專題11.4 二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第十一章概率專題11.4二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實(shí)際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用．考點(diǎn)一二項(xiàng)分布考點(diǎn)二超幾何分布考點(diǎn)三正態(tài)分布1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)，約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，此時這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0由于表中的第二行中的概率值恰好是二項(xiàng)展開式(q＋p)n＝Ceq\o\al(0,n)p0qn＋Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)pnq0中對應(yīng)項(xiàng)的值，因此稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有MN件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中，n，N，M∈N＋，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.(1)定義一般地，如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總是等于φμ，σ(x)對應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布.(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.(3)3σ原則P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.常用結(jié)論1．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理．2．超幾何分布有時也記為X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).題型一二項(xiàng)分布1．某人把一枚硬幣拋擲100次，出現(xiàn)50次正面的概率（

）（參考數(shù)據(jù)）A．小于50% B．等于50%C．大于50% D．以上都有可能【答案】A【詳解】設(shè)，則，即出現(xiàn)50次正面的概率小于.故選：A2．已知隨機(jī)變量，則概率最大時，的取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】依題意，由，即，解得或.故選：C.3．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.故選：D4．已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨(dú)立，設(shè)其中被治愈的人數(shù)為X，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．存在，使得成立【答案】B【詳解】由題意可得，則，所以，，故AC錯誤；由二項(xiàng)分布的概率公式得，故B正確；，若，則，化簡得，解得，與條件矛盾，即D錯誤.故選：B.5．某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，且，記，，若是唯一的最大值，則的值為（

）A．7 【答案】A【詳解】因?yàn)?，，若是唯一最大值，則，所以，由，得，解得，由，得，解得，所以，因?yàn)椋?，得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以，故選：A題型二超幾何分布6．某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報(bào)演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則（

）A． B．C． D．1【答案】C【詳解】由題意知X服從超幾何分布，X的可能取值為0，1，2，故，，于是.故選：C.7．課桌上有12本書，其中理科書籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書，用隨機(jī)變量表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，則概率為的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，隨機(jī)變量表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，且服從超幾何分布，所以．故選：A8．設(shè)隨機(jī)變量，且．若8名黨員中有名男黨員，從這8人中選4名代表，記選出的代表中男黨員人數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則，解得或，又因?yàn)椋瑒t，可得，則．所以，故選：．9．某競賽小組共有13人，其中有6名女生，現(xiàn)從該競賽小組中任選5人參加一項(xiàng)活動，用表示這5人中女生的人數(shù)，則下列概率中等于的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】取值是：，所以.故選：D.10．盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個，則概率是的事件為（

）A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的【答案】C【詳解】對于A，事件的概率為；對于B，事件的概率為；對于C，事件的概率為；對于D，事件的概率為.故選：C.題型三正態(tài)分布11．從一批含有6件正品，2件次品的產(chǎn)品中一次性抽取3件，設(shè)抽取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知X服從超幾何分布，則.故選：C12．已知隨機(jī)變量，則的值約為（

）【答案】A【詳解】由題意，知，，所以該正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱．所以，，所以，故選：A．13．某學(xué)校共人參加數(shù)學(xué)測驗(yàn)，考試成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計(jì)成績不及格（在分以下）的學(xué)生人數(shù)為（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】C【詳解】由已知可得，，所以．又，則，估計(jì)成績不及格（在分以下）的學(xué)生人數(shù)為（人）．故選：C．14．“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全，農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為，，則下列說法錯誤的是（

）A．該地水稻的平均株高為B．該地水稻株高的方差為100C．隨機(jī)測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小D．隨機(jī)測量一株水稻，其株高在和在（單位：cm）的概率一樣大【答案】C【詳解】依題意，所以平均數(shù)為，方差為，所以AB選項(xiàng)正確.依題意，而，即，所以C選項(xiàng)錯誤.，所以D選項(xiàng)正確.故選：C15．某市教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布圖如圖所示（由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布），下列說法中正確的是（

）A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小 B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中 D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同【答案】A【分析】依題意，不妨設(shè)成績服從正態(tài)分布，由正態(tài)曲線的性質(zhì)知，曲線的形狀由參數(shù)確定，越大，曲線越矮胖；越小，曲線越瘦高，且是標(biāo)準(zhǔn)差，為正態(tài)曲線的對稱軸，且為平均數(shù)，由所給圖像知，甲科總體標(biāo)準(zhǔn)差最小，乙科總體標(biāo)準(zhǔn)差居中，丙科總體標(biāo)準(zhǔn)差最大，甲、乙、丙總體的平均數(shù)相同，BCD錯誤，A正確.故選：A一、單選題1．學(xué)校要從8名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會．已知恰有3名候選人來自甲班，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會被選中，則甲班恰有2名同學(xué)被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】從8名候選人中選4名同學(xué)，共有種選擇，甲班有3名候選人，非甲班有5名候選人，故甲班恰有2名同學(xué)被選中的個數(shù)有，所以概率為，故選：C2．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.故選：C3．口袋中有2個黑球，2個紅球和1個白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機(jī)變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，.故選：B4．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)為射手在30次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則，故在30次射擊中，恰有18次擊中目標(biāo)的概率為.故選：B.5．泊松分布是一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布，在經(jīng)濟(jì)生活、事故預(yù)測、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．當(dāng)很大且很小時，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中．一般地，當(dāng)而時，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似．若隨機(jī)變量的近似值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題，，而，所以泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，，所以.故選：B.6．學(xué)校要從5名男生和3名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值是（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】由題知服從的超幾何分布，所以，故選：C.7．據(jù)統(tǒng)計(jì)2023年“五一”假期哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布，則在此期間的某一天，太陽島接待的人數(shù)不少于1800的概率為（

）附：，，，【答案】C【詳解】依題意，，.故選：C8．紅心獼猴桃是六盤水市著名特產(chǎn)之一，富含維生素C及多種礦物質(zhì)和18種氨基酸，特別是微量元素中的含鈣量為果中之首，被譽(yù)為“人間仙果”“果中之王”“維C之王”．據(jù)統(tǒng)計(jì)，六盤水市某種植基地紅心獼猴桃的單果重量（單位：克）近似服從正態(tài)分布，則單果重量在的概率約為（

）（附：若，則，，）【答案】D【詳解】根據(jù)正態(tài)分布可知，所以,故選：D二、多選題9．一袋中有5個大小相同的黑球，編號為，還有3個同樣大小的白球，編號為6，7，8，現(xiàn)從中任取3個球，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．取出的最小號碼服從超幾何分布B．取出的白球個數(shù)服從超幾何分布C．取出2個黑球的概率為D．若取出一個黑球記1分，取出一個白球記分，則總得分最小的概率為【答案】BC【詳解】對于，超幾何分布取出某個對象的結(jié)果數(shù)不定，也就是說超幾何分布的隨機(jī)變量為實(shí)驗(yàn)次數(shù)，即指某事件發(fā)生次的試驗(yàn)次數(shù)，由此可知取出的最大號碼不服從超幾何分布，故錯誤；對于，超幾何分布的隨機(jī)變量為實(shí)驗(yàn)次數(shù)，即指某事件發(fā)生次的試驗(yàn)次數(shù)，由此可知取出的黑球個數(shù)服從超幾何分布，故B正確；對于，取出2個黑球的概率為，故C正確；對于，若取出一個黑球記1分，取出一個白球記分，則取出三個白球的總得分最小，總得分最大的概率為，故不正確.故選：.10．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（

）A．隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 B．C．隨機(jī)變量X的方差 D．隨機(jī)變量Y的方差【答案】AC【詳解】因?yàn)閄服從二項(xiàng)分布，故，，故選項(xiàng)A，C正確；又，故B選項(xiàng)錯誤，又，則，故選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.11．已知某地區(qū)秋季的晝夜溫差，且，該地區(qū)某班級秋季每天感冒的人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，秋季某天該班級感冒的學(xué)生有9人，其中有4位男生，5位女生，則下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．若，則B．從這9人中隨機(jī)抽取2人，其中至少有一位女生的概率為C．從這9人中隨機(jī)抽取2人，其中男生人數(shù)的期望為D．晝夜溫差每提高，該班級感冒的學(xué)生大約增加2人【答案】ABD【詳解】由，可得，，所以，故A正確；因?yàn)?，故B正確；服從超幾何分布，其中，，，所以，故C錯誤；因?yàn)?，，所以，所以，故D正確．故選：ABD12．設(shè)兩個正態(tài)分布和密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)：曲線的對稱軸方程為，由圖可得,.由的變化影響正態(tài)曲線的形狀．較小，曲線“瘦高”，分布比較集中；較大，曲線“矮胖”，分布比較分散.由圖可得，.故選：AC.三、填空題13．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則.【答案】【詳解】表示做了4次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功概率為，，故答案為：14．某企業(yè)生產(chǎn)的個產(chǎn)品中有個一等品、個二等品，現(xiàn)從這些產(chǎn)品中任意抽取個，則其中恰好有個二等品的概率為.【答案】【詳解】根據(jù)題意可知，任意抽取個共有種抽法，則其中恰好有個二等品的抽法共有種，因此任意抽取個，則其中恰好有個二等品的概率為.故答案為：四、解答題15．為弘揚(yáng)中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動．競賽共有和兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道類試題得10分；每答對1道類試題得20分，答錯都不得分．每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)類試題中有7道題能答對，而他答對各道類試題的概率均為．(1)若該同學(xué)只抽取3道類試題作答，設(shè)表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求的分布和期望；(2)若該同學(xué)在類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率．【詳解】（1），，，所以X的分布為X0102030