第七章布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的擴展

第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式的擴展Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity主要內(nèi)容布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的缺陷買賣本錢動搖率淺笑和動搖率期限構(gòu)造隨機動搖率不確定的參數(shù)騰躍分散過程Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityB-S模型的缺陷買賣本錢的假設(shè)動搖率為常數(shù)的假設(shè)不確定的參數(shù)資產(chǎn)價錢的延續(xù)變動Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity買賣本錢的影響規(guī)模效應(yīng)和買賣本錢差別化。即使是同一個投資者，在調(diào)整過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價值也不同。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W買賣本錢模型根本假設(shè)：投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個期權(quán)；整個投資組合的調(diào)整存在買賣本錢；投資者的組合調(diào)整戰(zhàn)略事先確定；股票價錢的隨機過程以離散的方式給出；保值組合的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險銀行存款利率Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W模型推導(dǎo)構(gòu)造無風(fēng)險組合之后,整個組合價值的變化相應(yīng)減少：要求買賣本錢項,關(guān)鍵要獲得n值，顯然：〔7-1〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W模型推導(dǎo)〔續(xù)〕由Ito引理：根據(jù)無風(fēng)險假設(shè)，有:將公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：〔7-3〕〔7-2〕〔7-4〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity對H-W-W方程的了解項在實踐中具有深化的金融含義的存在使得H-W-W方程大部分時候是一個非線性方程期權(quán)多頭和空頭價值的不一致性對于單個期權(quán)多頭，H-W-W方程實踐上是一個以為動搖率的BS公式Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity買賣本錢的其他模型期權(quán)組合中的值不是同一個符號的情形買賣本錢不是前述的簡單構(gòu)造，而是資產(chǎn)價錢和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況W-W模型Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率淺笑和動搖率期限構(gòu)造人們經(jīng)過研討發(fā)現(xiàn)，運用期權(quán)的市場價錢和BS公式推算出來的隱含動搖率具有以下兩個方向的變動規(guī)律：“動搖率淺笑〞〔VolatilitySmiles〕：隱含動搖率會隨著期權(quán)執(zhí)行價錢不同而不同；動搖率期限構(gòu)造〔VolatilityTermStructure〕：隱含動搖率會隨期權(quán)到期時間不同而變化。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率淺笑對于貨幣期權(quán)而言，隱含動搖率經(jīng)常呈現(xiàn)近似U形。平價期權(quán)的動搖率最低，而實值和虛值期權(quán)的動搖率會隨著實值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對稱。股票期權(quán)的動搖率淺笑那么呈現(xiàn)另一種不同的外形，即向右下方偏斜。當(dāng)執(zhí)行價錢上升的時候，動搖率下降，而一個較低的執(zhí)行價錢所隱含的動搖率那么大大高于執(zhí)行價錢較高的期權(quán)。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity貨幣期權(quán)的動搖率淺笑與分布Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity股票期權(quán)的動搖率淺笑與分布Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率期限構(gòu)造從長期來看，動搖率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時，隱含動搖率的變化較猛烈，隨著到期時間的延伸，隱含動搖率將逐漸向歷史動搖率的平均值接近。動搖率淺笑的外形也遭到期權(quán)到期時間的影響。大多時候，期權(quán)到期日越近，動搖率“淺笑〞就越顯著，到期日越長，不同價錢的隱含動搖率差別越小，接近于常數(shù)Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率矩陣執(zhí)行價格剩余有效期0.900.951.001.051.10一個月14.213.012.013.114.5三個月14.013.012.013.114.2六個月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity意義和運用動搖率淺笑和動搖率期限構(gòu)造的存在，證明了BS公式關(guān)于動搖率為常數(shù)的根本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場不是這樣預(yù)期的。因此放松動搖率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)實際開展的一個重要方向。目前主要有兩種不同的戰(zhàn)略：從期權(quán)市場出發(fā)的改良戰(zhàn)略創(chuàng)新戰(zhàn)略Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機動搖率模型普通模型股票風(fēng)險中性的隨機動搖率模型〔Hull等〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機動搖率對定價的影響當(dāng)動搖率是隨機的，且與股票價錢不相關(guān)時，歐式期權(quán)的價錢是BS價錢在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值：在股票價錢和動搖率相關(guān)的情況下，這個隨機動搖率模型沒有解析解，只能運用數(shù)值方法得到期權(quán)價錢動搖率隨機性質(zhì)的影響，也會因到期時間的不同而不同Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityGARCH模型GARCH模型可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型：采用的方式，用最大似然估計法估計三個參數(shù)、和，可以進一步得到和的值，并可計算出特定時辰動搖率的大小〔7-5〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不同時期的權(quán)重分布對公式7-5的右邊右邊反復(fù)的迭代過程，可以得到：經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式〔7-6〕寫作由于，可得未來動搖率的預(yù)期值為：〔7-6〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的參數(shù)問題：現(xiàn)實生活當(dāng)中存在著這樣的問題：當(dāng)參數(shù)價值是不確定的時候，如何為期權(quán)定價？處理方法：假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個特定的區(qū)間之內(nèi)，之后思索最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假設(shè)和思緒，我們不會計算出期權(quán)的某一特定價值，而會發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價值也將位于某個區(qū)間之內(nèi)Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的動搖率依然構(gòu)造無風(fēng)險組合，組合價值：假設(shè)與思索最糟糕的情況，可以確定期權(quán)的最低值，用公式表示：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權(quán)價值的下限期權(quán)價值下限滿足其中，且。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權(quán)價值的上限期權(quán)價值上限滿足：其中，。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的利率調(diào)查組合，假設(shè)：，那么：此時，我們選擇的利率將依賴于的符號，相應(yīng)的方程為：其中：，Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的紅利收益率在延續(xù)支付紅利的情況下，其推導(dǎo)過程很類似，在的假定下，只需解出：其中：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity騰躍分散過程所謂的騰躍分散過程是普通的〔途徑延續(xù)的〕分散過程和一個在隨機時辰發(fā)生騰躍的〔騰躍幅度也是隨機的〕騰躍過程的結(jié)合，顯然這種變化過程更能反映現(xiàn)實價錢途徑，對應(yīng)的模型那么可以以為是思索資產(chǎn)價錢有不延續(xù)的騰躍時對BS公式的推行Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity資產(chǎn)價錢所遵照的騰躍分散過程運用延續(xù)布朗運動來反映延續(xù)分散過程，同時引入泊松過程來描畫資產(chǎn)價錢的騰躍為泊松過程，定義為：根據(jù)Ito引理，可得：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity騰躍分散過程的保值組合和期權(quán)定價依然調(diào)查組合，運用Ito引理，包含了騰躍的組合價值變化為假設(shè)時辰?jīng)]有騰躍發(fā)生，那么，那么我們就會選擇來降低風(fēng)險。假設(shè)有騰躍，那么，我們依然可以選擇Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity包含了騰躍的期權(quán)定價公式Merton于1976年提出了一個重要的思想：假設(shè)資產(chǎn)價錢變化過程中的騰躍成分與整個市場無關(guān)的話，就屬于可分散風(fēng)險，可分散風(fēng)險不