新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題16統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 16.2統(tǒng)計(jì)案例（解析版）

專題十六《統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例》講義16.2統(tǒng)計(jì)案例題型一.一元線性回歸模型1．某車間為了規(guī)劃生產(chǎn)進(jìn)度提高生產(chǎn)效率，記錄了不同時(shí)段生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)x（百個(gè)）與相應(yīng)加工總時(shí)長y（小時(shí)）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y^=0.7x2345y1.52m3.5A．加工總時(shí)長與生產(chǎn)零件數(shù)呈正相關(guān) B．該回歸直線一定過點(diǎn)（3.5，2.5） C．零件個(gè)數(shù)每增加1百個(gè)，相應(yīng)加工總時(shí)長約增加0.7小時(shí) D．m的值是2.85【解答】解：由題意，線性回歸方程為y^=0.7對于A：∵b＝0.7＞0，∴加工總時(shí)長與生產(chǎn)零件數(shù)呈正相關(guān)；對于B：當(dāng)x＝3.5時(shí)，可得y＝0.7×3.5+0.05＝2.5，即該回歸直線一定過點(diǎn)（3.5，2.5）對于C：由b＝0.7，∴零件個(gè)數(shù)每增加1百個(gè)，相應(yīng)加工總時(shí)長約增加0.7小時(shí)，對于D：回歸方程過平均中心，x=2+3+4+54解得：m＝3故選：D．2．為了研究某班學(xué)生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為y?=bA．160 B．162 C．166 D．170【解答】解：因?yàn)閕=110則x=所以a?所以線性回歸方程為y?=4當(dāng)x＝23時(shí)，y?=4所以該班某學(xué)生的腳長為23，估計(jì)其身高為162厘米．故選：B．3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx【解答】解：由散點(diǎn)圖可知，在10℃至40℃之間，發(fā)芽率y和溫度x所對應(yīng)的點(diǎn)（x，y）在一段對數(shù)函數(shù)的曲線附近，結(jié)合選項(xiàng)可知，y＝a+blnx可作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型．故選：D．4．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：y?=?30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：y?（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)模型①：y?=?30.4+13.5計(jì)算t＝19時(shí)，y?=?30.4+13.5利用這個(gè)模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是226.1億元；根據(jù)模型②：y?=99+17.5計(jì)算t＝9時(shí)，y?=99+17.5利用這個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是256.5億元；（2）解法1：模型②得到的預(yù)測值更可靠，因?yàn)閺目傮w數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上升的，從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以利用模型②的預(yù)測值更可靠些．解法2，模型②對應(yīng)的7個(gè)點(diǎn)分布寬度小于模型①對應(yīng)的17個(gè)點(diǎn)的分布寬度，則|r2|＞|r1|，所以模型②較好；解法3，選擇與2018鄰近的三個(gè)年份（2014，2015，2016）計(jì)算模型②對應(yīng)的殘差絕對值之和＝2.5+5+1.5＝9，模型①對應(yīng)的殘差絕對值之和＝12+23.5+21＝56.5；且9＜56.5，所以模型②較好；所以利用模型②的預(yù)測值更可靠些．5．（2016?新課標(biāo)Ⅲ）如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．注：年份代碼1﹣7分別對應(yīng)年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：i=17yi＝9.32，i=17tiyi＝40.17，參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1回歸方程y?=b?=i=1【解答】解：（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：∵r=i=1∵0.99＞0.75，故y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系；（2）b?a?=y?b?t∴y關(guān)于t的回歸方程y?=0.102016年對應(yīng)的t值為9，故y?=0.10預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量為1.83億噸．6．（2018秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）越接近高考學(xué)生焦慮程度越強(qiáng)，四個(gè)高三學(xué)生中大約有一個(gè)有焦慮癥，經(jīng)有關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查，得出距離高考周數(shù)與焦慮程度對應(yīng)的正常值變化情況如下表：周數(shù)x654321正常值y556372809099（1）作出散點(diǎn)圖：（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y?=b（3）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，觀測值為正常值的0.85～1.06為正常，若1.06～1.12為輕度焦慮，1.12～1.20為中度焦慮，1.20及其以上為重度焦慮，若為中度焦慮及其以上，則要進(jìn)行心理疏導(dǎo)，若一個(gè)學(xué)生在距高考第二周時(shí)觀測值為100，則該學(xué)生是否需要進(jìn)行心理疏導(dǎo)？其中b?=i=1nxiyi?nxyi=1【解答】解：（1）（2）x=y=16b?=1452?6×267.7591?6×3.52≈?8.83，a∴線性回歸方程為y＝﹣8.83x+107.41；（3）x＝2時(shí)，y＝﹣8.83×2+107.41≈89.74，∵10089.747．（2020秋?昌江區(qū)校級(jí)期中）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i＝1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．xywi=18（xi?i=18（wi?i=18（xi?x）（yi=18（wi?w）（y46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=x附：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為β?=i=1（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝a+bx和y＝c+dx哪一個(gè)適宜作為銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z＝0.2y﹣x，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？【解答】解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；（2）令w=x，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于d=c=y?dw=563﹣∴y關(guān)于w的線性回歸方程為y＝100.6+68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為y＝100.6+68x；（3）①由（2）知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y＝100.6+6849=年利潤z的預(yù)報(bào)值z＝576.6×0.2﹣49＝66.32；②根據(jù)（2）的結(jié)果可知，年利潤z的預(yù)報(bào)值z＝0.2（100.6+68x）﹣x＝﹣x+13.6x+當(dāng)x=13.62題型二.獨(dú)立性檢驗(yàn)1．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)新開發(fā)的流感疫苗對甲型Hln1流感的預(yù)防作用，把1000名注射了疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種疫苗不能起到預(yù)防甲型Hln1流感的作用”，并計(jì)算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，則下列說法正確的是（）A．這種疫苗能起到預(yù)防甲型Hln1流感的有效率為1% B．若某人未使用該疫苗，則他在半年中有99%的可能性得甲型Hln1 C．有1%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型Hln1流感的作用” D．有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型Hln1流感的作用”【解答】解：∵并計(jì)算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，這說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即這種疫苗不能起到預(yù)防甲型Hln1流感的作用不合理的程度約為99%，∴有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型Hln1流感的作用”故選：D．2．通過隨機(jī)詢問200名性別不同的大學(xué)生是否愛好踢毽子運(yùn)動(dòng)，計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量K2的觀測值k≈4.892，參照附表，得到的正確結(jié)論是（）P（K2≥k）0.100.050.025k2.7063.8415.024A．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”【解答】解：∵計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量值K2的觀測值k≈4.892＞3.841，參照題目中的數(shù)值表，得到正確的結(jié)論是：在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”．故選：C．3．某大學(xué)為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如下所示的列聯(lián)表．經(jīng)計(jì)算K2的觀測值k≈4.762，則可以推斷出（）滿意不滿意男3020女4010P（k2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A．該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為35B．調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意 C．有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異 D．有99%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異【解答】解：由統(tǒng)計(jì)表格知：女生對食堂的滿意率為：45；男生對食堂的滿意率為3故A，該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為35，A對于B，應(yīng)為該校女生比男生對食堂服務(wù)更滿意；B錯(cuò)誤；由題意算得，k2＝4.762＞3.841，參照附表，可得：有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異；故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．4．海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖：（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=n(ad?bc【解答】解：（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，由P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C），則舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5＝0.62，故P（B）的估計(jì)值0.62，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5＝0.66，故P（C）的估計(jì)值為，則事件A的概率估計(jì)值為P（A）＝P（B）P（C）＝0.62×0.66＝0.4092；∴A發(fā)生的概率為0.4092；（2）2×2列聯(lián)表：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg總計(jì)舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計(jì)96104200則K2=200(62×66?38×34由15.705＞6.635，∴有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；（3）由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面積：（0.004+0.020+0.044）×5＝0.34，箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5＝0.68＞0.5，故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為：50+0.5?0.340.068≈新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值52.35（kg）．5．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2=n(ad?bcP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，第一種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在72～92之間，第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在65～85之間，所以第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少些，效率更高；（2）這40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間按從小到大的順序排列后，排在中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是79和81，計(jì)算它們的中位數(shù)為m=79+81由此填寫列聯(lián)表如下；超過m不超過m總計(jì)第一種生產(chǎn)方式15520第二種生產(chǎn)方式51520總計(jì)202040（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，計(jì)算K2=n(ad?bc∴能有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．6．韓國民意調(diào)查機(jī)構(gòu)“蓋洛普韓國”2016年11月公布的民調(diào)結(jié)果顯示，受“閨蜜門”時(shí)間影響，韓國總統(tǒng)樸槿惠的民意支持率持續(xù)下跌，在所調(diào)查的1000個(gè)對象中，年齡在[20，30）的群體有200人，支持率為0%，年齡在[30，40）和[40，50）的群體中，支持率均為3%；年齡在[50，60）和[60，70）的群體中，支持率分別為6%和13%，若在調(diào)查的對象中，除[20，30）的群體外，其余各年齡層的人數(shù)分布情況如頻率分布直方圖所示，其中最后三組的頻數(shù)構(gòu)成公差為100的等差數(shù)列．（1）依頻率分布直方圖求出圖中各年齡層的人數(shù)（2）請依上述支持率完成下表：年齡分布是否支持[30，40）和[40，50）[50，60）和[60，70）合計(jì)支持152540不支持485275760合計(jì)500300800根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為年齡與支持率有關(guān)？附表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d參考數(shù)據(jù)：125×33＝15×275，125【解答】解：（1）設(shè)年齡在[50，60）的人數(shù)為x，則最后三組人數(shù)之和為3x，所以四組總?cè)藬?shù)為4x＝800，得x＝200，則頻率分布直方圖中，年齡在[30，40）的群體有200人，[40，50）的群體有300人，[50，60）的群體有200人，[60，70）的群體有100人；（2）由題意年齡在[30，40）和[40，50）的支持人數(shù)為6+9＝15，[50，60）和[60，70）的人數(shù)為12+13＝25．填表如下年齡分布是否支持[30，40）和[40，50）[50，60）和[60，70）合計(jì)支持152540不支持485275760合計(jì)500300800所以K2=800×(15×275?25×485∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為年齡與支持率有關(guān)．題型三.統(tǒng)計(jì)案例綜合1．“綠水青山就是金山銀山”，“建設(shè)美麗中國”已成為新時(shí)代中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容，某班在一次研學(xué)旅行活動(dòng)中，為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長情況，在這些樹苗中隨機(jī)抽取了120株測量高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計(jì)，樹苗的高度均在區(qū)間[19，31]內(nèi)，將其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．據(jù)當(dāng)?shù)匕貥涿缟L規(guī)律，高度不低于27cm的為優(yōu)質(zhì)樹苗．（1）求圖中a的值；（2）已知所抽取的這120株樹苗來自于A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表：試驗(yàn)區(qū)試驗(yàn)區(qū)合計(jì)優(yōu)質(zhì)樹苗102030非優(yōu)質(zhì)樹苗603090合計(jì)7050120將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系，并說明理由；（3）用樣本估計(jì)總體，若從這批樹苗中隨機(jī)抽取4株，其中優(yōu)質(zhì)樹苗的株數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．附：參考公式與參考數(shù)據(jù)：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828【解答】解：（1）根據(jù)頻率直方圖數(shù)據(jù)，有2（a×2+2a+0.10×2+0.20）＝1，解得a＝0.025．（2）根據(jù)頻率直方圖可知，樣本中優(yōu)質(zhì)樹苗棵樹有120×（0.10×2+0.025×2）＝30，列聯(lián)表如下：A試驗(yàn)區(qū)B試驗(yàn)區(qū)合計(jì)優(yōu)質(zhì)樹苗102030非優(yōu)質(zhì)樹苗603090合計(jì)7050120可得K2=120(10×30?20×60所以，沒有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系．（3）用樣本估計(jì)總體，由題意，這批樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗的概率為30120X的可能取值為0，1，2，3，4，由題意知X服從二項(xiàng)分布X～B（4，14∴P（X＝k）=C4k即：P（X＝0）=(34)4=81256P（X＝2）=C42(14)P（X＝4）=(1∴X的分布列為：X01234P81272731∴數(shù)學(xué)期望為E（X）＝4×12．2021年6月17日9時(shí)22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國人首次進(jìn)入自己的空間站．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛．該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)0＜x≤17時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：y?=4.1x+10.9，模型②：y?=21.3x?14.4；當(dāng)x＞17時(shí)，確定（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0＜x≤17時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；回歸模型模型①模型②回歸方程y?=4.1y?i=1779.1320.2（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收益+國家補(bǔ)貼）的大?。剑嚎坍嫽貧w效果的指數(shù)R2＝1?i=1n(yi用最小二乘法求線性同歸方程y?=b【解答】解：（1）對于模型①，對應(yīng)的y=所以=i=17(yi?y)2=（15﹣38）2+（22﹣38）2+（27﹣38）2+（40﹣38）2+（48﹣所以相關(guān)指數(shù)R12=1?i=1同理，模型②的相關(guān)指數(shù)R22=1因?yàn)?.9889＞0.9563，所以模型②擬合精度更高；故對型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為＝21.317?14.4≈（2）當(dāng)x＞17時(shí)，后五組的x=21+22+23+24+255由最小二乘法可得a?=67﹣（﹣0.7）故當(dāng)投入20億元時(shí)公司收益（直接收益+國家補(bǔ)貼）的大小為：﹣0.7×20+83.1+5＝74.1＞72.93，故投入l7億元比投入20億元時(shí)收益小．3．中國茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某學(xué)習(xí)研究小組通過測量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)（室溫是20℃）．泡制時(shí)間x/min01234水溫y/℃8579747165ln（y﹣20）4.24.14.03.93.8（1）小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫（即20℃）就不能再降的事實(shí)，決定選擇函數(shù)模型y＝kcx+20（x≥0）來刻畫．①令z＝ln（y﹣20），求出z關(guān)于x的線性回歸方程；②利用①的結(jié)論，求出y＝kcx+20（x≥0，c＞0）中的k與c．（2）你認(rèn)為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產(chǎn)生最佳口感？參考數(shù)據(jù)：log參考公式：z?=b?x+a【解答】解：（1）①由已知得出x與z的關(guān)系，如下表：泡制時(shí)間x/min01234z4.24.14.03.93.8設(shè)線性回歸方程z?=b?x+∴i=15(則b?=i=1則z關(guān)于x的線性回歸方程為z?②由y＝kcx+20（x≥0），得y﹣20＝kcx（x≥0），兩邊取對數(shù)得，ln（y﹣20）＝lnk+xlnc，（7分）利用①的結(jié)論得：lnc＝﹣0.1，lnk＝4.2，∴c＝e﹣0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7．（2）由（1）得，y＝66.7×0.9x+20（x≥0），令y＝60，得x＝log0.90.6≈4.8．∴該品種綠茶用85℃的水泡制4.8min后飲用，口感最佳．課后作業(yè).統(tǒng)計(jì)案例1．下列說法正確的是（）A．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法 B．線性回歸方程對應(yīng)的直線y?=b?x+a?至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），?，（C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高 D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2為0.95的模型比相關(guān)指數(shù)R2為0.78的模型擬合的效果差【解答】解：對于A：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢測是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法，故A錯(cuò)誤；對于B：線性回歸方程對應(yīng)的直線y?=b?x+a?可能不經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），?，（x對于C：在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，故C正確；對于D：在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2為0.95的模型比相關(guān)指數(shù)R2為0.78的模型擬合的效果好，故D錯(cuò)誤．故選：C．2．為了調(diào)查患胃病是否與生活不規(guī)律有關(guān)，在患胃病與生活不規(guī)律這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是（）A．k越大，“患胃病與生活不規(guī)律沒有關(guān)系”的可信程度越大． B．k越大，“患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)系”的可信程度越?。?C．若計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，則在100個(gè)生活不規(guī)律的人中必有95人患胃?。?D．從統(tǒng)計(jì)量中得知有95%的把握認(rèn)為患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤．【解答】解：在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，k越大，“患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)系”的可信程度越大，所以A錯(cuò)誤、B錯(cuò)誤；計(jì)算得K2≈3.918時(shí)，經(jīng)查臨界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，不是指在100個(gè)生活不規(guī)律的人中必有95人患胃病，所以C錯(cuò)誤；從統(tǒng)計(jì)量中得知有95%的把握認(rèn)為患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以D正確．故選：D．3．對某中學(xué)的高中女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）進(jìn)行線性回歸分析，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，……，12），計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)r＝0.9962，用最小二乘法近似得到回歸直線方程為y?=0.85xA．x與y正相關(guān) B．x與y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，得到的回歸直線方程有價(jià)值 C．若該中學(xué)某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg D．若該中學(xué)某高中女生身高為160cm，則可斷定其體重為50.29kg【解答】解：由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85＞0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)r＝0.9962接近1，則樣本數(shù)據(jù)與回歸直線方程有較強(qiáng)的相關(guān)性，因此B正確；由線性回歸方程中系數(shù)的意義可得回歸直線的估計(jì)值知，x每增加1cm，其體重約增加0.85kg，C正確；當(dāng)某女生的身高為160cm時(shí)，其體重估計(jì)值是50.29kg，而不是具體值，因此D錯(cuò)誤．故選：ABC．4．為研究女高中生身高與體重之間的關(guān)系，一調(diào)查機(jī)構(gòu)從某中學(xué)中隨機(jī)選取8名女高中生，其身高x（cm）和體重y（kg）數(shù)據(jù)如表所示：編號(hào)12345678身高x/cm164160158172162162174166體重y/kg6046434848506152該調(diào)查機(jī)構(gòu)繪制出該組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖后分析發(fā)現(xiàn)，女