2023屆湖北省武漢市重點(diǎn)中學(xué)新高考數(shù)學(xué)模擬卷及參考答案

2023屆武漢市重點(diǎn)中學(xué)新高考模擬卷

一、單選題

1.已知z=l-2K且z+龍+方=0,其中〃，人為實(shí)數(shù)，則()

A.。=1,。=—2B.a=—\,b=2C.a=\,b=2D.ci=-1,Z?=—2

2.已知集合5=,卜=2〃+1,〃￡2},T={巾=4〃+l,〃￡Z},則S?T()

A.0B.SC.TD.Z

3.已知向量〃/滿(mǎn)足|a|=1,曲|=J5,|a-20|=3,則￡$=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝的前4項(xiàng)和為15,且%=3a,+4q,則%=

A.16B.8C.4D.2

5.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，

每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

6.若sin(a+/7)+cos(a+4)=2應(yīng)cos(a+?)sin/，則()

A.tan(6f-y?)=lB.tan(a+/?)=1

C.tan(6Z-^)=-lD.tan(a+/?)=-1

22

7.橢圓C:二+二=l(a>6>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若直

ab~

線(xiàn)AP,A。的斜率之積為!，則C的離心率為()

4

A.正B.—C.；D.-

2223

1

8.設(shè)函數(shù)/(x)=e"(2x—l)-以+a,其中若存在唯一的整數(shù)%,使得〃%)<0,則

〃的取值范圍是()

二、多選題(

9.有一組樣本數(shù)據(jù)巧，…，x“,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)％,)，2...其，其中

%=x,.+<?(，=1,2,…,〃),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

TT7T7T57r

A.sin(x+—)B.sin(--2x)C.cos(2x:+—)D.cos(----2x)

3366

11.已知點(diǎn)尸在圓(x-5『+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4,0)、8(0,2),則()

A.點(diǎn)尸到直線(xiàn)A8的距離小于10B.點(diǎn)P到直線(xiàn)A8的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí)，|P8|=3&D.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|尸8|=3旅

12.在正三棱柱4BC-4冉6中，=M=1,點(diǎn)p滿(mǎn)足=+〃3旦，其中2?0』],

0,1],則()

A.當(dāng)4=1時(shí)，△A87的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積為定值

2

C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得AP，8P

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得ABJ?平面ABf

三、填空題

13.(』+36的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

X

14.己知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(幻=-6"*.若/(山2)=8,貝.

15.設(shè)外鳥(niǎo)為橢圓C:(+親1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若五石為

等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格

為20dmxl2dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得至ljlOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖

形，它們的面積之和S[=24()dm)對(duì)折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,2(kimx3dm

三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=18()dm2,以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)

格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折"次，那么￡“=dm2.

4=1

六、解答題

17...ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求4；

(2)若正a+b=2c，求sinC.

18.己知公比大于1的等比數(shù)列比”)滿(mǎn)足出+4=20,%=8.

(1)求他“｝的通項(xiàng)公式；

3

1

(2)求a?！猘2a}+...+(—})"d?an+l.

19.如圖，四棱錐尸-ABC。的底面為正方形，底面ABCZ).設(shè)平面布。與平面PBC的

交線(xiàn)為/.

(1)證明：/_!_平面PDC；

(2)已知尸力=4。=1,。為/上的點(diǎn)，。8=夜，求PB與平面QCO所成角的正弦值.

20.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),

如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)

檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為

P(Q<P<I),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為“P),求f(P)的最大值點(diǎn)P()；

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的4作為夕的值.已

知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付

25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

4

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢

驗(yàn)？

X21

21.已知曲線(xiàn)C：產(chǎn)會(huì),。為直線(xiàn)產(chǎn)-萬(wàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,

B.

(1)證明：直線(xiàn)A8過(guò)定點(diǎn)：

(2)若以E(0,g)為圓心的圓與直線(xiàn)AB相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，求四邊形AO8E

的面積.

22.已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*-or，+/>.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)

.2

?—<a<—,b>2a\

22

Q<a<—,h<2a

②2

5

答案解析

一、單選題

1.已知z=l-2K且z+龍+方=0,其中〃，人為實(shí)數(shù)，則()

A.。=1,。=—2B.a=—\,b=2C.a=\,b=2D.ci=-1,Z?=—2

【答案】A

【分析】先算出三,再代入計(jì)算，實(shí)部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z=l-2i

z+dz+〃=l-2i+a(l+2i)+〃=(l+a+Z?)+(2Q-2)i

由z+應(yīng)+〃=0,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，

[\+a-\-b-Q[a-\

得。0n，即70

[2iz—2=0[b——2

故選:A

2.已知集合5=[卜=2“+1,〃€2},T={巾=4"+l,〃eZ},則S?T()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】分析可得T=S,由此可得出結(jié)論.

【詳解】任取reT,則r=4〃+l=2?(2〃)+l,其中〃eZ,所以，feS,故T=S,

因此，S|T=T.

故選：C.

3.已知向量。,b滿(mǎn)足|“|=1,屹|(zhì)=百,|。-2。|=3,則"=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：V|a-2/7|2=k/|2-4a-b+4\b[,

又防|=J5,|a—2在|=3,

?*?9=1-4^/?+4x3=13-4^/;，

??a'b=\

6

故選：c.

4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和為15,且％=34+4囚，則出=

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】利用方程思想列出關(guān)于4,4的方程組，求出4,4,再利用通項(xiàng)公式即可求得出的

值.

【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛“〃｝的公比為4,則卜"，="，，

a｝q=3atq+4q

解得??生=。4=4,故選C.

【點(diǎn)睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.

5.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，

每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組

合，排列，乘法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先

從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有C；種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元

素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4!

種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后

利用先選后排思想求解.

6.若sin(a+6)+cos(a+/7)=20cos(a+￡卜,則()

A.tan(a-^)=lB.tan(<z+p)=l

7

C.tan(a—4)=一1D.tan(?+/?)=-l

【答案】C

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】［方法一］：直接法

由己知得：sinacos/?+cosasmp+cosacos/?-sinasin〃=2(cosa-sina)sin〃，

即：sinacos￡-coscsin￡+cosccos〃+sin<zsin/?=0,

即：sin((z-〃)+cos(<z-/7)=0

所以tan(a_0=-l

故選：C

［方法二］：特殊值排除法

解法一:設(shè)0=0則sina+cosa=0,取a=g,排除A,B；

IT

再取a=0則sinp+cos0=2sin。，取0=］,排除D；選C.

［方法三］:三角恒等變換

sin(a+夕)+cos(a+/)=&sin(a+夕+工)=72sin［(a+—)+>5］

44

=V5sin(a+工)cos夕+&cos(a+—)sinp=2\/2cos(cr+—)sin/J

444

sin(a+—)cos/?-cos(a+—)sin8=0即sin(a+￡)=0

444

sin((2-/?+-^)=sin(a-y0)cos^+cos(6Z-yS)sin-^=^-sin(a-/7)+^-cos(a-y5)=O

.,.sin(a-/?)=-cos(a-4)即tan(a-p)=-l,

故選：C.

7.橢圓C:*+親?=l(a>8>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若直

線(xiàn)的斜率之積為5，則C的離心率為()

A.在B.—C.yD.-

2223

【答案】A

8

v21

【分析】設(shè)則Q(F，yJ,根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得:，=：,再根據(jù)

一不+Q4

￥+4=1,將/用巧表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

crb'

【詳解】［方法一］:設(shè)而不求

設(shè)尸(不乂)，則。(-X|,y)

［21

則由心.?怎。=彳得：陽(yáng)「?怎°=—==

4%+。一玉+a-%,+。4

b2^a2-x,2)

由》+點(diǎn)=1,得城

a~

所以橢圓C的離心率e=￡=Ji?=@,故選A.

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點(diǎn)為B,連接PB,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：kpB"%

故kAP?怎0=kPA'-kAQ=I，

/72

由橢圓第三定義得：k-k=--

PAAQa'

,h21

+故一7=一

a24

所以橢圓C的離心率e=￡=、DJ=且，故選A.

a\a~2

8.設(shè)函數(shù)f(x)=e'(2x—l)—or+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)%,使得〃/)<0,

則”的取值范圍是()

AJO)B」.長(zhǎng))D.艮1)

\_2eJL2e4；L2e4J|_2eJ

【答案】D

【分析】設(shè)g(x)=/(2x-l),y=a(x-l),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)％使得滿(mǎn)足

g伍)<a(x-l),求導(dǎo)可得出函數(shù)丫=8(6的極值，數(shù)形結(jié)合可得-”>g(O)=—l且

9

3

-1=-->-2?,由此可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

e

【詳解】設(shè)&(力=0*(2》-1),y=a(x-l),

由題意知，函數(shù)y=g(x)在直線(xiàn)^=必一。下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),

g'(x)=e'(2x+l),當(dāng)時(shí)，g,(x)<0；當(dāng)時(shí)，g'(x)>0.

所以，函數(shù)y=g(x)的最小值為《-￡|=-2〉.

又g(O)=T，g(l)=e>0.

直線(xiàn)y=ar-a恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)且斜率為a,

33

^-a>g(0)=-lJi,解得故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.

二、多選題(共。分

9.有一組樣本數(shù)據(jù)為，巧，…，x?,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)口,%，…，%，其中

%=x,+c(i=l,2,…,〃),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性關(guān)系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判斷正誤;

10

根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線(xiàn)性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c*(),故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；

B：若第一組中位數(shù)為王，則第二組的中位數(shù)為￥=占+。，顯然不相同，錯(cuò)誤:

C：D(.y)=D(x)+D(c)=￡>(%),故方差相同，正確；

D:由極差的定義知：若第一組的極差為%a*-則第二組的極差為

(玉麗+C)一(/而+C)=Xg*-/“，故極差相同，正確;

故選：CD

10.已知點(diǎn)P在圓子一5)2+(尸5)2=16上，點(diǎn)4(4,0)、3(0,2),則()

A.點(diǎn)尸到直線(xiàn)AB的距離小于10

B.點(diǎn)尸到直線(xiàn)AB的距離大于2

C.當(dāng)NP8A最小時(shí)，儼卻=30

D.當(dāng)NPB4最大時(shí)，|/>川=30

【答案】ACD

【分析】計(jì)算出圓心到直線(xiàn)AB的距離，可得出點(diǎn)P到直線(xiàn)A8的距離的取值范圍，可判斷

AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)NP8A最大或最小時(shí)，PB與圓M相切，利用勾股定理可判

斷CD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】圓(工一5)2+(尸5)2=16的圓心為“(5,5),半徑為4,

直線(xiàn)A3的方程為鴻=1,即x+2打4=0,

[52x5-4|111175^

圓心M到直線(xiàn)AB的距離為+=

爐工1亞5

所以‘點(diǎn)尸到直線(xiàn)A8的距離的最小值為竽-4<2’最大值為竽+4。。，A選項(xiàng)正確,

B選項(xiàng)錯(cuò)誤:

如下圖所示:

11

Pi

"oj~X

當(dāng)NPBA最大或最小時(shí)，依與圓M相切，連接MP、BM,可知RM_LP3,

\BM\=,J(0-5)2+(2-5)2=>/34,\MP\=4,由勾股定理可得|BP|=-|MP「=30,

CD選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線(xiàn)/與半徑為r的圓C相離，圓心C到直線(xiàn)/的距離為"，則圓C上

一點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離的取值范圍是［d-r,d+r］.

11.下圖是函數(shù)尸sin(tox+9)的部分圖像,則sin(①x+o)=()

卡，/

Tl兀

A.sin(x+—)B.sin(--2x)C.cos(2x+—)D.cos(--2x)

66

【答案】BC

【分析】首先利用周期確定。的值,然后確定3的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)

公式可得正確結(jié)果.

T2

【詳解】由函數(shù)圖像可知：彳4=9則網(wǎng)=§=生=2,所以不選A,

62T71

不妨令69=2,

2冗

當(dāng)］"十7_56時(shí),y=—l/.2x葛+夕=甘+24乃(％eZ),

X——

212

2,、

解得：(P=2攵乃+q)(攵eZ),

即函數(shù)的解析式為：

12

y=sin2x+一"+2歸乃=sin2x+—+—=cos2x+—=sin——2xI

I3JI6I(3J

而cosI2x+—l=-cos(--2x)

故選：BC.

【點(diǎn)睛】已知人x)=A”〃(s+e)(A>0,。>0)的部分圖象求其解析式時(shí):A比較容易看圖得

出，困難的是求待定系數(shù)。和外常用如下兩種方法：

(1)由學(xué)即2萬(wàn)可求出g確定,p時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”

橫坐標(biāo)X0,則令3沖+夕=0(或5。+0=兀)，即可求出夕.

(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形

解出3和外若對(duì)43的符號(hào)或?qū)οΦ姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

12.在正三棱柱ABC-A￡C|中，4B=A4,=1，點(diǎn)尸滿(mǎn)足=,其中2e[0,l],

〃科0,1],則()

A.當(dāng)2=1時(shí)，的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)4時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A/LBP

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AB，平面AB/

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對(duì)于B,將P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線(xiàn)，進(jìn)而考慮體積是否為定值；

對(duì)于C,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解P點(diǎn)

的個(gè)數(shù)；

對(duì)于D,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解尸點(diǎn)

的個(gè)數(shù).

13

易知，點(diǎn)P在矩形BCG耳內(nèi)部（含邊界）.

對(duì)于A,當(dāng)4=1時(shí)，BP=BC+HBB[=BC+“G,即此時(shí)Pe線(xiàn)段CG，△MP周長(zhǎng)不是定

值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=ABC+BB=BB,+幾B?,故此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段4G，而B(niǎo).CJ/BC,

4G〃平面ABC,則有P到平面A8C的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)/1=：0寸，BP=；BC+〃BB],取BC,4G中點(diǎn)分別為。，H,則BP=BQ+//QH,

所以P點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段?！ǎ环两ㄏ到鉀Q，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，Ay,O,l,

P（0,0,〃），8（0,g,0）,則入尸=8尸=0,-g,〃，AP3P=M〃T)=0，

所以〃=0或〃=1.故，，。均滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)〃=；時(shí)，BP=2BC+；BB「取BB-CG中點(diǎn)為”,N.BP=BM+2MN，所

以P點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段MN.設(shè)，因?yàn)锳—AO,所以AP=--3

/o1Q111

\B=-^-,-,-1,所以q=0n%=—[,此時(shí)P與N重合，故D正確.

、乙乙）Q乙L乙

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi).

14

三、填空題(共0分

13.(f+2)6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

X

【答案】240

【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).

【詳解】卜+目

其…二項(xiàng)式華展開(kāi)通詞項(xiàng)：

=Q-x'2-2r(2)r-x-r

=禺(2)'產(chǎn)，

當(dāng)12-3r=0,解得r=4

的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是：C：-24=C<16=15X16=240.

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握

(“+》)"的展開(kāi)通項(xiàng)公式&產(chǎn)考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知一(X)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<()時(shí)，/(x)=-e".若/(ln2)=8,則〃=.

【答案】-3

【分析】當(dāng)x>0時(shí)—x<0,〃x)=-f(-x)=es代入條件即可得解.

【詳解】因?yàn)椤癤)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)—x<0,〃x)=-f(-x)=ee.

又因?yàn)閘n2e(0,l),/(ln2)=8,

15

所以e-"n2=8,兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)得-aln2=31n2,所以—。=3,即。=一3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對(duì)數(shù)的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)

化思想得出答案.

15.設(shè)斗鳥(niǎo)為橢圓C：￡+￡=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，〃為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△”尸石為

3620

等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

【答案】（3,后）

【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出|M凰、|g|,設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出M

的坐標(biāo).

【詳解】由已知可得〃2=36,6=20,，/=〃2—從=16,，。=4,

又M為C上一點(diǎn)且在第一象限,△加石心為等腰三角形，

耳|=|￡g|=2c=8.：.\MF2\=4.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（修，%）（%>0,%>0）,貝ijS△“恰=gM6卜％=4%,

又x4x>/82-22=4V15,4%=4>/15,解得%=后，

.片?（而）=i，解得%=3（%=-3舍去），

"3620

二例的坐標(biāo)為b，j團(tuán).

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很

好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、雙空題（共0分

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格

為20dmxl2dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖

形，它們的面積之和￥=240（10?,對(duì)折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm

三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和邑=180dm2,以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)

格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折〃次，那么￡耳=dm2.

hl

16

,小田、-15（3+〃）

【答案】5720--

【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得S“，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.

【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到5dm*12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖

53

形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：|xl2,5x6,10x3；20xj,共4種不同規(guī)格（單位dm?）：

故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：15xl2,5=x6,5x3,10x3=,20x3：,共5種不同規(guī)格；

4224

（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格

如何，其面積成公比為3的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120（dm2）,第〃次對(duì)折后的圖形面積為

120x（g）,對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為”+1

種（證明從略），故得猜想S?='gw，

，幾。V。120x2120x3120x4,120（n+l）

則；s=120x2120x3120〃120(u+l)

21+22+?！耙?

兩式作差得：

3=240+120（”+11120(?+1)

I2〃

=36。-母」2。(〃+比36012。(〃+3),

2〃2〃

「240(/1+3)15(〃+3)

因此，5=720-----——^=720——

2〃2〃T

故答案為：5；720-當(dāng)學(xué).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法:

（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

（2）對(duì)于｛。也｝結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，出｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和;

（3）對(duì)于m+2｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

1，結(jié)構(gòu)，其中m｝是等差數(shù)列，公差為則］-

（4）對(duì)于

17

利用I裂項(xiàng)相消法求和.

五、解答題(共。分

17.一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,^(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(I)求4；

(2)若近a+b=2c，求sinC.

【答案】⑴A=［；⑵sinC=?^.

34

【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：從+°2-/=歷，從而可整理出cosA,

根據(jù)A?0,萬(wàn))可求得結(jié)果;

(2)［方法一］由題意利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和可得

—sinC--cosC=旦然后結(jié)合輔助角公式可得c=據(jù)此由兩角和差正余弦公式

222

>/6+\p2

可得sinC=

4

【詳解】(1)(sinB-sinC)~=sin25-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC,

即：sin23+sin?C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc,

.b1^c2-a21

cosA=--------------=—,

2bc2

-jr

(2)［方法一］正弦定理+兩角和差正余弦

24

由(1)知，B+C=—,所以由缶+8=2c，

得血sinA+sin(/-C)=2sinC,

整理得近sinC」cosC=立，即siiJc-勺二也.

222I2

又所以C-5=q,即C=*［,

k3J6V6276464

18

7T71V6+V2

則sinC=sin

644

［方法二］正弦定理+方程思想

由8。+人=2。，WsinB=2sinC-5/2sinA=2sinC--，

2

代入(sin8-sinC)?=sin2A-sin8sinC,

wfsinC-—"l=-2sinC--?jsinC,

24

整理得dsin?C-2A/6sinC+l=0,則sinC=.

由sin8=2sinC-逅>0,WsinC>—.

24

所以sinC=?2.

4

［方法三］余弦定理

令￡=f.由b=2c-&a,b+c>a,得f>立十.

a3

將b=2c-0a代入加+c2-a2=be中，可得3c2-3應(yīng)ac+/=o,

即3『-36+1=0,解得f=3'+■或f=3-(舍去).

66

所以f=￡=包￡=30+#,

asinA6

［方法四］攝影定理

因?yàn)?c=0。+人，所以c=—a+-/7=acos45°+fecos600,

22

由射影定理得/。=180°-（45。+60。）=75。，

所以sinC=sin75°=五+限.

4

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：首先由正弦定理邊化角，然后由兩角和差正余弦公式求解sinC的值;

方法二：首先由正弦定理邊化角，然后結(jié)合題意列方程，求解方程可得sinC的值；

方法三：利用余弦定理求得「=￡的值，然后結(jié)合正弦定理可得sinC的值；

a

方法四：利用攝影定理求得/C的值，然后由兩角和差正余弦公式求解sinC的值；

【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差正弦公式、同

19

角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定

理的形式或角之間的關(guān)系.

18.已知公比大于1的等比數(shù)列(??)滿(mǎn)足%+4=20,%=8.

(1)求他“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求a1的2a3+…+(-1)〃%”61+】?

o02"+3

【答案】(1)%=2”；(2)-

55

【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)、公比的值即可確

定數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)首先求得數(shù)列｛(-I)”'4為/的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式求解其前n項(xiàng)

和即可.

【詳解】⑴設(shè)等比數(shù)列｛婚的公比為%>1),則”+的=20,

a,=a^q=8

整理可得：2q2_5q+2=0,

.q>l,q=2,q=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a“=2,2"T=2".

(2)由于：(―1廣的用=(_1廣，2隈2向=(一1廣22向，故：

,,

ata2-a2a3+...+(-l)"'<2?a?+l

=23-25+27-29+...+-22,,+|

1-(-22)5()5

【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟

練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基

礎(chǔ).

19.如圖，四棱錐P-A8CD的底面為正方形，底面4BCD.設(shè)平面膽。與平面P8C的

交線(xiàn)為/.

20

(1)證明：/I平面PDC-,

(2)已知P￡>=A￡>=1,。為/上的點(diǎn)，QB=g,求PB與平面QCO所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)顯.

3

【分析】(1)利用線(xiàn)面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得4)〃/,利用線(xiàn)面垂直的判定定

理證得4)，平面PDC,從而得到//平面PDC；

(2)根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)QG”,0,1),之后

求得平面Q8的法向量以及向量PB的坐標(biāo)，求得cos<〃,PB>,即可得到直線(xiàn)必與平面

2。所成角的正弦值.

【詳解】(D證明：

在正方形ABCD中，AD//BC,

因?yàn)锳DU平面PBC,BCu平面PBC,

所以〃平面PBC,

又因?yàn)锳Du平面PAD,平面上4Z5c平面P8C=/,

所以A。///,

因?yàn)樵谒睦忮F尸―ABCD中，底面A3CQ是正方形，所以An，￡>C,.J_LOC,

且P￡>J_平面ABC。，所以Ar>_LP￡),.?./_LR9,

因?yàn)镃Z)PD=D

所以//平面「DC；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z,

21

因?yàn)?AD=1,則有。(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),

設(shè)Q(〃?,0,1),則有OC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1),

因?yàn)镼B=y[2，所以有4-(0—I)2+(1—0)2=>/2=^>m=1

設(shè)平面QCD的法向量為〃二（x,y,z）,

DCn=0y=0

則,a即n

DQn=0x+z=0'

令x=l,則z=—1,所以平面QC。的一個(gè)法向量為〃=（1,0,-1）,則

〃PB_________1+0+1_________2限

cos<PB>=

忖網(wǎng)7i2+o2+(-i)2-Vi2+i2+i2>/5x6一3

根據(jù)直線(xiàn)的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線(xiàn)與平面所成角的正弦

值，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值等于|cos<n,PB>1=與

所以直線(xiàn)總與平面QCD所成角的正弦值為".

3

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線(xiàn)面平行的判定和性質(zhì)，線(xiàn)

面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線(xiàn)面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.

20.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),

如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)

檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為

且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為了（P）,求一（P）的最大值點(diǎn)%；

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的P。作為。的值.己

22

知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付

25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢

驗(yàn)？

【答案】(1)0.1；(2)(i)490；(ii)應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

【分析】(1)方法r利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得f(p)=Gw2(l-p)\

之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里

要注意的條件；

(2)方法一：先根據(jù)第一問(wèn)的條件，確定出P=Q1,在解(i)的時(shí)候，先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期

望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解(ii)的時(shí)候，就通過(guò)比較兩個(gè)

期望的大小，得到結(jié)果.

【詳解】(1)［方法一］:【通性通法】利用導(dǎo)數(shù)求最值

20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為"p)=C*p2(l-p)，

因此尸(P)=C；°［2p(l_p)'8_18p2(l-p)”］=2C；w(l-p)”(l-10p).

令/'(P)=O,得P=。」.當(dāng)pe(0,0.1)時(shí)，/'(P)>O；當(dāng)pe(O.l,l)時(shí)，/'(p)<0.

所以〃的最大值點(diǎn)為幾=0」；

［方法二］:【最優(yōu)解】均值不等式

由題可知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C；。p2(i_p尸.

18

f(p)=C}op\\-Pr=-^(9p)(9/7)(l-p)<190r9￡+9p+18(l-p)T°=190f_18Y°(

ol81[_20J81V207

當(dāng)9p=l-p,即p=L可得所求.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知卜~8(180,0.1),

X=20x2+25r,即X=40+25y.所以EX=E(40+25y)=40+25Ey=490.

(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于EX>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

23

【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：利用導(dǎo)數(shù)求最值，是求函數(shù)最值的通性通法；

方法二：根據(jù)所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本題的最優(yōu)解.

2

21.已知曲線(xiàn)C：產(chǎn)匕r，。為直線(xiàn)產(chǎn)-不1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,

22

B.

(1)證明：直線(xiàn)A8過(guò)定點(diǎn)：

(2)若以E(0,g)為圓心的圓與直線(xiàn)AB相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，求四邊形AO8E

的面積.

【答案】⑴見(jiàn)詳解；(2)3或45歷.

【分析】(1)可設(shè)B(x2,y2),然后求出A,B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，比如AL＞：

X+g=X1&-f),又因?yàn)?0也有類(lèi)似的形式，從而求出帶參數(shù)直線(xiàn)A3方程，最后求出它

所過(guò)的定點(diǎn).

(2)由(1)得帶參數(shù)的直線(xiàn)A8方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，再通過(guò)M為線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，

EM1A3得出f的值，從而求出M坐標(biāo)和歸間的值，4,4分別為點(diǎn)2E到直線(xiàn)AB的距離,

貝ij4=J產(chǎn)+1,

結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理代入求解即可.

【詳解】⑴證明：設(shè)0色-；)述明，%),則

又因?yàn)?'=gx',所以y'=x.則切線(xiàn)DA的斜率為4,

故y+g=占（而一），整理得2tx}-2yt+1=0.

設(shè)BQ?,%）,同理得2比2-2%+1=0.

4陽(yáng),X),B(X2,y2)都滿(mǎn)足直線(xiàn)方程2rx-2y+l=0.

于是直線(xiàn)2fx-2y+l=0過(guò)點(diǎn)A,B,而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，所以直線(xiàn)AB方程為

2/x-2y+l=0.即2fx+(—2y+l)=0,

當(dāng)2x=0,-2y+l=0時(shí)等式恒成立.所以直線(xiàn)48恒過(guò)定點(diǎn)(0.g).

(2)

［方法一］【最優(yōu)解：利用公共邊結(jié)合韋達(dá)定理求面積】

設(shè)AB的中點(diǎn)為G,4(4乂),3仁,力),則6(七三,巧&),EG=(^^,?+廠51