函數(shù)極值和其求法

函數(shù)的極值及其求法

由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰”、“谷”，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論.一、函數(shù)極值的定義二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,注①這個(gè)結(jié)論又稱(chēng)為Fermat定理②如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒(méi)有駐點(diǎn)則此函數(shù)沒(méi)有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào)③不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)可疑極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)

可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問(wèn)題即可得到解決。定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)例1解列表討論極大值極小值圖形如下列表討論如下：定理3(第二充分條件)證例3解圖形如下THANKYOUSUCCESS2023/12/1113可編輯注意:例4解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例5證（不易判明符號(hào)）而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，例6

解定理4

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得三、最值的求法例7.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例8敵人乘汽車(chē)從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車(chē)從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問(wèn)我軍摩托車(chē)何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)思考題下命題正確嗎？思考題解答不正確．例在–1和1