2022年廣西名校高考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷（理科）（學(xué)生版+解析版）

2022年廣西名校高考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)己知集合4=口七2*-彳-6<0},B={x|x<l},則ACB=()

A.(-I,1)B.{-1,0}C.I-1,2JD.{-1,0,1,2)

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2(3+i),則z的虛部等于()

A.4iB.2/C.2D.4

3.（5分）“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)

美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，

好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其

直觀性所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是（）

4.（5分）已知單位向量a,b,b?（a+]b）=0,則a與b的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

%2y2

5.（5分）如圖，尸1、放分別為橢圓=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓上，△POF2

az

是面積為4次的正三角形，則序的值是（)

y

A.8V3B.2V3C.4V3D.4+2V3

6.（5分）北京2022年冬奧會(huì)即將開(kāi)幕，北京某大學(xué)5名同學(xué)報(bào)名到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館

做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法

共有（）

A.90種B.125種C.150種D.243種

7.（5分）已知｛“”｝為等比數(shù)列，若。2加3=41,且與2〃7的等差中項(xiàng)為，，則arazPrrg

的值為（）

A.5B.512C.1024D.64

xzy2

8.（5分）已知雙曲線=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為為，正2,點(diǎn)A是雙曲

a2b2

線漸近線上一點(diǎn)，且AFi_L力。（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）,AF1交雙曲線于點(diǎn)8,且=尸i|,

則雙曲線的離心率為（）

麻將LL

A.---B.---C.y/2D.V3

44

9.（5分）瀑布是廬山的一大奇觀，為了測(cè)量某個(gè)瀑布的實(shí)際高度，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量

方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，

可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端仰角

371

的正切值為二，沿山道繼續(xù)走20m，抵達(dá)8點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端的仰角為二.已知該同學(xué)

23

71

沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為則該瀑布的高度約為

（）

A.60/wB.90/nC.108/wD.120m

，、—ITsinaa,

10.（5分）若aW（0,-）,------=tan—,貝!Itana=（）

22-cosa2

V6

11.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足/(x)=f(-JC),且當(dāng)xE(-8,0］時(shí)，f(x)+Xf(x)

606

VO成立,若〃=(2°-)?/(2-),b=(加c=ciog2^)-f(log2^),則a,b,

c的大小關(guān)系是()

A.a>h>cB.c>h>aC,a>c>bD.c>a>b

12.（5分）如圖，四棱柱ABCO-AIBICIG的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱4Al_L平面

ABCD,且A4i=4,E、尸分別是AB、BC的中點(diǎn)，P是線段。。1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端

點(diǎn)），過(guò)P、E、尸的平面記為a,。在CO上且CQ=1,則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①三棱錐Ci-的體積是定值；

②當(dāng)直線8Q〃a時(shí)，DP=2；

③當(dāng)。P=3時(shí)，平面a截棱柱所得多邊形的周長(zhǎng)為7e；

④存在平面a,使得點(diǎn)Ai到平面a距離是A到平面a距離的兩倍.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若曲線/（x）=?-l（a力0）在點(diǎn)（-1,火-1））處的切線斜率為2,則。=.

14.（5分）2020年春節(jié)期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學(xué)校需要安排男教師

2x—y>5,

x名，女教師>■名做義工，x和y需滿足條件1x-yW2,，則該校安排教師最多為

<6,

人.

7T

15.（5分）將函數(shù)f（x）=2cosx的圖象先向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫

6

17T

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的?。?>0）倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在（-,n）

2tt>2

上沒(méi)有零點(diǎn)，則川的取值范圍是.

16.(5分)已知/(x)=1+ar-Vl+ax2,若對(duì)任意工€[0,V2],f(x)W0恒成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛”“｝中，42+43+44=21,且42-1,13+1,04+43

構(gòu)成等比數(shù)列｛加｝的前三項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛m｝,｛治｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列｛Cn｝=,求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和S”.

請(qǐng)?jiān)贑D”““：②ky--------------；③（-1）這三個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在上面

（bn-i）（bn+1-i）

的橫線上，并完成解答.

18.（12分）某商品的包裝紙如圖1,其中菱形ABCZ）的邊長(zhǎng)為3,且/ABC=60°,AE=

AF=y/3,BE=DF=2相.將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)E,F,M,N

匯聚為一點(diǎn)P,恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

（I）證明：出，底面ABCQ；

V21

（II）設(shè)點(diǎn)T為BC上的點(diǎn)，且二面角入出-7的正弦值為丁’試求PC與平面以7

所成角的正弦值.

19.（12分）如圖，P是拋物線E：/=4x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線E的焦點(diǎn).

（1）求|PF|的最小值；

（2）點(diǎn)B,C在y軸上，直線P8,PC與圓（x-1）2+^=1相切.當(dāng)|尸444,6］時(shí)，求

IBQ的最小值.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=/心+右，8（X）—er+siri￥.其中a€R.

（1）試討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）若”=1,試證明：/（%）V42

21.（12分）為2020年全國(guó)實(shí)現(xiàn)全面脫貧，湖南貧困縣保靖加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè)，其中茶

葉產(chǎn)業(yè)是重要組成部分，由于當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)環(huán)境非常適宜種植茶樹(shù)，保靖的“黃金茶”享

有“一兩黃金一兩茶”的美譽(yù).保靖縣某茶場(chǎng)的黃金茶場(chǎng)市開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步開(kāi)拓市

場(chǎng)，對(duì)黃金茶交易市場(chǎng)某個(gè)品種的黃金茶日銷售情況進(jìn)行調(diào)研，得到這種黃金茶的定價(jià)x

（單位：百元/依）和銷售率y（銷售率是銷售量與供應(yīng)量的比值）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

x102030405060

y0.90.650.450.30.20.175

（1）設(shè)Z=/M,根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)判斷，回歸模型、=匕％+。與丫=匕2+&哪個(gè)更合適？

并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程（a,b的結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）某茶場(chǎng)的黃金茶生產(chǎn)銷售公司每天向茶葉交易市場(chǎng)提供該品種的黃金茶1200依，根

據(jù)（1）中的回歸方程，估計(jì)定價(jià)x（單位：百元/口）為多少時(shí)，這家公司該品種的黃金

茶的日銷售額W最大，并求W的最大值.

參考數(shù)據(jù)：y與x的相關(guān)系數(shù)，?產(chǎn)-0.96,y與z的相關(guān)系數(shù)廢比0.99,x=35,y?0.45,

星=ix?=9100,z?3.40,6/*69.32,冬=1?8.16,2乙z]a71.52,

20.1,e3.4~30.0,e35?=33.Le4s?54.6.

（Xi-x）（y-y）_S-LtXjy-rixy

參考公式：ba=y—bx,r=

弟1（々-幻2-%4一位2

it=i（.Xj-x）（y-y）

鬲野袋i⑶「刃2

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程|

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，由/+y2=l經(jīng)過(guò)伸縮變換「’=2》得到曲線Ci,

(y=y

以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=4cose.

(1)求曲線Cl的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/的極坐標(biāo)方程為e=a(P6R),/與曲線Ci、曲線C2在第一象限交于P、

Q,且|OP|=|PQ|,點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1,芻，求△PMQ的面積.

［選修4—5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=|x+l|-|x-2|.

(1)求不等式/(x)+x>0的解集；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與直線y=k(x+2)-4有3個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍.

2022年廣西名校高考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={淤2|/-》-6<0},則AAB=（）

A.(-1,1)B.{-1,0}C.[-1,2]D.{-1,0,1,2}

【解答】解：因?yàn)锳={x€Z|/-x-6<0}={x6Z]-2Vx<3}={-1,0,1,2},

所以4CB={-1,0}.

故選：B.

2.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=2（3+i）,則z的虛部等于（）

A.4iB.2zC.2D.4

【解答】解：由題意，可知2=翠2=（3+。（1+0=2+4i,

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為4,

故選：D.

3.（5分）“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)

美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，

好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其

直觀性所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是（）

A.B.

c.D.

【解答】解：；相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起

的方形傘（方蓋）.

，其正視圖和側(cè)視圖是一個(gè)圓，

???俯視圖是從上向下看，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上

俯視圖是有2條對(duì)角線且為實(shí)線的正方形，

故選：B.

4.（5分）已知單位向量a,b,+=0，則a與b的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

TTTT17

【解答】解：?jiǎn)挝幌蛄縜,b,=0,

,T—1

可得Q?b=-1，

—>->-ii—>t

所以〉=[丫I=—亍

cosVa,bJLX￡ZVa,b>€[0°,180°],

所以：與b的夾角為：120°.

故選：C

%2y2

5.（5分）如圖，F(xiàn)i、放分別為橢圓方=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2

a2bz

是面積為46的正三角形，則序的值是（）

A.8V3B.2V3C.4V3D.4+2百

【解答】解：由于△P?出是面積為46的正三角形，

所以P（；c,坐c）且;xc2=4依，c=4,

412412

則P(2,2b)，代入橢圓方程得w+二=1,—-----+—=1?解得川=8丁.

a2b2b2+16b2

故選：A.

6.（5分）北京2022年冬奧會(huì)即將開(kāi)幕，北京某大學(xué)5名同學(xué)報(bào)名到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館

做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法

共有（）

A.90種B.125種C.150種D.243種

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

C2c2

3

①將5人分為3組，有+C5=25種分組方法，

②將分好的三組安排到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，有A33=6種安排方法，

則有25X6=150種安排方法，

故選：C.

5

7.（5分）已知｛“”｝為等比數(shù)列，若。2?43=41,且44與2.7的等差中項(xiàng)為J,則

的值為（）

A.5B.512C.1024D.64

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛板｝的公比為4，

由42?〃3=。1,得即44=4i，43=i,

又04與2a7的等差中項(xiàng)為衛(wèi),得o4+2a7=2x1,即1+2。7=堤,解得“7=看，

8o4-0

所以07=041,即鼻=/解得q=±,則41=等=/=8,

所以（〃|?。4）2=（8X1）2=64.

故選：D.

x2y2

8.（5分）已知雙曲線-7-9=IQ〉。，b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為人，放，點(diǎn)A是雙曲

a2b2

線漸近線上一點(diǎn)，且AFi_LA0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,AQ交雙曲線于點(diǎn)8,且依用=|8g|,

則雙曲線的離心率為（）

V26V34廠l

A.-----B.-----C.V2D.V3

44

【解答】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第二象限，

設(shè)Fl（-c,0）,因?yàn)?QLA。，點(diǎn)F\到直線bx+ay^O的距離d=,l~bc|=b,

所以|AFi|=6,因?yàn)閨FiO|=c,所以cos/4F】O=微

因?yàn)榕?所以|B0|=\|4Fi|=9,

由雙曲線的定義可知IBF2I=\BFr\+2a=2a+1,

層b2

在△3白F2中，由余弦定理可得cos/4Fi。=-=4+4。：3+2),

C2xgx2c

整理得6="，所以，=近。，即離心率e=：=VL

故選：C.

9.(5分)瀑布是廬山的一大奇觀，為了測(cè)量某個(gè)瀑布的實(shí)際高度，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量

方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，

可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端仰角

3TT

的正切值為5,沿山道繼續(xù)走20,〃，抵達(dá)8點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端的仰角為J已知該同學(xué)

71

沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為1則該瀑布的高度約為

()

A.60/nB.90根C.108機(jī)D.120優(yōu)

【解答】解：根據(jù)題意作出如下示意圖，其中tana=^,8=。=亨，AB=20〃?，

過(guò)點(diǎn)8作BCLOA于C,

設(shè)O//=3x,則OA=2r,OB=y[3x,

在RtZVIBC中，"：AB=20,6=*，4C=10,SC=10>/3,

：.OC=OA-AC=2x-10,

在RtZ\08C中，由勾股定理知，(2x70)2+(10V3)Z=(V3x)2,

化簡(jiǎn)得x2-40x+400=0,解得x=20,

，瀑布的高度OH=3x=6(h".

故選：A.

H

nsinaa

10.(5分)若aW(0,—)-----------=tan-,則tana=()

2-cosa----------2

V3V6

A.一B.V3C.一D.

32

sinaa

【解答】解：因?yàn)閠an—,

2-cosa2

.a-.aa

sin-2sin-cos-

所以一=-z

cos—2—cosa

2

一，7Ta

又因?yàn)閍W(0,-)，sin—HO,

22

所以2-cosa=2cos—,即2-cosa=1+cosa,

2

所以cosa=2,

又因?yàn)閍E(0,

2

所以a=條tana=V3.

故選：B.

11.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x),且當(dāng)xG(-000］時(shí)，f(x)+xf(x)

VO成立,若。=(2°-6)?/(20-6),b=(Zn2)?/(/n2),c=3。先(砥/)，則小b,

c的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.c>b>aC.a>c>hD.c>a>h

【解答】解：根據(jù)題意，令h(x)=xf(x),

/?(-%)=(-x)/(-x)=-V(%)=-h(x)，則h(x)為奇函數(shù)；

當(dāng)；rW(-8,0］時(shí)，(x)=/(x)+V(X)<0,則//(x)在(-8,0］上為減函數(shù),

又由函數(shù)/?(x)為奇函數(shù)，則〃(x)在［0,+8)上為減函數(shù),

11

--

a=(20-6)*/(20-6)=h(20-6),b=(加2)?f(加2)=h(歷2),88

=h（log2A=h（-3）,

因?yàn)?，?！?/<0<//72<1<2°-6,

則有c>b>a；

故選：B.

12.（5分）如圖，四棱柱ABCO-4BiCiA的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱A4iJ_平面

ABCD,且A4i=4,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端

點(diǎn)），過(guò)P、E、尸的平面記為a,。在CCi上且CQ=1,則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①三棱錐Ci-PAC的體積是定值；

②當(dāng)直線BQ〃a時(shí)，DP=2；

③當(dāng)￡>P=3時(shí)，平面a截棱柱所得多邊形的周長(zhǎng)為7或；

④存在平面a,使得點(diǎn)A!到平面a距離是A到平面a距離的兩倍.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：對(duì)于①：因?yàn)?。Di〃CCi,?！?gt;即平面C4C1,

CCiu平面CAC1,所以功力〃平面CAC1,

因?yàn)镻&DDi,所以點(diǎn)P到平面CACi的距離為定值，

而△CAG的面積為定值，所以三棱錐P-CiAC的體積是定值，

即三棱錐Ci-%C的體積是定值，故①正確；

對(duì)于②：如圖，延長(zhǎng)EF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

設(shè)平面a交棱CC1于點(diǎn)W,連接MW,并延長(zhǎng)MW交。￡>i于點(diǎn)尸,

因?yàn)?Q〃a,BQu平面BB1C1C,平面aD平面B8iCiC=FW,

所以FW//BQ,

因?yàn)槭瑸锽C的中點(diǎn)，則卬為CQ的中點(diǎn)，

因?yàn)锽E〃CM,則NEFB=NMFC,BF=CF,

所以△BE&ACMF,則MC=BE=1,

DPDM

因?yàn)镃W//DP,則一=—=3,

CWCM

則DP=3CW=|,即②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：如圖，設(shè)直線EF分別交直線D4、OC于點(diǎn)N、M,

連接PN、PM,分別交44、CCi于點(diǎn)R、S,連接RE、SF,

由②可知，CM=1,同理可知AN=1,

因?yàn)镻￡)=￡>M=3,NPDM=90°,則為等腰直角三角形,

則PM=V^P0=3e,同理可知，也為等腰直角三角形,

同理可知，SM=V2CM=V2,：.PS=PM-SM=2V2,

同理PR=2V2,由勾股定理可得FS=RE=EF=>JBE2+BF2=V2,

則截面的周長(zhǎng)為2X2&+3夜=7或，即③正確；

對(duì)于④：設(shè)截面a交棱AA\于點(diǎn)R,

假設(shè)存在平面a,使得點(diǎn)Ai到平面a距離是A到平面a距縮的兩倍，

則說(shuō)=2,可得4R=g,

AR+AXR=4J

/RAN1

因?yàn)?R〃Z)P,則——=——=-,則DP=3AR=4,不符合題意；

DPDN3

即不存在平面a,使得點(diǎn)Ai到平面a距離是A到平面a距離的兩倍，

故④錯(cuò)誤.

綜上所述，①③正確.

故選：B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若曲線/(x)=：—l(a^O)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線斜率為2,則a=-

2.

【解答】解：曲線/(%)=，一l(aRO),可得/G)=-^,

曲線/(x)=E—l(ar0)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線斜率為2,

所以一一J=2,可得a=-2,

(-1)

故答案為：-2.

14.(5分)2020年春節(jié)期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學(xué)校需要安排男教師

2%—y>5,

%-y<2,,則該校安排教師最多為

{%<6,

人.

2%—y>5

【解答】解：由約束條件卜一y42作出可行域如圖，

X<6

z=x^y

聯(lián)立｛:二6y=5,解得A小，7).

令2=》+丫，化為y=-x+z,由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為13.

.??該校安排教師最多為13人.

故答案為：13.

71

15.(5分)將函數(shù)7CO=2cosx的圖象先向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫

6

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的:-(3>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在(￡n)

232

5

上沒(méi)有零點(diǎn)，則3的取值范圍是(0,刁.

【解答】解：將函數(shù)/(x)=2cosx的圖象先向左平移z個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=2cos(x+p

的圖象；

再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的工(3>0)倍，縱坐標(biāo)不變，

2a)

得到函數(shù)g(x)=2cos(2o)x+/)的圖象，

7TT717r

若g(X)在(一，71)上沒(méi)有零點(diǎn)，A-=--=11—亍

22232

令ZEZ,求得X=(k-\-i),

oz乙33

771

當(dāng)左=0時(shí)，x=>7i,/.0<a)<

0<1

當(dāng)人>0時(shí)，,蕓［(上一1)+芻工去求得143工,?

、去出+上2兀

綜上，O〈(JL)W'或二5,

633

112

故答案為：(0,-］U-J.

633

16.(5分)已知f(x)=14-OX-A/1+ax2,若對(duì)任意140,V2J,f(x)<0恒成立，則實(shí)

數(shù)〃的取值范圍為口-魚(yú)，01.

【解答】解：???對(duì)于任意的工［0,V2］，/(x)W0恒成立，

??儡黑解得1—

又當(dāng)1-V2<a^0時(shí)，l+ox2〉。，

1+ax

,對(duì)于任意的燼［0,V2］,/(x)《0恒成立，等價(jià)于<1在在［0,夜］上恒成立,

Vl+ax2

1+ax

令g(x)xG[0,V2],

1+ax2

則只需g(X)marWl即可.

(x)=-a。：)且aWO,

(1+Q%2)J1+Q%2

.?.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,夜)上單調(diào)遞增,

.,.g(x)max—max{g(0),g(A/2)},

由g(0)Wl,g(V2)Wl,解得〃印一衣，0］.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:

共60分.

17.(12分)已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛“"｝中，42+43+44=21,且42-1,43+1,44+43

構(gòu)成等比數(shù)列｛兒｝的前三項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛"〃｝,｛阮｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛Cn｝=—,求數(shù)列｛Cn｝的前"項(xiàng)和S”.

n

請(qǐng)?jiān)冖賨b”；4--------；③(-1)an+n這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面

的橫線上，并完成解答.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，因?yàn)閿?shù)列優(yōu)"｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，

所以42+。3+〃4=3。3=21,即得〃3=7,

設(shè)公差為的,則有。2-1=。3-d-1=6-d,43+1=8,。4+。3=〃3+［+。3=14+%

又因?yàn)?2-1,〃3+1，的+。3構(gòu)成等比數(shù)列｛晟｝的前三項(xiàng)，

2

所以S3+I)=(a2-1)-(a4+a3),即64=(6-d)(14+d),

解之可得d=2,或d=-10(舍去)，

所以ai="3-2"=7-4=3,即得數(shù)列｛〃”｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

故可得an=2n+I,

且由題可得，b\—ai-1—4,歷=43+1=8,

所以數(shù)列｛辦｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可得力=4-2吁1=2"+1,

(2)(?)設(shè)4=上兒=4?(2n+1)?2“T=(2n+l)*2n+I,

則又=3-22+5?23+7?24+-+(2n-1)-2n+(2n+l)>2,,+|@,

在上式兩邊同時(shí)乘以2可得，2Sn=3-23+5<4+…+(2九一1)-24+1+(2n+l)，2n+2

②，

①-②可得，-=3-22+2(23+24+”.+2"1)-(2M+1)-2"+2=12+16^-

(2〃+1)?2/2=(1-2〃)?2"+2-4,

即得%=(2n-1)-2n+2+4.

鉛,_%_4-2"-1_1_________1_

n-1n-n-1n

"反"一(bn-l)3n+1-1)-(4.2-l)(4.2-l)4-2-l4-2-l

11,11,,1111

則Sn=w_1+歹一京+…+4.2~匚1一討二1=W一討二1；

nn

(iii)設(shè)％=(-l)-an4-n=(-l)(2n+1)+九，

n

則571=-3+1+5+2—7+3+9+4+???(一l)(2?i+1)+n

所以當(dāng)，7為偶數(shù)時(shí)，S九=(-3+5)+(—7+9)+~+[(-1尸一1(2九一1)+(—1產(chǎn)(2九+

1)]+(1+2+3+…+〃)=a2+%由=學(xué):

由上可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=~~2~X2+(1+2+3+…+71)—(2〃+1)=—-~~—

犬羅，n為偶數(shù)

綜上可得，s=<

n尤尹，。為奇數(shù)

18.(12分)某商品的包裝紙如圖1,其中菱形ABCQ的邊長(zhǎng)為3,且NABC=60°,AE=

AF=V3,BE=DF=2?將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)E,F,M,N

匯聚為一點(diǎn)P,恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

(I)證明：以_1_底面ABCD；

V21

(II)設(shè)點(diǎn)7為BC上的點(diǎn)，且二面角B-以-T的正弦值為——,試求PC與平面以T

14

所成角的正弦值.

EF

【解答】解：(/)由菱形ABC。的邊長(zhǎng)為3,AE=AF=V3,BE=DF=26,

可得即有A8_LAE,同理。/二川^+人尸，即有

在翻折的過(guò)程中，垂直關(guān)系保持不變可得必，AB，PALAD,ABQAD=A,

所以B4_L底面ABC7)；

(〃)如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)點(diǎn)A作A8的垂線為)，軸，AP為z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，

由第(/)問(wèn)可得以，底面48CC,則%_LA8,PALAT,

則NBA7為二面角B-PA-T的平面角，由題意可得sin/BAT=綽，

考慮△BAT,NABT=60°,可得sinNAT8=sin(ZABT+60°)=

14

ABBT

利用正弦定理一—=.可得87=1,

sinz.ATBSein乙BTA

5V3-33A/3

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(一，—,0),點(diǎn)P(0,0,V3),4(0,0,0),C(一，一，0),

2222

設(shè)面出T的一個(gè)法向?yàn)榱?=(x,y,z),

,磐=0,即V3z=0

則有

m-AT=05%+V3y—0

,-廣-33V3「

令x=3,則有m=(3,-5A/3,0)>PC=(一，---，—V3),

22

muI-DT>>由PC3"

所以cosVm,PC>==-

IIII

所以PC與面以T所成角的正弦值為辿.

14

19.(12分)如圖，P是拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線E的焦點(diǎn).

(1)求|PF|的最小值;

(2)點(diǎn)、B,C在y軸上，直線P8,PC與圓(x-1)2+y2=i相切.當(dāng)|尸內(nèi)(4,6J時(shí)，求

|BC|的最小值.

【解答】解：(1)P是拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線E的焦點(diǎn)(1,0),準(zhǔn)線

方程為x=-1,

由拋物線的定義可得|Pfl=d=xp+l,

由必》0,可得d的最小值為1,|Pf］的最小值為1；

(2)設(shè)B(0,w),C(0,〃)，P(xo,yo),yo1—4xo,

則PB的方程為尸吟+如PC的方程為尸岑3+〃,

2可得lyo-m+mxol

由直線物與圓(%-1)+/=1相切,口寸：療+仇一叫?=1>化為(xo-2)ni^+lyom

-xo=O,

同理可得(Jto-2)層+2)，0〃-刈=0,

即有m,n為方程(xo-2)/+2yox-xo—0的兩根,

砧_I4y02豆_J4久02+8和

則|〃L川=yj(m+n)2

-干-12To-

由|Pf]44,6],可得刈+1日4,6],即刈日3,5],

令，=|2-xo|=xo-2,rG[l,3],

即有制-川=j4(2+t]+8(2+°=2第+1+1在口,3]遞減,

可得t=3即刈=5時(shí)，|3C|=|他-川取得最小值久史.

20.(12分)已知函數(shù)/(無(wú))=//ix+pg(x)=e'+sinx,其中czER.

(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若4=1,試證明：/(X)<噌.

【解答】解：(1)函數(shù)/(x)=/〃*+*的定義域是(0,+8),

?'f(x)—x-a

?j5)一久%2-x2-

當(dāng)時(shí)，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)”>0時(shí)，令/(x)>0,解得：x>a,令f(x)<0,解得：0<x<a,

綜上，當(dāng)“W0時(shí)，/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，無(wú)遞減區(qū)間，

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(0,a)遞減，在(a,+8)遞增；

(2)證明：-：a=\,：.f(x)=/m-+p即證：/〃x+]v空詈曳，

Vx>0,即證：e'+sinx-xlnx-1>0,

當(dāng)(0,1)時(shí)，e">l,sinx>0,xlnx<0f

.??/+sior-xlnx-1>1-1=0,

當(dāng)工￡[1,+°°)時(shí)，令g(x)=e"+sinx-x/加-1,

則g'(x)=/+cosx--1,g"(x)-sinx—>^-1-1>0,

；?g'(x)="+cosx-阮lI在[1,+8)上單調(diào)遞增，

:?g*(x)2g'(1)=^+cosl-0-l>0,

：.g(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

(x)2g(1)=e+sinl-0-l>0,

綜上，f(x)<巴普，即/(x)<噌.

21.(12分)為2020年全國(guó)實(shí)現(xiàn)全面脫貧，湖南貧困縣保靖加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè)，其中茶

葉產(chǎn)業(yè)是重要組成部分，由于當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)環(huán)境非常適宜種植茶樹(shù)，保靖的“黃金茶”享

有“一兩黃金一兩茶”的美譽(yù).保靖縣某茶場(chǎng)的黃金茶場(chǎng)市開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步開(kāi)拓市

場(chǎng)，對(duì)黃金茶交易市場(chǎng)某個(gè)品種的黃金茶日銷售情況進(jìn)行調(diào)研，得到這種黃金茶的定價(jià)x

(單位：百元/必)和銷售率y(銷售率是銷售量與供應(yīng)量的比值)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X102030405060

y0.90.650.450.30.20.175

(1)設(shè)z=lnx,根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)判斷，回歸模型y=hx+a與y=bz+a哪個(gè)更合適？

并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程(a,b的結(jié)果保留一位小數(shù))；

(2)某茶場(chǎng)的黃金茶生產(chǎn)銷售公司每天向茶葉交易市場(chǎng)提供該品種的黃金茶1200依，根

據(jù)(1)中的回歸方程，估計(jì)定價(jià)x(單位：百元/依)為多少時(shí)，這家公司該品種的黃金

茶的日銷售額W最大，并求W的最大值.

參考數(shù)據(jù)：y與x的相關(guān)系數(shù)八2-0.96?y與z的相關(guān)系數(shù)r2^0.99,x=35,y?0.45,

xf=9100,z?3.40,6?#69.32,2乙y(Zj?8.16,2f=1zf?71.52,

20.1,?-4?30.0,e3—5~33.1,e%54.6.

曲=1(々-E)(yi一力E憶1戲

參考公式：b=a=y—bx,r=

%