yùn)算完全數(shù)量化，它將數(shù)與形緊密的結(jié)合起來，使得用

向量來求解有關(guān)問題更加方便.

【板書設(shè)計(jì)】

平面向量的坐標(biāo)表示

1.定義

a=xi+yj,記作：五=(x,y)稱作向量2的坐標(biāo)

2.結(jié)論

⑴任一平面向量都有唯一的坐標(biāo)；

(2)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)坐標(biāo)；當(dāng)

向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

⑶相等的向量有相等的坐標(biāo).

(4)互為反向量的兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)互為相反數(shù).

【作業(yè)】

教材91頁(yè)，練習(xí)第3題.

課題2.4.1平面向量的坐標(biāo)表示課型新授課

授課人科目數(shù)學(xué)

授課時(shí)間授課班級(jí)高一(2)班

教具多媒體課時(shí)1課時(shí)

教學(xué)方法引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法、探究法

知識(shí)與技能：會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算；能用兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，

求所構(gòu)造向量的坐標(biāo)。

過程與方法：利用向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)

目化。

標(biāo)情感與態(tài)度：了解向量與其他知識(shí)之間的緊密關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探

索精神。

重點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加、減、數(shù)乘）。

難點(diǎn)靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量坐標(biāo)。

前面知識(shí)向量的正交分解、向量的坐標(biāo)表示以及向量的運(yùn)算

銜接

高考考點(diǎn)用選擇題、填空題、解答題來考查本章內(nèi)容與三角函數(shù)內(nèi)容的綜合知識(shí)點(diǎn)，如向量的數(shù)量

及表現(xiàn)形積同三角函數(shù)的周期性，增減性，最值等綜合題來考查

式

教學(xué)過程

教學(xué)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

一、知識(shí)鏈接：復(fù)習(xí)舊知，為

1.用不同形式表示下列向量學(xué)生學(xué)習(xí)新知做

a=5?+4j教師提出問題，學(xué)生回答.鋪墊，并引導(dǎo)學(xué)

生敢于大膽的猜

b=（2,5）想。

1、

復(fù)問題2.求下列幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，觀

習(xí)察并猜想他們之間的關(guān)系。

導(dǎo)（1）.sin300=___;cos300=_____;

課

sin230°+cos230°=_____;

3，

（2）.sin60°=___;cos600=____;

sin2600+cos260°=_____;

學(xué)生齊讀學(xué)習(xí)目標(biāo)。通過本節(jié)課

1.明確本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓學(xué)

生知道本節(jié)課該

學(xué)會(huì)那些內(nèi)容。

二、

自2.學(xué)生認(rèn)真閱讀文本P18--P19。學(xué)生圈畫出本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，通過讀文本，可

主教師巡視學(xué)生存在的問題。以讓學(xué)生標(biāo)出不

學(xué)懂的地方，認(rèn)真

習(xí)聽老師講解。

13'

3.學(xué)生復(fù)述本節(jié)課中的重點(diǎn)公式。初步認(rèn)識(shí)和

s?in2-tz+cos2a-I1教師傾聽學(xué)生的答案，并板書公記憶兩個(gè)關(guān)系式

式。

sin?f7i,\

tan?=-------a,豐——FKTT,KEZ

cosa<2)

4.學(xué)生自己試證明公式。學(xué)生自己講解，教師及時(shí)點(diǎn)撥。培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能

力及邏輯思維能

力。

5.公式的其他表示形式。學(xué)生自己變形，并將寫在課本幫助學(xué)生做題的

上。靈活性

4

例1已知sina=g，求a的余弦和正切

值.

4

解：???sina=一，且sinaw1

5

?為第一象限角或第二象艮角

三、..a

學(xué)sin2a+cos2a=l,例1鼓勵(lì)學(xué)生自己解決，教師只例題使學(xué)生熟練

以cosa=±\l-sin2a.在開方時(shí)點(diǎn)撥符號(hào)問題.兩個(gè)基本關(guān)系式

致若a是第一象限角，cosa>0,