北京市西城重點學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京西城重點學(xué)校高二（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)一、選擇題（共8小題，每小題4分，共32分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知為實數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B. C.2 D.2.給出下列命題：①三個非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則，，共面.②若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則，共線.③若，是兩個不共線的向量，（，，且），則構(gòu)成空間的一個基底.其中真命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.33.珠算被譽為中國的第五大發(fā)明，最早見于漢朝徐岳撰寫的《數(shù)術(shù)記遺》?2013年聯(lián)合國教科文組織正式將中國珠算項目列入教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn).如圖，我國傳統(tǒng)算盤每一檔為兩粒上珠，五粒下珠，也稱為“七珠算盤”.未記數(shù)（或表示零）時，每檔的各珠位置均與圖中最左檔一樣；記數(shù)時，要撥珠靠梁，一個上珠表示“5”，一個下珠表示“1”，例如：當(dāng)千位檔一個上珠、百位檔一個上珠、十位檔一個下珠、個位檔一個上珠分別靠梁時，所表示的數(shù)是5515.現(xiàn)選定“個位檔”、“十位檔”、“百位檔”和“千位檔”，若規(guī)定每檔撥動一珠靠梁（其它各珠不動），則在其可能表示的所有四位數(shù)中隨機(jī)取一個數(shù)，這個數(shù)能被3整除的概率為（）A. B. C. D.4.已知兩個平面相互垂直，下列命題：①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.45.在中，已知：：2：3：4且，則向量在向量上的投影的數(shù)量是（）A.4 B.5 C.6 D.76.“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟(jì)市，該樓有三層，前對中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留，故有此名.下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計）從地面點看樓頂點的仰角為，沿直線前進(jìn)79米到達(dá)點，此時看點的仰角為，若，則樓高約為（）A.65米 B.74米 C.83米 D.92米7.已知四棱錐的底面為邊長為2的菱形，，，為中點，則與底面所成角的正切值為（）A.2 B. C. D.8.在中，，，是邊的中點.為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的值為（）A. B.1 C. D.二、填空題（共4小題，每小題4分，共16分）9.某工廠有，，三個車間，車間有600人，車間有500人.若通過比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法得到一個樣本量為30的樣本，其中車間10人，則樣本中車間的人數(shù)為______.10.若三個元件，，按照如圖所示的方式連接成一個系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)元件正常工作且，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)就正常工作，若元件，，正常工作的概率一次為0.7，0.8，0.9，則這個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率為______.11.在中，，，，，則______，設(shè)（），且，則的值為______.12.如圖，在四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列判斷正確的是______.（寫出所有正確的序號）①平面平面②直線與平面所成角是③平面平面④二面角余弦值為三、解答題（共3小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）13.（10分）如圖所示，從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下，觀察圖形，回答下列問題.（1）80～90這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、第45百分位數(shù)；（3）從成績是80分以上（包括80分）的學(xué)生中選2人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率.14.（13分）在中，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且的面積，求的值.15.（14分）已知四棱錐中⊥平面，且，底面為直角梯形，，，，，M，N分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求截面與底面所成二面角的大??；（3）求點A到平面的距離.參考答案一、選擇題（共8小題，每小題4分，共32分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：為純虛數(shù)，則，解得，故，其虛部為2.故選：C.2.【答案】C【分析】直接利用空間基底，共面向量，共線向量的基礎(chǔ)知識的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：①已知不是空間的一個基底，所以，，共面.故正確.②若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，所以，，所以和為共線向量，故正確.空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底，這句話教材上的原話，作為空間基底的前提為不共面，故錯誤.③若，是兩個不共線的向量，（，，且），當(dāng)時，所以，，共面，則不構(gòu)成空間的一個基底，故錯誤.故選：C.3.【答案】C【分析】基本事件總數(shù)，利用列舉法求出這個數(shù)能被3整除包含的基本事件有6個，由此能求出這個數(shù)能被3整除的概率．【解答】解：選定“個位檔”、“十位檔”、“百位檔”和“千位檔”，規(guī)定每檔撥動一珠靠梁（其它各珠不動），則在其可能表示的所有四位數(shù)中隨機(jī)取一個數(shù)，基本事件總數(shù)，這個數(shù)能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6個，這個數(shù)能被3整除的概率為.故選：C.4.【答案】A【分析】利用面面垂直的性質(zhì)及空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，對①、②、③、④四個選項逐一判斷即可【解答】解：對于①，當(dāng)兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線，故①錯誤；對于②，設(shè)平面平面，，，平面⊥平面，當(dāng)時，必有，而，，而在平面內(nèi)與平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與垂直，故一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，即②正確；對于③，當(dāng)兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的任一條直線不垂直于另一個平面，故③錯誤；對于④，若此點在交線上，那么作出來的線就不一定與另一平面垂直了，故④錯誤；故選：A.5.【答案】D【分析】由題意利用正弦定理可設(shè)，則，．再根據(jù)，求得的值，可得a、b、c的值．再由余弦定理求得，進(jìn)而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在中，已知：：2：3：4；由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，設(shè)，則，.再根據(jù)，求得，故有，，.由余弦定理可得：，則向量在向量上的投影的數(shù)量.故選：D.6.【答案】B【分析】不妨設(shè)，然后得到，再根據(jù)，求出的值即可．【解答】解：不妨設(shè)，根據(jù)條件可得，，，，，，米.故選：B.7.【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可知平面，找到與底面所成角，然后計算即可．【解答】解：連接，交于點，并連接，，如圖：因為底面為邊長為2的菱形，所以為，的中點，又，，所以，，又，，平面，所以⊥平面，所以與底面所成角，，，，又，所以，所以.故選：B.8.【答案】D【分析】由向量的中點表示和向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，計算可得所求值．【解答】解：是邊的中點，可得，則，由于，可得和為等腰三角形，即有，同理可得，則.故選：D.二、填空題（共4小題，每小題4分，共16分）9.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)列出方程，由此能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)車間共有人，樣本中車間的人數(shù)為；由分層抽樣的性質(zhì)得：，解得.故；故答案為：8.10.【答案】0.314.【分析】系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個步驟，A正常工作且B，C中正常工作的情況，分別計算其概率可求得．【解答】解：系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個步驟，正常工作且，至少有一個正常工作的情況，正常工作的概率為：0.7；，至少有一個正常工作的情況的概率為1減去，都不正常工作的情況的概率，即：，至少有一個正常工作的概率為：，所以：這個系統(tǒng)正常工作的概率為：，故這個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率為.故答案為：0.314.11.【答案】第一空：3；第二空：.【分析】易知是的三等分點，則，平方可求；將代入，可求.【解答】解：因為，所以點D為線段上靠近點C的三等分點，由三點共線定理可知，上式左右同時平方得，已知，，，所以，解得；因為，，所以，化簡得，因為，，，所以，解得，故答案為：第一空：3；第二空：.12.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】①反證法，假設(shè)平面平面，容易推出垂直于平面，從而，出矛盾；②利用幾何法找到其平面角為，求解即可判斷；③證明平面，從而得到平面平面；④證明為二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判斷．【解答】解：在四邊形中，由已知可得，假設(shè)平面⊥平面，又平面⊥平面，且平面平面，可得⊥平面，有，與矛盾，則假設(shè)錯誤，故①錯誤；在四邊形中，由已知可得，又平面⊥平面，且平面平面，則⊥平面，為直線與平面所成角是，故②正確；由判斷②時可知，⊥平面，則，又，，則⊥平面，而平面，則平面⊥平面，故③正確；由判斷③時可知，⊥平面，則為二面角的平面角，設(shè)，則，由，得，得，故④正確.判斷正確的是②③④.故答案為：②③④.三、解答題（共3小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）13.【答案】（1）頻數(shù)為4，頻率為0.1；（2）平均數(shù)為68.5，眾數(shù)為75，第45百分位數(shù)為68；（3）概率為.【分析】（1）由題意，根據(jù)頻率分布直方圖所給信息得到除去40～50和80～90這兩組的頻率之和，利用頻率的性質(zhì)即可得到80～90這一組的頻率，再結(jié)合頻率、頻數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而計算即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖所給信息進(jìn)行計算即可；（3）記“選出的2人在同一分?jǐn)?shù)”為事件Y，得到80～90和90～100之間的人數(shù)，將所有情況列舉出來，代入等可能事件的概率公式中進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）已知50～60這一組的頻率為，60～70這一組的頻率為，70～80這一組的頻率為，90～100這一組的頻率為，則80～90這一組的頻率為，頻數(shù)為；（2）這次競賽成績的平均數(shù)為，因為70～80這一組的頻率最大，人數(shù)最多，所以眾數(shù)為75，又40～50這一組的頻率為0.1，50～60這一組的頻率為0.15，60～70這一組的頻率為0.25，所以第45百分位數(shù)在60～70這一組內(nèi)，不妨設(shè)第45百分位數(shù)的值為，可得，解得，則這次競賽成績的第45百分位數(shù)為68；（3）設(shè)選出的2人在同一分?jǐn)?shù)為事件，因為80～90之間的人數(shù)為人，不妨設(shè)這四個人為a，b，c，d；因為90～100之間有人，不妨設(shè)為A，B，要從這6人中選出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15個基本條件，其中事件包括，，，，，，共7個基本事件，則.14.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求的值，結(jié)合范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解c的值．【解答】解：（Ⅰ）因為，所以，因為，所以，可得.（Ⅱ）因為，由正弦定理可得，所以，因為的面積，可得，所以，所以.15.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】此類題一般有兩種解法，一種是利用空間向量方法來證明，一種是用立體幾何中線面位置關(guān)系進(jìn)行證明，本題提供兩種解法向量法：對于（1）求證：平面，可求出線的方向向量與面的法向量，如果兩者的內(nèi)積為0則說明線面平行對于（2）求截面與底面所成二面角的大小，求出兩個平面的法向量，然后根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關(guān)系，求解；對于（3）求點A到平面的距離，求出平面上任一點與A連線所對應(yīng)的向量，求這個向量在該平面的法向量上的投影即可，此法求點到面的距離甚為巧妙．幾何法：（1）求證平面，用線面平行的判定定理證明即可；（2）求截面與底面所成二面角的大小，先在圖形中作出二面角的平面角，再證明其是二面角的平面角，然后根據(jù)題設(shè)中的條件求出平面角的三角函數(shù)值，一般要在一個三角形中求解函數(shù)值．（3）求點A到平面的距離，須先作出點A在面上的垂線段，然后在三角形中求出此線段的長度即可．【解答】解：法一向量法：以為原點，以，，分別為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，M，N分別是，的中點，可得：，，，，，，，，，，，設(shè)平面的的法向量為，則有：令，則，，（3分），又平面，平面；（2）設(shè)平面的的法向量為，又，則有：令，則，，又為平面的法向量，，又截面與底面所成二面角為銳二面角，截面與底面所成二面角的大小為，（3），所求的距離；法二，幾何法：（1）取的