人教A版高中數學(必修第二冊)同步培優(yōu)講義專題10.1 隨機事件與概率（重難點題型精講）（原卷版）

專題10.1隨機事件與概率（重難點題型精講）1．有限樣本空間(1)隨機試驗

我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：

①試驗可以在相同條件下重復進行；

②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.

(2)有限樣本空間

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.

一般地，我們用SKIPIF1<0表示樣本空間，用SKIPIF1<0表示樣本點.如果一個隨機試驗有n個可能結果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則稱樣本空間SKIPIF1<0={SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}為有限樣本空間.2．事件(1)隨機事件

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間SKIPIF1<0的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，SKIPIF1<0表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發(fā)生.

(2)必然事件

A作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以SKIPIF1<0總會發(fā)生，我們稱SKIPIF1<0為必然事件.

(3)不可能事件

空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件.3．事件的關系和運算(1)兩個事件的關系和運算事件的關系或運算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生SKIPIF1<0并事件（和事件）A與B至少一個發(fā)生SKIPIF1<0或SKIPIF1<0交事件（積事件）A與B同時發(fā)生SKIPIF1<0或SKIPIF1<0互斥（互不相容）A與B不能同時發(fā)生SKIPIF1<0互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)多個事件的和事件、積事件

類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A，B，C，SKIPIF1<0，A∪B∪C∪SKIPIF1<0(或A+B+C+SKIPIF1<0)發(fā)生當且僅當A，B，C，SKIPIF1<0中至少一個發(fā)生，A∩B∩C∩SKIPIF1<0(或ABCSKIPIF1<0)發(fā)生當且僅當A，B，C，SKIPIF1<0同時發(fā)生.4．樣本空間中樣本點的求法(1)列舉法

列舉法也稱枚舉法.對于一些情境比較簡單，樣本點個數不是很多的概率問題，計算時只需一一列舉，即可得出隨機事件所包含的樣本點.注意列舉時必須按一定順序，做到不重不漏.

(2)列表法

對于樣本點個數不是太多的情況，可以采用列表法.通常把對問題的思考分析歸結為“有序實數對”，以便更直接地得到樣本點個數.列表法的優(yōu)點是準確、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標系法.(3)樹狀圖法

樹狀圖法適用于按順序排列的較復雜問題中樣本點個數的求解，是一種常用的方法.5．用集合觀點看事件間的關系符號概率角度集合角度SKIPIF1<0必然事件全集SKIPIF1<0不可能事件空集SKIPIF1<0試驗的可能結果SKIPIF1<0中的元素SKIPIF1<0事件SKIPIF1<0的子集SKIPIF1<0SKIPIF1<0的對立事件SKIPIF1<0的補集SKIPIF1<0事件A包含于事件B集合A是集合B的子集SKIPIF1<0事件A等于事件B集合A等于集合BSKIPIF1<0或SKIPIF1<0事件A與事件B的并（和）事件集合A與B的并集SKIPIF1<0或SKIPIF1<0事件A與事件B的交（積）事件集合A與B的交集SKIPIF1<0事件A與事件B互斥集合A與B的交集為空集SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0事件A與事件B對立集合A與B互為補集6．古典概型(1)事件的概率

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

(2)古典概型的定義

我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

(3)古典概型的判斷標準

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所有的試驗都是古典概型.

下列三類試驗都不是古典概型：

①樣本點(基本事件)個數有限，但非等可能;

②樣本點(基本事件)個數無限，但等可能；

③樣本點(基本事件)個數無限，也不等可能.7．古典概型的概率計算公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間A包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，其中，n(A)和n(SKIPIF1<0)分別表示事件A和樣本空間SKIPIF1<0包含的樣本點個數.8．概率的基本性質性質1對任意的事件A，都有P（A）≥0.性質2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（SKIPIF1<0）=1，P(SKIPIF1<0)=0.性質3如果事件A與事件B互斥，那么P（SKIPIF1<0）=P（A）＋P（B）.推廣：如果事件A1，A2，…，Am．兩兩互斥，那么事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P（SKIPIF1<0）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性質4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）=1SKIPIF1<0P（A），P(A)=1SKIPIF1<0P(B).性質5如果SKIPIF1<0，那么P（A）≤P（B）.性質6設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P（SKIPIF1<0）=P（A）＋P（B）SKIPIF1<0P（SKIPIF1<0）.【題型1事件的分類】【方法點撥】根據隨機事件、必然事件與不可能事件的定義，進行求解即可.【例1】（2022·全國·高三專題練習）以下事件是隨機事件的是（

）A．標準大氣壓下，水加熱到100°C，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為【變式1-1】（2023·高一課時練習）下列四個事件：①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）下列事件中，是隨機事件的是（

）①經過有交通信號燈的路口，剛好是紅燈；②投擲2顆質地均勻的骰子，點數之和為14；③拋擲一枚質地均勻的硬幣，字朝上；④13個人中至少有2個人的生日在同一個月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【變式1-3】（2023·廣東·高三學業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張藍色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件【題型2事件與樣本空間】【方法點撥】求試驗的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗，列舉出各個樣本點.對于樣本點個數的計算，要保證列舉出的試驗結果不重不漏.寫樣本空間時應注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽?。欢窃囼灲Y果是否與順序有關.【例2】（2022·高一課前預習）一個家庭有兩個小孩，則樣本空間為（

）A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【變式2-1】（2022秋·廣東佛山·高二階段練習）體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同，分別標有號碼0，1，2，…，9的球放入搖獎器中，經過充分攪拌后搖出一個球．記“搖到的球的號碼小于6”為事件A，則事件A包含的樣本點的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2-2】（2022·高一課時練習）先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為（

）A．正面，反面B．｛正面，反面｝C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝【變式2-3】（2022·高二課時練習）在試驗：連續(xù)射擊一個目標10次，觀察命中的次數中，事件A=“至少命中6次”，則下列說法正確的是A．樣本空間中共有10個樣本點B．事件A中有6個樣本點C．樣本點6在事件A內D．事件A中包含樣本點11【題型3事件的關系及運算】【方法點撥】根據事件之間的關系，結合具體問題，進行轉化求解.進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析.也可類比集合的關系和運算用Venn圖分析事件.【例3】（2022秋·上海徐匯·高二期末）設M，N為兩個隨機事件，如果M，N為互斥事件，那么（

）A．M∪N是必然事件 B．C．M與N一定為互斥事件 D．M與N一定不為互斥事件【變式3-1】（2022·全國·高一專題練習）拋擲一枚骰子，“向上的面的點數是1或2”為事件A，“向上的面的點數是2或3”為事件B，則（

）A．A?B B．A=BC．A∪B表示向上的面的點數是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的點數是1或2或3【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是（

）A．恰有1名女生與恰有2名女生 B．至多有1名女生與全是男生C．至多有1名男生與全是男生 D．至少有1名女生與至多有1名男生【變式3-3】（2022·高一單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設A={2名全是男生}，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（

）A．A?D B．B∩D=? C．A∪C=D D．A∪B=B∪D【題型4古典概型的判斷及其概率的求解】【方法點撥】第一步，閱讀題目，判斷試驗是否是古典概型；第二步，計算樣本空間中的樣本點個數n；第三步，計算所求事件A包含的樣本點個數k；第四步，計算所求事件A的概率，SKIPIF1<0.【例4】（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）為培養(yǎng)學生“愛讀書?讀好書?普讀書”的良好習慣，某校創(chuàng)建了人文社科類?文學類?自然科學類三個讀書社團．甲?乙兩位同學各自參加其中一個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，則這兩位同學恰好參加同一個社團的概率為（

）A．13 B．12 C．2【變式4-1】（2023·吉林通化·模擬預測）隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們“向上的點數之和不超過5”的概率記為p1”，“向上的點數之和為奇數”的概率記為p2，“向上的點數之積為偶數”的概率記為p3A．p1<p2<p【變式4-2】（2023·內蒙古·模擬預測）如圖，這是第24屆國際數學家大會會標的大致圖案，它是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的.現用紅色和藍色給這4個三角形區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A．18 B．14 C．1【變式4-3】（2023·山西·校聯考模擬預測）現有6個大小相同?質地均勻的小球，球上標有數字1，3，3，4，5，6.從這6個小球中隨機取出兩個球，如果已經知道取出的球中有數字3.則所取出的兩個小球上數字都是3的概率為（

）A．15 B．16 C．1【題型5概率的基本性質的應用】【方法點撥】根據具體問題，準確表示事件，分析事件之間的關系，結合概率的基本性質，計算概率.【例5】（2023春·安徽·高一開學考試）若事件A,B為兩個互斥事件，且PA>0,PB①P②P③P④PA．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，則P(A+B)=（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【變式5-2】（2022·高一課時練習）若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且PA=2?a，PB=4a?5，則實數A．54,2 B．54,【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習）袋子中有5個質地完全相同的球，其中2個白球，3個是紅球，從中不放回地依次隨機摸出兩個球，記A=第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（

）A．P(A)+P(B)=P(A∩B) B．P(A)?P(B)=P(A∪B)C．P(A)=P(B) D．P(A∪B)+P(A∩B)<1【題型6古典概型與其他知識的綜合】【方法點撥】對于古典概型與其他知識的綜合問題，解題的關鍵是求出所求事件包含的樣本點的個數.找出滿足條件的情況，從而確定樣本點的個數，再利用古典概型的概率計算公式求解即可.【例6】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習）今年5月底，中央開始鼓勵“地攤經濟”，地攤在全國遍地開花．某地政府組織調研本地地攤經濟，隨機選取100名地攤攤主了解他們每月的收入情況，并按收入（單位：千元）將攤主分成六個組5,10，10,15，15,20，20,25，25,30，30,35，得到下面收入頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計每月每名地攤攤主收入的眾數和中位數（單位：千元）；(2)已知從收入在10,20的地攤攤主中用分層抽樣抽取5人，現從這5人中隨機抽取2人，求抽取的2人