一元多項(xiàng)式習(xí)題及解答

習(xí)題一A組1.判別是否為數(shù)域？解是．2.設(shè)，，求，，．解，，．3．設(shè)，求的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．解由于的各項(xiàng)系數(shù)的和等于，所以．4.求除以的商與余式．(1)；(2)．解(1)用多項(xiàng)式除法得到所以，．(2)用多項(xiàng)式除法得到所以，．5．設(shè)是兩個(gè)不相等的常數(shù)，證明多項(xiàng)式除以所得余式為．證明依題意可設(shè)，則解得故所得余式為．6.問適合什么條件時(shí)，能被整除？(1)，；(2)，．解(1)由整除的定義知，要求余式．所以先做多項(xiàng)式除法，要求，所以．即時(shí)，可以整除．(2)方法同上．先做多項(xiàng)式除法，所得余式為，所以，即或時(shí)，可以整除．7.求與的最大公因式:(1)；(2)；(3)．解(1)用輾轉(zhuǎn)相除法得到用等式寫出來，就是，，，所以．(2)同樣地，所以.(3)同樣用輾轉(zhuǎn)相除法，可得．8.求使：(1)：(2)：(3)．解(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到，，．因而，，并且所以(2)利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到，，．因而，，并且所以．(3)利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到，．因而，并且所以．9.設(shè)的最大公因式是一個(gè)二次多項(xiàng)式，求的值．解利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到，由題意，與的最大公因式是一個(gè)二次多項(xiàng)式，所以解得．10.設(shè)，求和．解用去除，得余式，由題意要求知，即解得．11.證明：如果，，那么．證明由條件可知，存在和使得，存在和使得．用乘以第一式得，代入第二式得，即，所以．12.證明：如果與不全為零，且，那么．證明由于，與不全為零，所以．兩邊同時(shí)除以，有，所以．13.證明：如果，且為與的一個(gè)組合，那么是與的一個(gè)最大公因式．證明由題意知是與的公因式．再由條件設(shè)．又設(shè)為與的任一公因式，即，則由上式有．故而是與的一個(gè)最大公因式．14.證明：，其中的首項(xiàng)系數(shù)為1．證明顯然是與的一個(gè)公因式．下面來證明它是最大公因式．設(shè)滿足，則．由上題結(jié)果知，是與的一個(gè)最大公因式，又首項(xiàng)系數(shù)為1，所以．15.設(shè)多項(xiàng)式與不全為零，證明．證明設(shè)，則存在多項(xiàng)式，使．因?yàn)榕c不全為零，所以．上式兩邊同時(shí)除以，有，故成立．16．分別在復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域和有理數(shù)域上分解為不可約因式之積．解在實(shí)數(shù)域上的分解式為．在復(fù)數(shù)域上的分解式為．在有理數(shù)域上是不可約多項(xiàng)式．否則，若可約，有以下兩種可能．（1）有一次因式，從而它有有理根，但，所以無有理根．（2）無一次因式，設(shè)，其中為整數(shù)．于是，，，，又分兩種情況：①，又，從而由，得，矛盾；②，則，矛盾．綜合以上情況，即證．17.求下列多項(xiàng)式的有理根：(1)；(2)；(3)．解(1)由于是首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)多項(xiàng)式，所以有理根必為整數(shù)根，且為的因數(shù)．的因數(shù)有：，計(jì)算得到：故是的有理根．再由多項(xiàng)式除法可知，是的單根．(2)類似（1）的討論可知，的可能的有理根為：，計(jì)算得到，故是的有理根．再由多項(xiàng)式除法可知，是的2重根．(3)類似地，的可能的有理根為：，計(jì)算得到．故，是的有理根．再由多項(xiàng)式除法可知，是的4重根，是的單根．18．若實(shí)系數(shù)方程有一根（為實(shí)數(shù)，），則方程有實(shí)根．證明設(shè)原方程有三個(gè)根．不失一般性，令，從而有，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，所以，即，故．這說明有實(shí)根．19.證明：如果，那么．證明因?yàn)?，所以．因此，令，則有，即．20.下列多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約？(1)；(2)；(3)；(4)，p為奇素?cái)?shù)；(5)，k為整數(shù)．解（1）的可能的有理根為：，而，所以它在有理數(shù)域上不可約．（2）由Eisenstein判別法，取素?cái)?shù)，則不能整除1，而，但是不能整除2，所以該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約．（3）令，代入有．取素?cái)?shù)，由Eisenstein判別法知，在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上不可約．(4)令，代入，得，取素?cái)?shù)，由Eisenstein判別法知，在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上不可約．(5)令，代入，得，取素?cái)?shù)，由Eisenstein判別法知，在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上不可約．B組1．設(shè)，，是實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式，(1)若，則．(2)在復(fù)數(shù)域上，上述命題是否成立？證明(1）當(dāng)時(shí)，有，所以，命題成立．如果，不全為零，不妨設(shè)．當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，都是?shí)系數(shù)多項(xiàng)式，所以與都是首項(xiàng)系數(shù)為正實(shí)數(shù)的奇次多項(xiàng)式，于是也有為奇數(shù)．而這時(shí)均有，且為偶數(shù)，矛盾．因此有，從而有．(2)在復(fù)數(shù)域上，上述命題不成立．例如，設(shè)，，，其中為自然數(shù)，有，但，．2.設(shè)，滿足,．證明.證明兩式相加得到.由可知.兩式相減得到.故，即.3．設(shè)，證明(1)若，，則；(2)若，是否有?解(1)因?yàn)椋?，故存在多?xiàng)式，使得．于是．由于，故有，即．(2)否．例如取，，，．雖然且，但不能整除．4．當(dāng)為何值時(shí)，和的最大公因式是一次的？并求出此時(shí)的最大公因式．解顯然．當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，，則．這時(shí)．5．證明：對于任意正整數(shù)，都有．證明由題意可知與不全為零．令，則，從而，所以對任意正整數(shù)，有，于是有，即．又由，，有，，因此是與的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式，從而有．6.設(shè)且，證明．證明設(shè)，則．由于，，故．又設(shè)，由上式及，可得，，從而，于是，即也是和的最大公因式，即．7．設(shè)，，且與不全為零，證明是與的一個(gè)最大公因式的充分必要條件是．證明必要性．若是與的一個(gè)最大公因式，則存在多項(xiàng)式使，于是．由與不全為零知，因此有，即．充分性．若，則存在多項(xiàng)式，使．兩邊同時(shí)乘有．由是與的一個(gè)公因式知，是與的一個(gè)最大公因式．8．設(shè)和是兩個(gè)多項(xiàng)式，證明當(dāng)且僅當(dāng)．證明必要性．設(shè)，若與不互素，則有不可約公因式，使，所以或．不妨設(shè)，由可知，因此是和的公因式，與互素矛盾，故與互素．充分性．設(shè)，則存在使，，上式說明．9.如果，那么，．證明的兩個(gè)根為和，所以，．因?yàn)?，所以，故有即解得，從而，?0.若，則的根只能是零或單位根．證明因?yàn)?，故存在多?xiàng)式，使．設(shè)為的任一根，即，則．也就是說，當(dāng)為的一根時(shí)，也為的一根．依此類推，可知也是的根．由于的根的個(gè)數(shù)有限，故必定存在正整數(shù)(不妨設(shè))，使得，．于是有即，或者，即為單位根．11.設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，且都是奇數(shù)，則沒有整數(shù)根．證明設(shè)，假設(shè)有整數(shù)根，則整除，即，其中商式也是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式．事實(shí)上，設(shè)，代入上式并比較兩端同次冪系數(shù)，得，因?yàn)槭且粋€(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，所以，也是整數(shù)，令分別代入展開式，得．由于都是奇數(shù)，則及都必須是奇數(shù)，這是不可能的，所以，不能有整數(shù)根．12．證明對于任意非負(fù)整數(shù)，都有．證明