2025屆福建省上杭縣一中高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆福建省上杭縣一中高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R2.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[323.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或14.已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點,若曲線在點,處的切線重合,則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.15.某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢6.已知拋物線:,直線與分別相交于點,與的準(zhǔn)線相交于點,若,則()A.3 B. C. D.7.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.8.下列函數(shù)中既關(guān)于直線對稱,又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A.. B.C. D.9.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)10.平行四邊形中,已知,,點、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.的展開式中,項的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.63二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,,則__________.14.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)的和為________15.利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為定值,類比上述結(jié)論,利用等體積法進行推導(dǎo),在棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和也為定值,則這個定值是______16.已知雙曲線()的左右焦點分別為,為坐標(biāo)原點,點為雙曲線右支上一點,若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財富通”,京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財產(chǎn)品的選擇情況,隨機抽取1200名使用理財產(chǎn)品的市民,按照使用理財產(chǎn)品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財產(chǎn)品50合計1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機選取2人,假設(shè)這2人中每個人理財?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財?shù)睦⒖偤蜑?,求的分布列及?shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.18.(12分)我們稱n()元有序?qū)崝?shù)組(,,…,)為n維向量,為該向量的范數(shù).已知n維向量,其中,,2,…,n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為,這個向量的范數(shù)之和為.(1)求和的值;(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,求,(用n表示).19.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學(xué)生開展冰雪運動的培訓(xùn)活動,并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進行了考核.記表示學(xué)生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果,在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生的考核成績,并作成如下莖葉圖:(Ⅰ)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;(Ⅲ)記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù),規(guī)定當(dāng)時培訓(xùn)有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效,并說明理由.20.(12分)從拋物線C:()外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB(切點分別為A、B),分別與x軸相交于C、D,若AB與y軸相交于點Q,點在拋物線C上,且(F為拋物線的焦點).(1)求拋物線C的方程;(2)①求證:四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形?若能,求出點Q的坐標(biāo);若不能,請說明理由.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(其中為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))(1)以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線與直線交于兩點,點的坐標(biāo)為,求的值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為常數(shù),且).以直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點在圓外.(1)求的取值范圍.(2)設(shè)直線與圓相交于兩點,若,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:由題,,,選D考點:集合的運算2、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對實際問題:由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域為a,b,則函數(shù)fgx3、D【解析】

求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關(guān)系樹,從而得出,令函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,則;當(dāng)時,則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點,當(dāng)或時,,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設(shè)則,由可得則當(dāng)時,的最大值為.則在上單調(diào)遞減,則.故選:B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點是計算.5、D【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān),故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個,故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力.6、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖,過A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點,所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.7、A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運算法則等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的特點,利用排除法,即可得出答案.【詳解】A中,當(dāng)時,,所以不關(guān)于直線對稱,則錯誤;B中,,所以在區(qū)間上為減函數(shù),則錯誤;D中,,而,則,所以不關(guān)于直線對稱,則錯誤;故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.10、C【解析】

將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.11、A【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.12、B【解析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出,則出,該項為:;②出,則出,該項為:;③出,則出,該項為:;綜上所述:合并后的項的系數(shù)為17.故選:B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識,考查理解能力,計算能力,分類討論和應(yīng)用意識.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】

由題意得,,再代入中,計算即可得答案.【詳解】由題意可得,,∴,解得,∴.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.14、1【解析】

設(shè),令,的值即為所有項的系數(shù)之和?!驹斀狻吭O(shè),令,所有項的系數(shù)的和為?!军c睛】本題主要考查二項式展開式所有項的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地,對于,展開式各項系數(shù)之和為,注意與“二項式系數(shù)之和”區(qū)分。15、【解析】

計算正四面體的高,并計算該正四面體的體積,利用等體積法,可得結(jié)果.【詳解】作平面,為的重心如圖則,所以設(shè)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為則故答案為:【點睛】本題考查類比推理的應(yīng)用,還考查等體積法,考驗理解能力以及計算能力,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【詳解】法一:,,,,,,設(shè),則,令,所以時,,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個量的函數(shù),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)680元.【解析】

(1)根據(jù)題意,列方程,然后求解即可(2)根據(jù)題意,計算出10000元使用“余額寶”的利息為(元)和10000元使用“財富通”的利息為(元),得到所有可能的取值為560(元),700(元),840(元),然后根據(jù)所有可能的取值,計算出相應(yīng)的概率,并列出的分布列表,然后求解數(shù)學(xué)期望即可【詳解】(1)據(jù)題意,得,所以.(2)據(jù),得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人,使用“財富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為(元).10000元使用“財富通”的利息為(元).所有可能的取值為560(元),700(元),840(元).,,.的分布列為560700840所以(元).【點睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學(xué)期望問題,屬于基礎(chǔ)題18、(1),.(2),【解析】

(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對都寫出來,再做和;(2)用組合數(shù)表示和,再由公式或?qū)⒔M合數(shù)進行化簡,得出最終結(jié)果.【詳解】解:(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有:,,,,它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故,.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,在向量的n個坐標(biāo)中,要使得范數(shù)為奇數(shù),則0的個數(shù)一定是奇數(shù),所以可按照含0個數(shù)為:1,3,…,進行討論:的n個坐標(biāo)中含1個0,其余坐標(biāo)為1或,共有個,每個的范數(shù)為;的n個坐標(biāo)中含3個0,其余坐標(biāo)為1或,共有個,每個的范數(shù)為;的n個坐標(biāo)中含個0,其余坐標(biāo)為1或,共有個,每個的范數(shù)為1;所以,.因為,①,②得,,所以.解法1:因為,所以..解法2:得,.又因為,所以.【點睛】本題考查了數(shù)列和組合,是一道較難的綜合題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可;(Ⅱ)結(jié)合圖表得到6人中有2個人考核為優(yōu),從而求出滿足條件的概率即可;(Ⅲ)求出滿足的成績有16個,求出滿足條件的概率即可.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件,由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道,30名同學(xué)中,有7名同學(xué)考核優(yōu)秀,所以所求概率約為(Ⅱ)設(shè)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件,因為表中成績在的6人中有2個人考核為優(yōu),所以基本事件空間包含15個基本事件,事件包含9個基本事件,所以(Ⅲ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),滿足的成績有16個,所以所以可以認為此次冰雪培訓(xùn)活動有效.【點睛】本題考查了莖葉圖問題,考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想,是一道常規(guī)題.20、(1);(2)①證明見解析;②能,.【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義,求出,即可求拋物線C的方程;(2)①設(shè),,寫出切線的方程,解方程組求出點的坐標(biāo).設(shè)點,直線AB的方程,代入拋物線方程,利用韋達定理得到點的坐標(biāo),寫出點的坐標(biāo),,可得線段相互平分,即證四邊形是平行四邊形;②若四邊形為矩形,則,求出,即得點Q的坐標(biāo).【詳解】(1)因為,所以,即拋物線C的方程是.(2)①證明:由得,.設(shè),,則直線PA的方程為(?。?,則直線PB的方程為(ⅱ),由(?。?/p>

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