江蘇省淮安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省淮安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，得.故選：C．2.已知函數(shù)，由下表給出，則（）x123321x123132A.1 B.2 C.3 D.1或3【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.3.下列函數(shù)中與函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性不一致的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對(duì)于A，由一次函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞增，故A不合題意；對(duì)于B，由反比例函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞減，故B符合題意；對(duì)于C，，由冪函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞增，故C不合題意；對(duì)于D，由二次函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞增，故D不合題意.故選：B．4.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】由題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的條件為，由能推出，但是推不出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，，則.故選：C．6.已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)，所以，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)解得，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)，所以，因?yàn)?，所以；綜上可知.故選：D.7.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋苫静坏仁降?，故，因?yàn)?，，兩式相減得，，故，所以，故，所以.故選：B.8.定義：，其中為的個(gè)位數(shù)字，，若（），則（）A.0 B.1 C.3 D.5【答案】A【解析】則為的個(gè)位數(shù)字，即為的個(gè)位數(shù)字，則由（），可得,則.故選：A.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由得，，則，故A正確；對(duì)于B，由及得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以，即，因?yàn)椋?，故D正確.故選：ACD．10.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)?B.是奇函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，與為同一函數(shù) D.當(dāng)時(shí)，的最小值為2【答案】ABD【解析】要使函數(shù)有意義，則，即的定義域?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋业亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)镽，定義域不同，所以與不同一函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.規(guī)定，之間的一種運(yùn)算，記作，若，則，則下列正確的是（）A. B.C. D.若，，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A：令，，則，，所以，即，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C：令，，，則，，，所以，即，所以，即，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，令，則且，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：BCD.12.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，由此可以推廣得到：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).則下列函數(shù)圖象成中心對(duì)稱的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則為奇函數(shù)，所以，所以，因?yàn)樯鲜綄?duì)定義域內(nèi)的任意都成立，所以，得，所以的對(duì)稱中心為，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則為奇函數(shù)，所以，所以，因?yàn)樯鲜綄?duì)定義域內(nèi)的任意都成立，所以，得，所以的對(duì)稱中心為，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則為奇函數(shù)，所以，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)樯鲜綄?duì)定義域內(nèi)的任意都成立，所以，得，所以的對(duì)稱中心為，符合題意.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.滿足的集合的個(gè)數(shù)為____________個(gè).【答案】4【解析】，或或或.故答案為：4.14.寫出一個(gè)單調(diào)遞減的奇函數(shù)______．【答案】（答案不唯一）．【解析】，在定義域R上是減函數(shù)，又，所以函數(shù)是奇函數(shù).故答案為：（答案不唯一）．15.對(duì)a，，記，函數(shù)的最大值是______________.【答案】1【解析】令，解得，令，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或，，，所以函數(shù)的最大值為1.故答案為：1.16.定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.若，，，則a，b，c按照從小到大順序排列為______________.【答案】【解析】由題意，在函數(shù)中，函數(shù)是奇函數(shù)且，∴即，∴，是周期為的周期函數(shù)，∴，，，∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴.故答案：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且.（1）求實(shí)數(shù)的值，并在如圖坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的圖象；（2）求函數(shù)的解析式.解：（1）由題意，在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以解得：，所以當(dāng)時(shí)，，由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得函數(shù)的圖象：（2）由題意及（1）得，在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，由于是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.18.對(duì)于集合A，B，我們把集合叫作集合A與B的差集，記為；可用圖中的陰影部分來表示.（1）若，，求集合和；（2）集合，集合，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）由，可知：，.（2）由，可得：，由題意可知，由，可知；所以，解得，所以.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明.解：（1）由題意，，在中，為奇函數(shù)，∴對(duì)于任意，都有，所以.（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意及（1）證明如下，，在中，，∴，任取，，且，所以，因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)n的值；（2）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求m的取值范圍.解：（1）由題設(shè)解集為，所以，解得.（2）由時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，且，當(dāng)，則恒成立，滿足題設(shè)，此時(shí)，故無最小值；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，又在上遞減，則，故，所以，只需，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，的最小值為2；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，又在上遞減，則，故，所以，只需，同上分析知：，故無最小值；綜上，時(shí)無最小值；時(shí)的最小值為2.（3）由題設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于任意，恒成立；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，即恒成立，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，若，則，，則，即，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又，所以；若，則，，則，即，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又，所以；若，則時(shí)，，即時(shí)，即，無解，此時(shí)；綜上，.21.中國文化之美照亮生活，宋代的幾何圖案（圖1）注重理性和邏輯的文化風(fēng)氣，中式美學(xué)的另一種浪漫，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)對(duì)稱之美．幾何圖案由函數(shù)，，與函數(shù)（）圖像（如圖2）分別關(guān)于軸、軸及原點(diǎn)對(duì)稱所得（如圖3）．（1）若圖3構(gòu)成正八邊形，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，．①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②求的最小值．解：（1）設(shè)，，且，則，由得，，即，因?yàn)楹完P(guān)于對(duì)稱，所以，所以（*），又因?yàn)辄c(diǎn)在圖像上，所以，將（*）代入可得：，解得．（2）①由，可得：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，所以，解得或，又因?yàn)?，所?②由根與系數(shù)關(guān)系得，，所