人教A版高中數(shù)學(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題7.9 正態(tài)分布（重難點題型精講）（原卷版）

專題7.9正態(tài)分布（重難點題型精講）1．連續(xù)型隨機變量隨機變量的取值充滿某個區(qū)間甚至整個數(shù)軸，但取一點的概率為0，稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.2．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線

函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，x∈R.其中SKIPIF1<0∈R，SKIPIF1<0>0為參數(shù).我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)分布

若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為XSKIPIF1<0N(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0).特別地，當SKIPIF1<0=0，SKIPIF1<0=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.

(3)正態(tài)分布的均值和方差

若XSKIPIF1<0N(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，則E(X)=SKIPIF1<0，D(X)=SKIPIF1<0.3．正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關于直線x=SKIPIF1<0對稱；

(3)曲線在x=SKIPIF1<0處達到峰值SKIPIF1<0；

(4)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸；

(5)對任意的SKIPIF1<0>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；

(6)在參數(shù)SKIPIF1<0取固定值時，正態(tài)曲線的位置由SKIPIF1<0確定，且隨著SKIPIF1<0的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

(7)當SKIPIF1<0取定值時，正態(tài)曲線的形狀由SKIPIF1<0確定，當SKIPIF1<0較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當SKIPIF1<0較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖乙所示.4．3SKIPIF1<0原則(1)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

P(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0SKIPIF1<0XSKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)SKIPIF1<00.6827；

P(SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0SKIPIF1<0XSKIPIF1<0SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0)SKIPIF1<00.9545；

P(SKIPIF1<0-3SKIPIF1<0SKIPIF1<0XSKIPIF1<0SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0)SKIPIF1<00.9973.

(2)3SKIPIF1<0原則

在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布N(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)的隨機變量X只取[SKIPIF1<0-3SKIPIF1<0，SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0]中的值，這在統(tǒng)計學中稱為3SKIPIF1<0原則.【題型1正態(tài)曲線的特點】【方法點撥】根據(jù)正態(tài)曲線及其性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)曲線的特點，進行求解即可.【例1】（2023·高三課時練習）設X~N(μ1,σ1A．P(Y≥B．P(X≤C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【變式1-1】（2022秋·上海黃浦·高三期中）李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，X~Nμ1,62,Y~A．D(X)=6 B．μC．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【變式1-2】（2022春·廣東清遠·高二期末）已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μC．μ1=μ3>μ【變式1-3】（2022春·江蘇常州·高二期中）如圖是三個正態(tài)分布X~N(0,0.64)，Y~N(0,1)，Z~N(0,4)的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應曲線的序號分別依次為（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【題型2利用正態(tài)曲線的對稱性求概率】【方法點撥】利用正態(tài)曲線的對稱性求概率是正態(tài)分布的基本題型.解題的關鍵是利用對稱軸x=SKIPIF1<0確定所求概率對應的隨機變量的區(qū)間與已知概率對應的隨機變量的區(qū)間的關系，必要時，可借助圖形判斷.【例2】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量ξ～N2,σ2，若P(2?ξ<3)=0.3，則P(ξ<1)=A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2【變式2-1】（2022春·湖南張家界·高二期末）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)σ>0，且P(X<0)=0.1，則P(2<X<4)=A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【變式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知隨機變量服從正態(tài)分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1?2a)+P(X≤1+a)=1，則a=A．0 B．2 C．?1 D．?2【變式2-3】（2022春·吉林長春·高二期末）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N6,σ，若PX<4+5PX>8=1A．16 B．14 C．1【題型3利用正態(tài)分布的3SKIPIF1<0原則求概率】【方法點撥】利用正態(tài)分布的3SKIPIF1<0原則求概率一定要靈活把握3SKIPIF1<0原則，將所求概率向P(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0SKIPIF1<0XSKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)，P(SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0SKIPIF1<0XSKIPIF1<0SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0)，P(SKIPIF1<0-3SKIPIF1<0SKIPIF1<0XSKIPIF1<0SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0)進行轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應的概率.同時要充分利用好正態(tài)曲線的對稱性和正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1.【例3】（2022春·河北衡水·高二階段練習）若X～N7,2.25，則PX≤10=（參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.682,Pμ?2σ≤X≤μ+2σA．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X~N4，22，則附：若Y~Nμ，σ2，則PA．0.0215 B．0.1359 C．0.8186 D．0.9760【變式3-2】（2022春·河南洛陽·高二階段練習）某工廠生產(chǎn)的零件的尺寸（單位:cm）服從正態(tài)分布N10,0.12.任選一個零件，尺寸在10附:若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545【變式3-3】（2022春·河南·高二階段練習）已知某批零件的尺寸X（單位：mm）服從正態(tài)分布N10,4，其中X∈8,14的產(chǎn)品為“合格品”，若從這批零件中隨機抽取一件，則抽到合格品的概率約為（（附：若X～Nμ,σ2，則Pμ?σ?X?μ+σ≈0.6827A．0.3414 B．0.4773 C．0.512 D．0.8186【題型4正態(tài)分布的實際應用】【方法點撥】利用服從正態(tài)分布N(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)的隨機變量X在三個特殊區(qū)間上取值的概率，可以解決兩類實際問題：一類是估計在某一范圍內(nèi)的數(shù)量，具體方法是先確定隨機變量在該范圍內(nèi)取值的概率，再乘樣本容量即可.另一類是利用3SKIPIF1<0原則作決策.【例4】（2022·高二課時練習）某金屬元件的抗拉強度服從正態(tài)分布，均值為10000kg/cm2，標準差是(1)求抗拉強度超過10150kg(2)如果要求所有元件的規(guī)格是9800～10200kg【變式4-1】（2022秋·福建莆田·高三階段練習）某校高三年級有1000人，某次考試不同成績段的人數(shù)ξ~(1)求全班平均成績；(2)計算得分超過141的人數(shù)；（精確到整數(shù)）(3)甲同學每次考試進入年級前100名的概率是14，若本學期有4次考試，X表示進入前100名的次數(shù)，寫出X參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ<ξ≤μ+σ=0.6826,【變式4-2】（2022春·河北保定·高二階段練習）某食品廠生產(chǎn)一種零食，該種零食每袋的質(zhì)量X（單位：g）服從正態(tài)分布N65,4.84(1)當質(zhì)檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質(zhì)量為73g，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設備，請你根據(jù)所學知識，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據(jù).(2)規(guī)定：這種零食的質(zhì)量在62.8g~69.4g的為合格品.①求這種零食的合格率；（結(jié)果精確到0.001）②從該種零食中任意挑選n袋，合格品的袋數(shù)為Y，若Y的數(shù)學期望大于58，求n的最小值.參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.6827【變式4-3】（2022·福建福州·高二期末）近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價格普遍上漲，生豬供不應求.各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn).目前各項針對性政策措施對于生豬整體產(chǎn)量恢復、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn).現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬，將其中重量（kg）在1,139內(nèi)的豬分為三個成長階段如下表.豬生長的三個階段階段幼年期成長期成年期重量（Kg）[1,24)[24,116)[116,139]根據(jù)以往經(jīng)驗，兩個養(yǎng)豬場豬的體重X均近似服從正態(tài)分布X~N70,232.由于我國有關部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期豬的監(jiān)控力度，高度重視成年期豬的質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年活豬，甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成