專題13.4等腰三角形的判定（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題13.4等腰三角形的判定（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023春?宣漢縣校級(jí)期末）由下列長(zhǎng)度的三條線段，能構(gòu)成等腰三角形的是（）A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm C．5cm，5cm，11cm D．4cm，8cm，8cm【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，看哪個(gè)選項(xiàng)中兩條較小的邊的和大于最大的邊即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知A、1+1＝2，不能組成三角形；B、3+4＞5，能夠組成三角形，但不是等腰三角形；C、5+5＜11，不能組成三角形；D、4+8＞8，能組成三角形，且是等腰三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形，等腰三角形的定義以及判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋??？悼h期末）如圖所示，共有等腰三角形（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出圖形中未知度數(shù)的角，即可根據(jù)等角對(duì)等邊求得等腰三角形的個(gè)數(shù)．【解答】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠AOB＝∠COD＝72°．再根據(jù)等角對(duì)等邊，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?巴州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，求出∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝【解答】解：∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目比較好，難度適中．4．（2021秋?安次區(qū)期末）下列三角形中，不是等腰三角形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形的內(nèi)角和判定選項(xiàng)ABC中的三角形是否為等腰三角形，D選項(xiàng)由等腰三角形的定義判斷．【解答】解：A、由三角形的內(nèi)角和為180°知：第三個(gè)角的大小為：180°﹣50°﹣35°＝95°，∴A選項(xiàng)中的圖形不是等腰三角形．故A選項(xiàng)符合題意；B、由三角形的內(nèi)角和為180°知：第三個(gè)角的大小為：180°﹣90°﹣45°＝45°，∴B選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故B選項(xiàng)不符合題意；C、由三角形的內(nèi)角和為180°知：第三個(gè)角的大小為：180°﹣100°﹣40°＝40°，∴C選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故C選項(xiàng)不符合題意；D、由圖形中有兩邊長(zhǎng)為5知：選項(xiàng)D中的圖形是等腰三角形．故D選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和與等腰三角形的判定和定義．利用三角形的內(nèi)角和為180°求出第三角是突破點(diǎn)．5．（2021秋?石家莊期末）求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求證AB＝AC．以下是排亂的證明過(guò)程：①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C．③∵AD∥BC．④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，⑤∴AB＝AC．證明步驟正確的順序是（）A．③﹣②﹣①﹣④﹣⑤ B．③﹣④﹣①﹣②﹣⑤ C．①﹣②﹣④﹣③﹣⑤ D．①﹣④﹣③﹣②﹣⑤【答案】B【分析】先由平行線的性質(zhì)得∠1＝∠B，∠2＝∠C，等量代換得到∠B＝∠C，然后由等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論．【解答】解：∵③AD∥BC，∴④∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵①∠1＝∠2，∴②∠B＝∠C，∴⑤AB＝AC，故證明步驟正確的順序是③→④→①→②→⑤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的平分線，DE∥BC，則∠BDE的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．40° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠ABC＝70°，根據(jù)角平分線的定義得出∠DBC＝35°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝40°，∴∠ABC=12×（180°﹣40∵BD是△ABC的平分線，∴∠DBC=12∠ABC＝∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝35°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?新市區(qū)期末）如圖，∠B、∠C的平分線相交于F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論正確的是①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)為AB+AC；④BD＝CE．（）A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，F(xiàn)E＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周長(zhǎng)AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023?蚌埠模擬）在如圖的網(wǎng)格中，在網(wǎng)格上找到點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】首先由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，然后分別從BA＝BC，AB＝AC，CA＝CB去分析求解即可求得答案．【解答】解：如圖，∵AB=22+∴①若BA＝BC，則符合要求的有：C1，C2共2個(gè)點(diǎn)；②若AB＝AC，則符合要求的有：C3，C4共2個(gè)點(diǎn)；③若CA＝CB，則符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6個(gè)點(diǎn)．∴這樣的C點(diǎn)有10個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解題關(guān)鍵是分類的數(shù)學(xué)思想．9．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)P是射線OD上一動(dòng)點(diǎn)（即點(diǎn)P可在射線OD上運(yùn)動(dòng)）．∠AOD＝30°，當(dāng)∠A＝（）度時(shí)，△AOP為等腰三角形．A．120 B．30或75 C．30或75或120 D．120或75或45或30【答案】C【分析】分三種情況：①OA＝OP時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得∠A＝∠OPA＝75°；②AO＝AP時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)得∠APO＝∠O＝30°，則∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；③PO＝PA時(shí)，∠A＝∠O＝30°．【解答】解：分三種情況：①OA＝OP時(shí)，則∠A＝∠OPA=12（180°﹣∠O）=12（180°﹣②AO＝AP時(shí)，則∠APO＝∠O＝30°，∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；③PO＝PA時(shí)，則∠A＝∠O＝30°；綜上所述，當(dāng)∠A＝75°或120°或30°時(shí)，△AOP為等腰三角形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?下城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF．正確的是（）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①根據(jù)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等即可判斷；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝∠CAD，再由三角形外角性質(zhì)即可判斷；③根據(jù)等腰三角形的判定即可判斷；④根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FAG＝∠ACD，再根據(jù)三角形角平分線定義即可判斷．【解答】解：∵BE是中線，∴AE＝CE，∴△ABE＝S△BCE，故①正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正確；根據(jù)已知條件不能提出∠HBC＝∠HCB，故③錯(cuò)誤；∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是角平分線，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故④正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線，中線和高的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線，中線，高的定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共6小題）11．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G，F(xiàn)．若FG＝2，ED＝4，則EB+DC的值為6．【答案】6．【分析】由角平分線與平行線易得∠EBG＝∠EGB，從而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根據(jù)EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案．【解答】解：∵BG平分∠EBC，∴∠EBG＝∠GBC，∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG，同理可得DF＝DC，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的關(guān)鍵．12．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出△ABC是等腰三角形的是②③．（填序號(hào)）①∠BAD＝∠C；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④BD＝AD．【答案】②③．【分析】可根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)來(lái)判斷①②③是否正確；④顯然與AD是△ABC的邊BC上的高矛盾【解答】解：①無(wú)法判定；②當(dāng)∠BAD＝∠CAD時(shí)，∵AD是∠BAC的平分線，且AD是BC邊上的高；∴∠ADB＝∠ADC，∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴△BAC是等腰三角形；③∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴△ABC是等腰三角形；④BD＝AD，不能推出△ABC是等腰三角形．所以正確答案的序號(hào)是②③．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)；結(jié)合圖形靈活解決問(wèn)題．13．（2023?東?？h三模）在△ABC中，∠A＝80°，當(dāng)∠B＝80°、50°、20°時(shí)，△ABC是等腰三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】此題要分三種情況進(jìn)行討論①∠B、∠A為底角；②∠A為頂角，∠B為底角；③∠B為頂角，∠A為底角．【解答】解：∵∠A＝80°，∴①當(dāng)∠B＝80°時(shí)，△ABC是等腰三角形；②當(dāng)∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°時(shí)，△ABC是等腰三角形；③當(dāng)∠B＝180°﹣80°×2＝20°時(shí)，△ABC是等腰三角形；故答案為：80°、50°、20°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等角對(duì)等邊，注意考慮全面，不要漏解．14．（2021秋?平昌縣期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B是格點(diǎn)（各小正方形的頂點(diǎn)是格點(diǎn)），則以A，B，C為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)C的位置有4個(gè)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由勾股定理求出AB=32+12=10，分三種情況討論：①當(dāng)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)；②【解答】解：由勾股定理得：AB=3分三種情況：如圖所示：①當(dāng)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，符合△ABC為等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；②當(dāng)B為頂角頂點(diǎn)時(shí)，符合△ABC為等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；③當(dāng)C為頂角頂點(diǎn)時(shí)，符合△ABC為等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；綜上所述：以A，B，C為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)C的位置有1+2+1＝4（個(gè)）；故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的判定，分情況討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2023春?開江縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點(diǎn)G，若AB＝4，則線段FG的長(zhǎng)為2．【答案】2．【分析】延長(zhǎng)BF交AC于E，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AB＝4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FG=12AE＝【解答】解：延長(zhǎng)BF交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BF⊥AD，∴∠AFB＝∠AFE＝90°，∵AF＝AF，∴△ABF≌△AEF（ASA），∴AE＝AB＝4，∵FG∥AB，∴∠BAF＝∠AFG，∴∠GAF＝∠FAG，∴AG＝FG，∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，∴∠GFE＝∠GEF，∴FG＝GE，∴FG=12AE＝故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2008春?張家港市期末）如圖，∠AOB＝60°，C是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OC＝10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝103或10時(shí)，△POQ【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)．分別列式計(jì)算即可求．【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，設(shè)t時(shí)后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即10﹣2t＝t，解得，t=103（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過(guò)CO時(shí)的時(shí)間已用5s，當(dāng)△POQ是等腰三角形時(shí)，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣5）＝t，解得，t＝10s故填103或10【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；解題時(shí)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解，是常用的方法，注意要分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)還是在右側(cè)是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）17．（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的高，角平分線BD交CE于點(diǎn)M．?求證：△CDM是等腰三角形；【答案】見解答．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°，∵∠BME＝∠CMD，∴∠ABD+∠CMD＝90°，∴∠CDB＝∠CMD，∴CM＝CD，∴△CDM是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18．（2023春?佛山期中）已知：在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且DE＝DF．求證：△ABC是等腰三角形．【答案】見解析．【分析】只要證明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A＝∠C，即可推出BA＝BC，即可證明．【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=DCDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．19．（2023春?普寧市期末）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠E＝40°，∠BAE＝60°，且AD平分∠BAE．?（1）求證：BD＝DE；（2）若AB＝AC，求∠CAD的度數(shù)．【答案】（1）見解答；（2）70°．【分析】（1）要求證：BD＝DE可以證明△ABD≌△AED，根據(jù)角角邊定理就可以證出；（2）求∠ACD＝∠AFC﹣∠DAF，本題可以轉(zhuǎn)化為求∠AFC，∠CAD的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD＝30°，∵AD＝AD，∵∠B＝∠E＝40°，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝ED；（2）解：∵∠ADE＝∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝110°，∵∠ADC＝70°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∵∠CAD＝100°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣70°﹣40°＝70°．【點(diǎn)評(píng)】證明線段相等的問(wèn)題比較常用的方法是證明所在的三角形全等．20．（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．（1）如圖1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，若DF⊥AD交AB于F，求證：BF＝DF．【答案】（1）25°；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，∴∠B＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，（2）證明：設(shè)∠B＝α，則∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，∵∠AFD＝∠B+∠BDF，∴∠BDF＝α＝∠B，∴BF＝DF．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義解答．21．（2022秋?西山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求△ACP的面積．（2）t為何值時(shí)，線段AP是∠CAB的平分線？（3）請(qǐng)利用備用圖2繼續(xù)探索：當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP是以AC為腰的等腰三角形？（直接寫出結(jié)論）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）把t＝1代入得出CP＝2，利用三角形的面積進(jìn)行解答即可；（2）過(guò)P作PE⊥AB，設(shè)CP＝2t，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)AC＝CP，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）把t＝1得出CP＝2，所以△ACP的面積=1（2）過(guò)P作PE⊥AB，如圖1：CP＝2t，BP＝（8﹣2t）cm，AE＝AC＝6cm，PE＝CP＝2t，BE＝10﹣6＝4，可得：（8﹣2t）2＝（2t）2+42解得：t=3（3）如圖2，3，4：因?yàn)椤鰽CP是以AC為腰的等腰三角形，當(dāng)AC＝CP＝6時(shí)，t1＝6÷2＝3s；當(dāng)AC＝CP＝6時(shí)，t2當(dāng)AC＝AP＝6時(shí)，t3=4+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的面積，難度適中．利用分類討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵．22．（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，交CD的延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．①求證：△ADE是等腰三角形；②判斷：△ACE是否是等腰三角形，請(qǐng)先寫出結(jié)論，再說(shuō)明理由．【答案】（1）108°；（2）①證明見解析部分；②結(jié)論：△ACE是等腰三角形．證明見解析部分．【分析】（1）關(guān)鍵等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，求出∠DCB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；（2）①根據(jù)平行線求出∠EAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE，即可得出答案；②先判斷出∠BCE＝∠ACE，再判斷出∠BCE＝∠E，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣∠BAC）＝∵CD是∠ACB的平分線∴∠DCB=12∠ACB＝∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①證明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：結(jié)論：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算和推理能力．23．（2021秋?潮安區(qū)期中）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)E在直線AC上，且AE＝AD，設(shè)∠DAC＝n．（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC邊上，當(dāng)n＝36°時(shí)，求∠BAD和∠CDE的度數(shù)；拓廣探索：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，其他條件不變，試猜想∠BAD和∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接