第六節(jié)　余弦定理與正弦定理

1．余、正弦定理的內容及其變形在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC的外接圓半徑，則5．在△ABC中，已知A＝60°，c＝5，a＝7，則△ABC的面積為________．解析：利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍)，層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點正、余弦定理的簡單應用

[題點全訓][一“點”就過]利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷)．層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)利用正、余弦定理判斷三角形的形狀[典例]

(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．[方法技巧]1．判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁．2．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制．2．在△ABC中，三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，若tanA∶tanB＝a2∶b2，則△ABC的形狀為

(

)A．等腰三角形

B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形

D．不能確定[方法技巧]與三角形面積有關問題的解題策略(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量．

不能合理選用正、余弦定理進行邊角互化——————————————————————————————————又sinAcosC＝3cosAsinC，所以sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，從而sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.由正弦定理得b＝4ccosA．②由①②解得b＝4.[答案]

4邊角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途徑．一般地，若條件式含有角的余弦或角的正弦齊次式，則可用余弦定理或正弦定理化角為邊；若條件式含有邊的二次式或條件式等號兩邊為齊次式，則可利用余弦定理或正弦定理化邊為角．通過邊角互化，可使邊角關系具體化．

層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(解三角形漏解或多解)(1)已知在△ABC中，三個內角為A，B，C，sin2A＝sin2B，則△ABC是(

)A．等腰三角形

B．等邊三角形C．直角三角形

D．等腰或直角三角形3．(忽視構成三角形的條件)在銳角△ABC中，BC＝2，sinB＋sinC＝2sinA，則中線AD長的取值范圍是________．二、融會貫通應用創(chuàng)新題4.(體現(xiàn)數(shù)學應用)黃金分割比值是指將一條線段一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值．我們把滿足上述分割的點稱為該線段的黃金分割點，滿足黃金分割比值的分割稱為黃金分割．女生穿高跟鞋、空調溫度的設置、埃菲爾鐵塔的設計、很多國家國旗上的五角星都和黃金分割息息相關，也正是因為這個比值才讓人類的設計產生了一種自然和諧美．已知連接正五邊形的所有對角線能夠形成國旗上的五角星，如圖點D是線段AB的黃金分割點，由此推斷cos144°＝

(

)6．(創(chuàng)新命題情境)托勒密定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和，其意思為：圓的內接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．已知四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC，BD是其兩條對角線，BD＝4，且△ACD為