湖南省岳陽市重點(diǎn)高中2024屆高三上學(xué)期第四次月考試卷 數(shù)學(xué)

2024屆高三第四次月水平檢測數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分一、單選題（本題共8個小題，每小題5分，總分40分）1．已知是實數(shù)集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）.A． B． C．2 D．13．圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（

）.A． B． C． D．4．已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．5．?dāng)?shù)列1，，，…，，…的前項和為（

）．A． B． C． D．6．我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動．如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑動到的位置，且、、三點(diǎn)共線，，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為，則當(dāng)傘完全張開時，的余弦值是（）

A． B． C． D．7．已知正方體的棱長為是正方形（含邊界）內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于，則兩點(diǎn)間距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．8．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4個小題，每小題5分，總分20分）9．已知平面向量.下列命題中的真命題有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若且與的夾角為，則10．等差數(shù)列的前項和記為，若，則成立的是（

）A．B．的最大值是C．D．當(dāng)時，最大值為11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則B．若，則直線為曲線的一條對稱軸C．若，則D．若，則曲線與直線有5個交點(diǎn)12．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AD，AB上的動點(diǎn)，G是棱的中點(diǎn)，以為底面作三棱柱，頂點(diǎn)也在正方體的表面上．設(shè)，則（

）A．，直線與直線所成的角均為B．，使得四面體的體積為C．當(dāng)時，直線與平面所成角的正切值為D．當(dāng)時，若三棱柱為正三棱柱，則其高為三、填空題（本題共4個小題，每小題5分，總分20分）13．已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，則.14．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.15．開封鐵塔是宋都開封具有代表性的文物，是文物價值最高、份量最重的寶物之一．1961年，它被國務(wù)院定為中國首批國家重點(diǎn)保護(hù)文物之一．如圖，為測量開封鐵塔的高度，選擇和一個樓房的樓頂為測量觀測點(diǎn)，已知在水平地面上，開封鐵塔和樓房都垂直于地面．已知，，，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，則開封鐵塔的高度為．

16．已知函數(shù)，，若存在實數(shù)使在上有2個零點(diǎn)，則的取值范圍為．四、解答題（本題共6個小題，總分70分）17．（10分）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，平面，且.（1）求證：平面；（2）求該幾何體的體積．18．（12分）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范圍.19．（12分）已知正項數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，若數(shù)列滿足，求證：．20．（12分）如圖，在四棱臺中，平面平面ABCD，底面ABCD為正方形，，.(1)求證：平面.(2)點(diǎn)在直線上，且平面MCD，求與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，的漸近線與拋物線：（）相交于點(diǎn)．(1)求，的方程；(2)設(shè)是與在第一象限的公共點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與的左右兩支分別交于點(diǎn)，，使得．（?。┣笞C：直線過定點(diǎn)；（ⅱ）過作，垂足為．是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22．（12分）已知函數(shù)，，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，在（1）的條件下，討論關(guān)于的方程在上解的個數(shù)．參考答案：1．A【分析】化簡集合A,B，根據(jù)補(bǔ)集、交集運(yùn)算即可得解.【詳解】，，，.故選：A2．C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的模的公司及即可得解.【詳解】由，得，則，所以.故選：C.3．B【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的高，再由圓錐的體積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則，所以，，所以圓錐的體積為.故選：B4．B【分析】利用向量數(shù)量積的性質(zhì)先求，然后由投影向量公式可得.【詳解】因為是相互垂直的單位向量，所以.又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B5．A【分析】由題意設(shè)，利用分組求和法即可得解.【詳解】設(shè)，所以數(shù)列的前n項和.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，考查了分組求和法求數(shù)列前n項和的應(yīng)用，屬于中檔題.6．A【分析】求出、、的長，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.【詳解】依題意分析可知，當(dāng)傘完全張開時，，因為為的中點(diǎn)，所以，，當(dāng)傘完全收攏時，，所以，，在中，，所以，.故選：A.7．D【分析】利用等體積法可得點(diǎn)到平面的距離等于，結(jié)合平行關(guān)系分析可得點(diǎn)的軌跡為線段，再根據(jù)的形狀分析求解.【詳解】由題意可知：，設(shè)三棱錐的高為，因為，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離等于，又因為∥，且，則四邊形為平行四邊形，則∥，平面，平面，所以∥平面，即點(diǎn)的軌跡為線段，因為平面，平面，所以，在中，兩點(diǎn)間距離的最大值為.故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離等于；（2）結(jié)合平行關(guān)系分析可得點(diǎn)的軌跡為線段.8．B【分析】關(guān)于對稱的函數(shù)為，所以的圖象與的圖象有且僅有四個不同的交點(diǎn)，作出與的圖象，利用導(dǎo)數(shù)等于斜率，求出臨界直線的斜率即可.【詳解】解：函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上，關(guān)于對稱的函數(shù)為所以的圖象與的圖象有且僅有四個不同的交點(diǎn)，作與的圖象如下：易知恒過點(diǎn)設(shè)直線與相切于點(diǎn)，故，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，，故，故，故選：B【點(diǎn)睛】已知兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)情況，求參數(shù)的取值范圍，是難題.9．BCD【分析】根據(jù)向量平行、垂直、模、夾角等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若是零向量，則由不等得到，所以A選項錯誤.B選項，若，則，所以B選項正確.C選項，若，則，即，所以，所以C選項正確.D選項，若且與的夾角為，則，兩邊平方得，所以D選項正確.故選：BCD10．BC【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，再根據(jù)等差數(shù)列的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，A選項錯誤.所以，C選項正確.所以的最大值是，B選項正確.由于時，，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，沒有最大值，D選項錯誤.故選：BC11．ACD【分析】對于A，結(jié)合函數(shù)的周期性與單調(diào)性求出的范圍即可；對于B，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性代入驗證即可；對于C，求出的值即可；對于D，作出的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意，得，解得，故A正確；若，則，且不是最小值，所以直線不是曲線的一條對稱軸，故B錯誤；若，則，解得，故C正確；若，則，如圖，作出的圖象與直線，

由圖可知曲線與直線有5個交點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．12．ACD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合圖形，利用空間向量法計算，即可判斷ABC；由題意可知點(diǎn)分別為正方形、、的中心，利用勾股定理計算即可判斷D.【詳解】設(shè)，則，又，所以，解得，即.A：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，有，所以，得，故A正確；

B：因為，，，，有，所以，得，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，所以四面體的體積為，則該四面體的體積為定值，故B錯誤；

C：由選項B的分析可知，當(dāng)時，，易知平面的一個法向量為，則，設(shè)直線與平面所成角為，為銳角，則，所以，故C正確；

D：當(dāng)時，E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，由正三棱柱的特征可知，點(diǎn)分別為正方形、、的中心，如圖，則，有，則，所以為正三棱柱的高，且，故D正確.

故選：ACD.【點(diǎn)睛】解決有關(guān)空間角、距離有關(guān)的存在性問題時，一般建立空間直角坐標(biāo)系，把幾何對象上的動態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)表示，根據(jù)題設(shè)要求，建立相應(yīng)的方程（組），解方程（組），通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象是否存在.13．【分析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，再根據(jù)等差中項的性質(zhì)計算可得；【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，，成等差數(shù)列，則，因為，，所以，解得.故答案為：.14．【分析】依題意可得，利用基本不等式求出的最小值，進(jìn)而得到關(guān)于的一元二次不等式，解得的范圍．【詳解】，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，即（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），因為恒成立，，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：15．【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，易知為等腰直角三角形，可得，在中，可得，在中，由正弦定理得，進(jìn)而得到，進(jìn)而即可求解.【詳解】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，易知為等腰直角三角形，所以，在中，因為，所以，在中，由正弦定理得，即，而，所以，則.故答案為：.

16．．【解析】將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與的圖象交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合分為和兩種情況求得m的取值范圍，其中后者需在存在性問題中進(jìn)一步研究a的范圍．【詳解】已知實數(shù)使在上有2個零點(diǎn)，等價于與的函數(shù)圖象在上有2個交點(diǎn)，顯然與x軸的交點(diǎn)為，的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，若要有2個交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合知m一定小于e，即；當(dāng)時，若要有2個交點(diǎn)，須存在a使得在有兩解，所以，因為，即，顯然存在這樣的a使上述不等式成立；由數(shù)形結(jié)合知m須大于在處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即綜上所述，m的范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，屬于難題．17．（1）證明見解析（2）【分析】(1)通過面面平行的證明：平面平面，即可證明平面；(2)將幾何體切割為兩個同底面的四棱錐，然后根據(jù)棱錐的體積公式分別計算出兩個棱錐的體積，即可求解出該幾何體的體積.【詳解】（1）證明：∵是正方形，∴，∴平面.又平面，平面，∴，∴平面，又∵，所以平面平面，∵平面，故平面.（2）連接、，設(shè)與交于點(diǎn)，∵是正方形，∴，又平面，∴，又∵，∴平面，因為矩形的面積，，所以四棱錐的體積.同理四棱錐的體積為，故該幾何體的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及空間幾何體體積的求解，難度較易.(1)證明線面平行可通過線面平行的判定定理或者面面平行來完成證明；(2)對于不規(guī)則的幾何體的體積求解，可通過切割的方式將其轉(zhuǎn)化為常見的幾何體，然后計算體積的總和即可.18．(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子統(tǒng)一成邊的關(guān)系，再利用余弦定理可求出角B的大小，（2）由（1）可得，由正弦定理可得，然后由為銳角三角形求出角的范圍，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，化簡得，所以由余弦定理得，因為，所以（2）因為，所以,由正弦定理得，，所以，因為為銳角三角形，所以，得，所以，所以，所以，，所以，即的取值范圍為19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用和與項的關(guān)系可求得，從而利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）由（1）知，從而利用裂項相消法求得，從而可證.【詳解】（1）∵，當(dāng)時，，兩式相減得：，整理得，

∵，∴，當(dāng)時，，∴（舍）或，

∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則；（2）由（1）知，，

∴，∵，∴，即．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直性質(zhì)可得，利用題目條件結(jié)合圖形，勾股定理可得，即可證明結(jié)論；（2）如圖，建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)在直線上，引入?yún)?shù)，可表示出M坐標(biāo)，后由平面MCD，可得M坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】（1）因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD，則平面.又平面，則；又在等腰梯形，如下圖，作，由題可知，，又，則，結(jié)合，得.因，則.又平面，平面，，則平面；（2）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則，又由（1）可得.因在直線，則，則，即.則.又，平面MCD，則.得.則，.又由（1）得，可取為平面的一個法向量，，設(shè)與平面所成角為，則.即與平面所成角的正弦值為.

21．(1)：，(2)（i）證明見解析；（ii）存在，，為定值.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合待定系數(shù)法求解即可；（2）（i）先聯(lián)立拋物線與雙曲線的方程得，進(jìn)而結(jié)合題意設(shè)直線方程為，進(jìn)而與雙曲線聯(lián)立方程，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，韋達(dá)定理整理得，進(jìn)而得直線過定點(diǎn)，即可證明；（ii）由題知，進(jìn)而點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，線段的中點(diǎn)為，，為定值.【詳解】（1）解：因為雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線過點(diǎn)，所以，，解得，所以，雙曲線的方程為：.因為拋物線：（）經(jīng)過點(diǎn)所以，，解得，所以，拋物線.（2）解：（i）由解得，故，因為不經(jīng)過點(diǎn)的直線與的左右兩支分別交于點(diǎn)，，所以，直線斜率存在，設(shè)方程為，由得，所以，，解得，，因為，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，整理得，因為直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以，，故，所以，直線的方程為：.所以，直線過定點(diǎn).（ii）記，又，，因為，即，所以，點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，線段的中點(diǎn)為，即為圓心.所以，，為定值.所以，存在點(diǎn)，使得，為定值..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合韋達(dá)定理，向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求解得直線方程為滿