幾種常見數(shù)列的求和方法及相應(yīng)練習(xí)

數(shù)列——數(shù)列求和【考題回放】1.（北京卷）設(shè)，則等于（） A. B.C. D.2.等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100,則n=（）A．9B．10C．11D．123.（福建）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（）A．1B．C．D．4.（全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，則EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝（）A.EQ\f(3,10)B.EQ\f(1,3)C.EQ\f(1,8)D.EQ\f(1,9)5.（天津卷）已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（）A．55B．70C．85D．1006.（江蘇卷）對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是數(shù)列求和常用方法一、直接求和法（或公式法）將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，直接運(yùn)用等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得.①等差數(shù)列求和公式：②等比數(shù)列求和公式：（切記：公比含字母時一定要討論）例1:（07高考山東文18）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，且構(gòu)成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和．例2：已知，求的前n項(xiàng)和.針對訓(xùn)練1：設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯位相減法。若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令則兩式相減并整理即得例2（07高考天津理21）在數(shù)列中，，其中．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；例3：（07高考全國Ⅱ文21）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，（Ⅰ）求，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．針對訓(xùn)練2：設(shè)數(shù)列滿足，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．求和：3.求數(shù)列前n項(xiàng)的和.三、裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例1：求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例2：（06湖北卷理17）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；針對訓(xùn)練3：1.在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.2：求證：四、分組求和法所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例1：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿.（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。例2：求數(shù)列，的前項(xiàng)和．針對訓(xùn)練4：求和：五、并項(xiàng)求和法：針對一些特殊的數(shù)列，將其某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時，可將這些項(xiàng)放在一起先求和.例1、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.例2：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.例3：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…針對訓(xùn)練5：1：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.2：求（）倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.例1：已知函數(shù)證明：；（2）求的值.例2：（07豫理22.）設(shè)