課時驗收評價(四十二) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積

PAGE第4頁共5頁課時驗收評價(四十二)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積1．如果把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍解析：選B由題意知球的半徑擴(kuò)大到原來的eq\r(2)倍，由體積V＝eq\f(4,3)πR3知，體積擴(kuò)大到原來的2eq\r(2)倍．2．下列說法錯誤的是()A．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面B．圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點C．有一個面為多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐D．若棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐不可能是正六棱錐解析：選C易知A、B正確；根據(jù)棱錐的定義，其余各面的三角形必須有一個公共的頂點，故C錯誤；若六棱錐的底面邊長都相等，則底面為正六邊形，由過底面中心和頂點的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長一定大于底面邊長，故D正確．3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：選B由題意知圓錐的底面周長為2eq\r(2)π.設(shè)圓錐的母線長為l，則πl(wèi)＝2eq\r(2)π，即l＝2eq\r(2).故選B.4.如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形解析：選C如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．5.(2021·淄博二模)碳70(C70)是一種碳原子族，可高效殺滅癌細(xì)胞，它是由70個碳原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)(正五邊形面)和六元環(huán)(正六邊形面)組成的封閉的凸多面體，共37個面，則其六元環(huán)的個數(shù)為()A．12 B．25C．30 D．36解析：選B根據(jù)題意，頂點數(shù)就是碳原子數(shù)，即為70，每個碳原子被3條棱共用，面數(shù)為37，設(shè)有正五邊形x個，正六邊形y個，則x＋y＝37,5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，故正六邊形個數(shù)為25，即六元環(huán)的個數(shù)為25，故選B.6.(2020·全國卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：選C設(shè)正四棱錐的高為h，底面正方形的邊長為2a，斜高為m依題意得h2＝eq\f(1,2)×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝eq\f(1＋\r(5),2)a，所以eq\f(m,2a)＝eq\f(\f(1＋\r(5),2)a,2a)＝eq\f(1＋\r(5),4).故選C.7.某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒．現(xiàn)有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為eq\r(3)的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為()A．144 B．72C．36 D．24解析：選B如圖，由正六邊形的每個內(nèi)角為eq\f(2π,3)，按虛線處折成高為eq\r(3)的正六棱柱，即BF＝eq\r(3)，所以BE＝eq\f(BF,tan60°)＝1，可得正六棱柱底邊邊長AB＝6－2×1＝4，所以正六棱柱體積V＝6×eq\f(1,2)×4×4×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝72.8．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D.eq\f(6,7)解析：選C易知所截去的8個三棱錐的體積相同，因此剩下的凸多面體的體積為V＝13－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(5,6).9．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均相等，體積為2eq\r(3)，M為A1B的中點，則點M到平面A1B1C的距離為()A.eq\f(\r(21),7) B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(\r(7),7) D.eq\f(2\r(3),3)解析：選A直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均相等，設(shè)棱長為a，因為體積為2eq\r(3)，所以V＝S△ABC·AA1＝eq\f(\r(3),4)a2·a＝2eq\r(3)，解得a＝2，設(shè)點M到平面A1B1C的距離為d，因為A1B1＝2，CB1＝CA1＝2eq\r(2)，所以在△CA1B1中，A1B1邊上的高為eq\r(2\r(2)2－12)＝eq\r(7)，則Seq\a\vs4\al(△CA1B1)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＝eq\r(7)，取AB的中點H，連接CH，則CH⊥AB，因為AA1⊥面ABC，CH?面ABC，所以AA1⊥CH，因為AA1∩AB＝A，所以CH⊥面ABB1A1，在△ABC中，CH＝eq\r(3)，由Veq\a\vs4\al(M-A1B1C)＝Veq\a\vs4\al(C-A1B1M)，即eq\f(1,3)·d·Seq\a\vs4\al(△CA1B1)＝eq\f(1,3)·CH·Seq\a\vs4\al(△A1B1M)，即eq\f(1,3)·d·eq\r(7)＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×1，解得d＝eq\f(\r(21),7)，故點M到平面A1B1C的距離為eq\f(\r(21),7).10．(2022·江南十校一模)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N分別為DD1，AB，BC的中點，則四面體A.eq\f(5,12) B.eq\f(5,6)C.eq\f(5\r(2),12) D.eq\f(5\r(2),6)解析：選B如圖所示，連接BD交MN于點Q，連接PQ，連接OD1，由正方體的特點可知，MN⊥BD，MN⊥DD1，則根據(jù)線面垂直的判定定理可知MN⊥平面BDD1O，則VO-PMN＝VM-OPQ＋VN-OPQ＝eq\f(1,3)S△OPQ·MN，又S△OPQ＝Seq\a\vs4\al(梯形D1OQD)－Seq\a\vs4\al(△OD1P)－S△QDP＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(3\r(2),2)))×2－eq\f(1,2)×1×eq\r(2)－eq\f(1,2)×1×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(5\r(2),4)，故VO-PMN＝eq\f(1,3)×eq\f(5\r(2),4)×eq\r(2)＝eq\f(5,6).11．已知圓柱的底面直徑為2，其側(cè)面展開圖為一個正方形，則下列說法錯誤的是()A．圓柱的母線長為2π B．圓柱的側(cè)面積為4π2C．圓柱的體積為2π2 D．圓柱的表面積為6π2解析：選D設(shè)底面半徑為r，母線長為l，因為圓柱的底面直徑為2，所以r＝1，又其側(cè)面展開圖為一個正方形，所以母線長為l＝2πr＝2π，圓柱的側(cè)面積為S＝2πrl＝4π2，圓柱的體積為V＝πr2l＝2π2，圓柱的表面積為S′＝2πrl＋2πr12.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說法不正確的是()A．該圓臺軸截面ABCD面積為3eq\r(3)cm2B．該圓臺的體積為eq\f(7\r(3)π,3)cm3C．該圓臺的母線AD與下底面所成的角為30°D．沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm解析：選C由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4cm，高O1O2＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2,2)))2)＝eq\r(3)cm，則圓臺軸截面ABCD面積為eq\f(1,2)(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)cm2，故A正確；圓臺的體積為V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)πcm3，故B正確；圓臺的母線AD與下底面所成的角為∠ADO1，其正弦值為eq\f(\r(3),2)，所以∠ADO1＝60°，故C錯誤；由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm，底面半徑為2cm，側(cè)面展開圖的圓心角為θ＝eq\f(2π·2,4)＝π，設(shè)AD的中點為P，連接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4cm，OP＝2＋1＝3cm，則CP＝eq\r(42＋32)＝5cm，所以沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm，故D正確．13．(2022·淄博一模)已知某圓錐底面圓的半徑r＝1，側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為________．解析：圓錐底面圓的半徑r＝1，則圓錐的底面圓周長為2πr＝2π，在圓錐的展開圖中，底面圓的周長為展開扇形的弧長，由展開圖為半圓可得，設(shè)展開后半圓的半徑為R，則eq\f(1,2)×2πR＝2π，解得R＝2，又由圓錐的結(jié)構(gòu)可知，圓錐的母線長為l＝R＝2，所以圓錐的高為h＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)，則圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).答案：eq\f(\r(3)π,3)14.如圖，已知圓柱底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線．若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行路線的最短長度是________．解析：展開圓柱的側(cè)面如圖所示，由圖可知小蟲爬行路線的最短長度是AC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×\f(2,π)))2＋22)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)15．四面體的棱長為1或2，但該四面體不是正四面體，請寫出一個這樣的四面體的體積是________；這樣的不同四面體的個數(shù)為________．解析：顯然可以構(gòu)成一個底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱長均為2的正三棱錐，該三棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(11),\r(3))，則體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(11),\r(3))＝eq\f(\r(11),12).邊長1或2可以構(gòu)成的三角形有：邊長為1的正三角形，邊長為2的正三角形，邊長為1,2,2的三角形．除了已求體積的正三棱錐外，還可以是四個邊長為1,2,2的三角形拼成的三棱錐；兩個邊長為2的正三角形和兩個邊長為1,2,2的三角形拼成的三棱錐．所以共3個．答案：eq\f(\r(11),12)316．已知正六棱錐的側(cè)面積為36，則此六棱錐的體積最大值為________．解析：設(shè)此六棱錐頂點為S，其中一個側(cè)面的三角形為△SAB，S在底面的投影為O，作SP⊥AB于P，連接OA，OB，OP，設(shè)AP＝a，∠SPO＝θ.由正六棱錐的性質(zhì)可得AP＝BP＝a，OP＝eq\r(3)a，SP＝eq\f(OP,cosθ)＝eq\f(\r(3)a,cosθ)，又S△SAB＝eq\f(36,6)＝6，故eq\f(1,2)×2a×eq\f(\r(3)a,cosθ)＝6，即eq\f(a2,cosθ)＝2eq\r(3)，所以cosθ＝eq\f(a2,2\r(3))，又正六棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2a×eq\r(3)a×OPtanθ＝6a3tanθ＝eq\