課時驗收評價(七十)“概率與統(tǒng)計”的綜合問題

PAGE第2頁共5頁課時驗收評價(七十)“概率與統(tǒng)計”的綜合問題1．(2021·蘇州三模)為落實(shí)十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，隨機(jī)抽取A型和B型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方圖：(1)將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過2500小時不超過2500小時合計A型B型合計根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法從不超過2500小時A型和B型設(shè)備中抽取8臺，再從這8臺設(shè)備中隨機(jī)抽取3臺，其中A型設(shè)備為X臺，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能完成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號設(shè)備(更換設(shè)備時間忽略不計)，A型和B型設(shè)備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)備每臺每小時耗電分別為2度和6度，電價為0.75元/度．只考慮設(shè)備的成本和電費(fèi)，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備，請說明理由．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70臺，則A型不超過2500小時的有30臺，同理，B型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50臺，則B型不超過2500小時的有50臺．列聯(lián)表如下：超過2500小時不超過2500小時合計A型7030100B型5050100合計12080200零假設(shè)為H0：使用壽命是否超過2500小時與型號無關(guān)，因為χ2＝eq\f(200×70×50－30×502,100×100×120×80)≈8.333>6.635＝x0.010，所以依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)．(2)由(1)和分層抽樣的定義可知A型設(shè)備有3臺，B型設(shè)備有5臺，所以X的取值可能為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，所以X的分布列為X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)所以E(X)＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(9,8).(3)由頻率分布直方圖中的頻率估計概率知：A型設(shè)備每臺更換的概率為0.3，所以10臺A型設(shè)備估計要更換3臺；B型設(shè)備每臺更換的概率為0.5，所以10臺B型設(shè)備估計要更換5臺，選擇A型設(shè)備的總費(fèi)用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10－4＝16.75(萬元)，選擇B型設(shè)備的總費(fèi)用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10－4＝20.25(萬元)，所以選擇A型設(shè)備．2．某籃球隊為提高隊員的訓(xùn)練積極性，進(jìn)行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成了一個小組．游戲規(guī)則：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲、乙兩名隊員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2.(1)若p1＝eq\f(3,4)，p2＝eq\f(2,3)，則在第一輪游戲他們獲“神投小組”的概率；(2)若p1＋p2＝eq\f(4,3)，則在游戲中，甲、乙兩名隊員想要獲得“神投小組”的稱號16次，則理論上他們小組要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時p1，p2的值．解：(1)由題可知，所有可能的情況有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．故所求概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,2)·eq\f(3,4)·eq\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(2,3)·eq\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(3,4)·eq\f(3,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(3,4)·eq\f(3,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(2,3)·eq\f(2,3)))＝eq\f(2,3).(2)他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率為P＝Ceq\o\al(1,2)p1(1－p1)Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,1)Ceq\o\al(1,2)p2(1－p2)＋Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,1)Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,2)＝2p1p2(p1＋p2)－3peq\o\al(2,1)peq\o\al(2,2)，因為p1＋p2＝eq\f(4,3)，所以P＝eq\f(8,3)p1p2－3peq\o\al(2,1)peq\o\al(2,2)，因為0≤p1≤1,0≤p2≤1，p1＋p2＝eq\f(4,3)，所以eq\f(1,3)≤p1≤1，eq\f(1,3)≤p2≤1，又p1p2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(p1＋p2,2)))2＝eq\f(4,9)，所以eq\f(1,9)<p1p2≤eq\f(4,9)，令t＝p1p2，以eq\f(1,9)<t≤eq\f(4,9)，則P＝h(t)＝－3t2＋eq\f(8,3)t，當(dāng)t＝eq\f(4,9)時，Pmax＝eq\f(16,27)，他們小組在n輪游戲中獲“神投小組”次數(shù)ξ滿足ξ～B(n，P)，由(nP)max＝16，則n＝27，所以理論上至少要進(jìn)行27輪游戲．此時p1＋p2＝eq\f(4,3)，p1p2＝eq\f(4,9)，p1＝p2＝eq\f(2,3).3．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①證明：由(1)，得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比為4，首項為p1的等比數(shù)列．②由①可得p8＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．4.第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行，屆時，北京將成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動會和冬季奧林匹克運(yùn)動會以及亞洲運(yùn)動會三項國際賽事的城市．在某次滑雪表演比賽中，抽取部分參賽隊員的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計，并按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100](已知分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為3)的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖．據(jù)此解答如下問題：(1)求樣本容量n及頻率分布直方圖中a的值．(2)滑雪場館內(nèi)的一銷售網(wǎng)點(diǎn)為了吸引游客，增加營業(yè)收入，開展“參加游戲贏獎券”促銷活動，購物滿200元可以參加1次游戲，游戲規(guī)則如下：有一張共7格的方格圖，依次編號為第1格、第2格、第3格、…、第7格，游戲開始時“跳子”在第1格，參與者需從一個口袋(裝有除顏色外完全相同的2個黑球和2個白球)中任取兩個球，若兩個球顏色不同，則“跳子”前進(jìn)1格(即從第1格到第2格)，若兩個球顏色相同，則“跳子”前進(jìn)2格(即從第1格到第3格)，當(dāng)“跳子”前進(jìn)到第6格或者第7格時，游戲結(jié)束．“跳子”落在第6格可以得到30元獎券，“跳子”落在第7格可以得到90元獎券．記“跳子”前進(jìn)到第n格(1≤n≤7)的概率為Pn.①證明：{Pn－Pn－1}(2≤n≤6)是等比數(shù)列；②求某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得的獎券金額的期望．解：(1)由題意知，分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為3人，其對應(yīng)的頻率為10×0.015＝0.15，所以樣本容量n＝eq\f(3,0.15)＝20，a＝eq\f(1－0.03＋0.035＋0.015×10,10)＝0.02.(2)①證明：從口袋中摸到的兩個球是同色球的概率為P＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,3)；摸到的兩個球是異色球的概率為1－P＝eq\f(2,3).“跳子”開始在第1格為必然事件，即P1＝1，“跳子”移到第2格，其概率為eq\f(2,3)，即P2＝eq\f(2,3).“跳子”前進(jìn)到第n(3≤n≤6)格的情況有如下兩種：“跳子”先到第n－2格，概率為eq\f(1,3)Pn－2；“跳子”先到第n－1格，概率為eq\f(2,3)Pn－1.所以3≤n≤6時，Pn＝eq\f(2,3)Pn－1＋eq\f(1,3)Pn－2，所以Pn－Pn－1＝－eq\f(1,3)(Pn－1－Pn－2)．因為P2－P1＝－eq\f(1,3)≠0，所以eq\f(Pn－Pn－1,Pn－1－Pn－2)＝－eq\f(1,3)(3≤n≤6)，所以當(dāng)2≤n≤6時，數(shù)列{Pn－Pn－1}是等比數(shù)列，首項為P2－P1＝－eq\f(1,3)，公比為－eq\f(1,3).②設(shè)某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得的獎券金額為X元，則X的所有可能取值為30,90，由①可知Pn－Pn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－1(2≤n≤6)，所以Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P2－P1)＋P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－1