2023年中考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（江蘇揚(yáng)州卷）（全解全析）

2023年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

12345678

ACCBBBBC

選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）一患的倒數(shù)是（）

11

A.-2019B.---A-C.-------D.2019

20192019

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義解答.

【解答】解：-熹的倒數(shù)是-5-=-2019.

2019———

2019

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查了倒數(shù)的定義，考查了學(xué)生對(duì)概念的記憶，屬于基礎(chǔ)題.

2.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.丁?/=/B.-（%2）4=/C.x64-^5—xD.x^+^—x5

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則，慕的乘方運(yùn)算法則，同底數(shù)基的除法法則以及合并同類項(xiàng)法則

逐一判斷即可.

【解答】解：A./?/=/,故本選項(xiàng)不符合題意：

B.-（?）4=故本選項(xiàng)不符合題意；

C.X6-?X5=X,符合題意；

D.7與/不是同類項(xiàng)，所以不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)罪的乘除法，合并同類項(xiàng)以及基的乘方與積的乘方，熟記基的運(yùn)算法則

是解答本題的關(guān)鍵.

3.（3分）如圖，從邊長(zhǎng)為a+5的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a+1的正方形，將剩余部分沿虛線剪拼成一

個(gè)不重疊、無縫隙的長(zhǎng)方形，那么該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（）

A.2a+10B.2a+2C.2a+6D.2a+8

【分析】根據(jù)圖形可知，后來剪拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（a+5）+（a+l）,然后去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：由圖可得，

后來剪拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（。+5）+（a+1）=。+5+。+1=2a+6,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是可以發(fā)現(xiàn)后來剪拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為原來大正方形的邊長(zhǎng)

與剪下的小正方形的邊長(zhǎng)之和.

4.（3分）病毒無情，人間有愛，某中學(xué)廣大教師為防疫積極捐款獻(xiàn)愛心，如圖所示是該校50名教師的捐

款情況統(tǒng)計(jì)，則他們捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.200元，100元B.100元，200元

C.200元，150元D.100元，150元

【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的意義求解即可.

【解答】解：捐款金額為100元的人數(shù)最多，是16人，因此捐款金額的眾數(shù)是100元，

將這50人的捐款金額從小到大排列處在中間位置的兩個(gè)數(shù)都是200元,因此捐款金額的中位數(shù)是200元,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)，理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義是正確計(jì)算的前提.

5.（3分）已知實(shí)數(shù)a,6滿足aWb,且/-4a=/-4b=2,則/十戶的值為（）

A.16B.20C.25D.30

【分析】根據(jù)已知得出。、6是方程7-4x-2=0的兩個(gè)根，求出a+b=4,〃/?=-2,把/+廿變成（研匕）

2-lab,代入求出即可.

【解答】解：?.,屋-4a=&2-4b=2,

Aa2-4a-2=0,b2-4b-2=0,

,：a^h,

：.a.b是方程?-4x-2=0的兩個(gè)根，

...a+b=4,ab--2,

Aa2+Z>2=Ca+b)2-2aZ>=16+4=20,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出a+b=4,ab=-2.

6.(3分)已知二次函數(shù)y=(2-a)?+(?+2)x-1,當(dāng)x取互為相反數(shù)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值y總相等，則關(guān)于x的一元二次方程(2-a)/+(a+2)x-1=0的兩根之積為()

A.-IB.-1C.-1D.0

24

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=(2-a)/+(a+2)x-\,當(dāng)工取互為相反數(shù)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值y總相等，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，從而可以得到a的值，然后即可求得該函數(shù)與x軸的

交點(diǎn)，即可得到一元二次方程(2-a)/+(a+2)x-1=0的兩根，再將這兩個(gè)根相乘，即可解答本題.

【解答】解：???二次函數(shù)y=(2-d)/+Q+2)x-1,當(dāng)x取互為相反數(shù)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的

函數(shù)值y總相等，

???該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=-一離=_=0,

斗一，)

解得。=-2,

???二次函數(shù)y=4/-I,

???當(dāng)y=0時(shí)，0=4?-1,解得加=一3，x2=

，一元二次方程(2-a)7+(〃+2)%-1=0的兩根是X2=/,

一元二次方程(2-?)/+(a+2)x-1=0的兩根之積是(-1)

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的

關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

7.(3分)如圖，AB是。O的直徑，ZBOC=50°,則/D的度數(shù)為()

C.15°D.35°

【分析】直接用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半求解即可.

【解答】解：：AB是。O的直徑，NBOC=50°,

.,.ZD=|zBOC=i^50°=25°.（同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半）

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題是圓周角定理，解本題的關(guān)鍵是清楚同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半.

8.（3分）如圖1,在菱形ABCD中，NC=120°,M是AB的中點(diǎn)，N是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DN長(zhǎng)

為x,線段MN與AN長(zhǎng)度的和為y,圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，圖象右端點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2Q，3）,

則圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

圖2

2V32遍「4\/3「

A.（-----，2）B.（―-V3）C.（甘，V3）D.（V3,2）

3

【分析】由函數(shù)圖象可得點(diǎn)F表示圖1中點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，即可求BD,BM的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)

可求解.

【解答】解：如圖，連接AC,MC,

D

圖1

:四邊形ABCD是菱形，/BCD=120°,

；.AB=BC,AC垂直平分BD,ZABC=60°,ZABD=ZDBC=30°,

；.AN=CN,AABC是等邊三角形，

；.AN+MN=CN+MN,

，當(dāng)點(diǎn)N在線段CM上時(shí)，AN+MN有最小值為CM的長(zhǎng)，

???點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2V3,3）,

.,.DB=2V3,AB+BM=3,

?.?點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

；.AM=BM,CMXAB,

；.2BM+BM=3,

；.BM=1,

tanZABC=tanGO°=-V3,

；.CM=V3,

cosZABD=co.s30°==苧，

..BN=

..DN=-j-,

4J3

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（一^―,V3）,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，理解函數(shù)圖象中點(diǎn)表示的具體

意義是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

9.（3分）要使丫『1有意義，則x的取值必須滿足的條件是.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：由題意得，x-1>0,

解得，

故答案為：工21.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）分解因式：孫-1=3（xv+^^）.

【分析】先求出方程3fy2+w-1=0的解，再分解因式即可.

~2__

【解答】解：解方程3/〉2+沖-1=0得：肛=TdJ累33（-1）=

即（孫）『三灣,（孫）2=方座=—噌

所以3fy2+xy-]=3（所±ZH）（肛+1±*2）,

?，6o

故答案為：3（X），一二1/）（冷，+土爛）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，能求出方程312陜+q,-1=0的解是解此題的關(guān)鍵，注意：

如果方程〃/+fer匕=0（〃W0）的解是xi,孫那么（x-xi）（x-X2）.

4

11.（3分）用一個(gè)圓心角為120。，半徑為2的扇形做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為已。.

【分析】根據(jù)扇形面積公式求出扇形面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系解答.

【解答】解：扇形面積=匕?：；2'"=[”,

現(xiàn)Qx

4

則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為:口，

3

4

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的

關(guān)鍵.

115

12.（3分）在直角AABC中，ZC=90°,—~+—-=NC的角平分線交AB于點(diǎn)D,且CD=2VL

tanAtanB2

斜邊AB的值是3V5.

【分析】由直角/C的角平分線交AB于點(diǎn)D,且CD=2注,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出DE=EC=

CF=FD=2,再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理得到AC?BC=18,AC+BC=9,根據(jù)AB2=AC2+BC2=

（AC+BC）2-2AC?BC,即可求出AB.

【解答】解：如圖，

VZC=90°,NC的角平分線交AB于點(diǎn)D,且CD=2位,

，DE=EC=CF=FD=2,

在RfZXADE中，AE=^=3，

tanAtanA

DF2

在R/^BDF中，BF=-^=-^H，

tanBtanB

22

**?AC*BC=(2+---r)(2+--

tanAtanBQ)

--十tanA十tanB十"

=4(2+!)

=18,

AC?BC=(2+32)+(2+工2)

tanAtanB

11

=4+2(~+)

tanAtanB

=4+5

=9,

.\AB2=AC2+BC2

=(AC+BC)2-2AC?BC

=81-36

=45,

即AB=3V5,

故答案為：3V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解宜角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

13.(3分)六個(gè)學(xué)生進(jìn)行投籃比賽，投進(jìn)的個(gè)數(shù)分別為14,15,15,17,17,18,這六個(gè)數(shù)的平均數(shù)是16.

【分析】先根據(jù)平均數(shù)的定義列出算式，再求出平均數(shù)即可.

【解答】解：平均數(shù)為(14+15+15+17+17+18)=16,

故答案為：I6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)的定義及求法，能熟記平均數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：數(shù)據(jù)m,。2,

1

“3,??！ǖ钠骄鶖?shù)是9=\(ai+a2+a3+?+〃〃).

14.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，BC〃x軸.AD與），軸交于點(diǎn)E,反比例

k40

函數(shù)尸?（x>0）的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)C、D.已知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,BE=2DE,則％的值為—.

x3

【分析】由已知可得菱形邊長(zhǎng)為5,設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可用勾股定理構(gòu)造方程，進(jìn)而求出k值.

【解答】解：過點(diǎn)D作DFLBC于F,

由已知，BC=5,

?.?四邊形ABCD是菱形,

ADC=5,

VBE=2DE,

.?.設(shè)DE=x,則BE=2x,

DF=2x,BF=x,FC=5-x,

在R/ADFC中，

DF2+FC2^DC2,

(2x)2+(5-x)2=52,

解得xi=2,X2=O(舍去)，

；.DE=2,FD=4,

設(shè)OB=a,

則點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,a+4),點(diǎn)C坐標(biāo)為(5,a),

?.?點(diǎn)D、C在雙曲線上，

:.k=2乂(a+4)=5a,

..f

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求出DE的長(zhǎng)度是本題

的關(guān)鍵.

15.(3分)小甬在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形如圖①所示排列，恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形.小

真看見了，說：“我來試一試.”結(jié)果小真七拼八湊，拼成如圖②所示的正方形.咳，怎么中間還留下了

一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為2mm的小正方形!則小真拼成的正方形的面積為上

【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xw”，寬為y加”，根據(jù)長(zhǎng)方形及正方形的性質(zhì)，即可得出關(guān)于x,y的二元

一次方程組，解之即可得出x,y的值，再利用正方形的面積計(jì)算公式即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為X""",寬為

依題意得：［篇襄，

解得：C：6°'

小真拼成的正方形的面積=(x+2y)2=(10+2X6)2=484(mm2).

故答案為：484.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

16.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,

且相似比為1：3,點(diǎn)A,B,E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2).

RC1

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到BC〃EF,—根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，分別求出OB、BC,

EF3

得到答案.

【解答】解：；正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：3,

BC1

BC/7EF,-=一,

EF3

AAOBC^AOEF,BC=2,

OBBC1OB1

?,*--------—------------—------n,n-I-A-|-J--------------------,

OEEF3OB+63

，OB=3,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,2）,

故答案為：（3,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握位似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行

是解題的關(guān)鍵.

17.（3分）一座建于若干年前的水庫大壩，目前壩高4米，現(xiàn)要在不改變壩高的情況下修整加固，將背水

坡AB的坡度由1：0.75改為1：2,則修整后的大壩橫截面積增加了10平方米.

【分析】根據(jù)坡度的概念分別求出CD、BC,進(jìn)而求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答

案.

【解答】解：；背水坡AB的坡度為1：0.75,AC=4,

BC

二—=0.75,

4

解得，BC=3,

「坡AD的坡度為1：2,AC=4,

，CD=8,

；.BD=DC-BC=5,

.?.△ADB的面積=羯5*4=10（平方米）,

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x+2）-1與＞=〃（x-3）2+%交于點(diǎn)A.過點(diǎn)A

作y軸的垂線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)），線段BC的長(zhǎng)為

10

【分析】設(shè)拋物線），=。（廿2）2+卜-1的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,拋物線（x-3）2+/）的對(duì)稱軸

與線段BC交于點(diǎn)F,由拋物線的對(duì)稱性結(jié)合BC=2（AE+AF）,即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)拋物線產(chǎn)a（尤+2）2+b-1的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,拋物線產(chǎn)a（x-3）的對(duì)

稱軸與線段BC交于點(diǎn)F,如圖所示.

由拋物線的對(duì)稱性，可知：BE=AE,CF=AF,

；.BC=BE+AE+AF+CF=2(AE+AF)=2X[3-(-2)]=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查」'二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性解決問題是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共10小題，滿分96分）

19.（8分）計(jì)算：

（1）（-2）2-V6?+（-3）°-J）、；

a

【分析】（1）先計(jì)算乘方、立方根、零指數(shù)幕及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，再計(jì)算加減可得；

（2）先因式分解、除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得.

【解答】解：(1)原式=4-4+1-9=-8；

a

(2)原式=(a+3)(a-3).,2

(a+3)2a-3a+3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的乘除法及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序與混合運(yùn)算法

則及立方根、零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)累的法則.

2-4x<7+j

20.(8分)解不等式組:

A14字

【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集即

可.

2-4x<7+*①

【解答】解:

1*牛⑥

解不等式①，得X>-1,

解不等式②，得xW6,

所以不等式組的解集是-1<XW6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集是解此題

的關(guān)鍵.

21.(8分)如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，連接AM,且

AB=AM.AE為aABM邊BM的中線，AF±AB,EG_LGD,延長(zhǎng)FO交AB于點(diǎn)N.

(1)若BM=4,MC=6,AC=10,求AM的長(zhǎng)度：

(2)若NACB=45°,求證：AN+AF=2FG.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可求BE=ME=2,由勾股定理可求AE,AM的長(zhǎng)：

(2)過點(diǎn)E作EH_LAF于H,由“AAS”可證△ANO絲△CFO,可得AN=CF,由“AAS”可證AAEH

絲ZXCEG,可得AH=GC,EH=EG,可證四邊形EHFG是正方形，可得HF=FG,即可得結(jié)論.

【解答】解：(1)VBM=4,AB=AM,AE為AABM邊BM的中線,

???BE=ME=2,

:.EC=EM+MC=2+6=8,

AE=.vAC:-EC'—vlOO—

???AM=A/AE24-EM2=V364-4=2710；

(2)如圖，過點(diǎn)E作EH_LAF于H,

VAB/7CD,AF±AB,

.'.ZBAO=ZFCO,ZANO=ZCFO,AF_LCD,

???點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

AAO=CO,

.,.△ANO^ACFO(AAS),

AAN=CF,

VZACB=45°,AE_LEC,

，AE=EC,

VEH±AF,EG±GD,AF±CD,

???四邊形EHFG是矩形，

AZHEG=ZAEC=90°,

，NAEH=NCEG,

又???/AHE=NEGC=90°,

.'.△AEH^ACEG(AAS),

，AH=GC,EH=EG,

，四邊形EHFG是正方形，

???HF=FG,

???AN+AF=FC+AH+HF=FC+CG+FG=2FG.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

22.（8分）“一方有難，八方支援”是中華民族的傳統(tǒng)美德.在抗擊新冠病毒戰(zhàn)役中，我省支援湖北醫(yī)療隊(duì)

共1460人奔赴武漢.其中小麗、小王和三個(gè)同事共五人直接派往一線某醫(yī)院，根據(jù)該醫(yī)院人事安排需要

先抽出一人去急診科，再派兩人到發(fā)熱門診，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)完成下列問題.

（1）小麗被派往急診科的概率是二;

（2）若正好抽出她們一位同事去往急診科，請(qǐng)你利用畫樹狀圖或列表的方法，求出小麗和小王同時(shí)被派

往發(fā)熱門診的概率.

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，找出小麗和小王同時(shí)被派往發(fā)熱門診的情況數(shù)，然后根據(jù)

概率公式即可得出答案.

【解答】解：（1）小麗被派往發(fā)熱門診的概率巳；

1

故答案為：

（2）小麗、小王和兩個(gè)同事分別用A,B,Ci,C2表示，根據(jù)題意畫圖如下:

由上可知；一共出現(xiàn)了12種等可能的結(jié)果，小麗和小王同時(shí)出現(xiàn)的有2種情況，

則小麗和小王同時(shí)被派往發(fā)熱門診的概率是

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，

適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況

數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程/-（2k+l）x+必+k=0.

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若AABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5,當(dāng)aABC是等腰

三角形時(shí)，求AABC三邊的長(zhǎng).

【分析】(I)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出A=l>0,進(jìn)而可證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根；

(2)利用因式分解法解方程得到=&,xz=k+\,AB、AC的長(zhǎng)為*、k+\,討論當(dāng)AB=BC時(shí)，即&

=5；當(dāng)AC=BC時(shí)，k+l=5,解得上=4,進(jìn)而即可求得AABC三邊的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：???△=[-(201)]2-4XS+k)=1>0,

,無論k取何值，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)解：?.?由x2-(2&+1)%+必+%=0,得(x-Q[%-(m1)]=0,

；.xi=k,X2=H1.

即AB、AC的長(zhǎng)為hHl,

當(dāng)AB=BC時(shí)，即k=5,滿足三角形構(gòu)成條件，則AABC三邊的長(zhǎng)為5、5、6；

當(dāng)AC=BC時(shí)，>1=5,解得％=4,滿足三角形構(gòu)成條件，則AABC三邊的長(zhǎng)為5、5、4；

綜上所述，Z\ABC三邊的長(zhǎng)為5、5、6或5、5、4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若xi,也是一元二次方程/+法+。=0(a^O)的兩

根，Xl+X2=—￡XIX2=也考查了根的判別式.

24.(10分)如圖，Rr/XABC中，NABC=90°,以AB為直徑作。O,點(diǎn)D為。O上一點(diǎn)，且CD=CB,

連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)判斷直線CD與。O的位置關(guān)系，并證明；

(2)若BE=8,DE=16,求。O的半徑.

【分析】(1)欲證明CD是切線，只要證明ODJ_CD,利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)設(shè)(30的半徑為r,在RtZXOBE中,根據(jù)OE2=EB2+C>B2,可得(16-r)2=於+82,推出r=6,即

可解決問題.

【解答】解：(1)相切，

證明：如圖，連接OC,

在AOCB與△OCD中,

CB=CD

CO=CO,

OB=OD

/.△OCB^AOCD(SSS),

AZODC=ZOBC=90°,

，OD_LDC,

又???OD為。。的半徑，

???DC是。O的切線；

(2)設(shè)。O的半徑為廣，

在RfZ\OBE中，VOE2=EB2+OB2,

，(16-r)2=/^+82,

***r=6?

???。0的半徑為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

25.(10分)卡塔爾世界杯完美落幕.在一場(chǎng)比賽中，球員甲在離對(duì)方球門30米處的O點(diǎn)起腳吊射(把球

高高地挑過守門員的頭頂，射入球門)，假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時(shí)，足球達(dá)到

最大高度8米.如圖所示，以球員甲所在位置O點(diǎn)為原點(diǎn)，球員甲與對(duì)方球門所在直線為x軸，建立平

面直角坐標(biāo)系.

(1)求滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如果葡萄牙球員C羅站在球員甲前3米處，C羅跳起后最高能達(dá)到2.88米，那么C羅能否在空中

截住這次吊射？

【分析】（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；

（2）即可利用x=3得出答案.

【解答】解：（1）由題意可得，足球距離點(diǎn)O（30-14）=16米時(shí)，足球達(dá)到最大高度8米,

設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-16）2+8,

把（0,0）代入解析式得:0=a（0-16）2+8,

解得：一宗，

故拋物線解析式為：-點(diǎn)（X-16）2+8；

（2）當(dāng)x=3時(shí),片一蕓（3-16）2+8=2.71875V2.88,

故C羅能在空中截住這次吊射.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

1k

26.（12分）如圖，直線y=g+l與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與雙曲線），=^（》＞0）交于點(diǎn)C,BC

=2AB.

（1）求出的值;

（2）已知點(diǎn)T為x軸正半軸上一點(diǎn)，連接OC、BT交于點(diǎn)M,滿足AT?OC=AC，BT

①求5/71ZCBT；

②連接CT,設(shè)點(diǎn)N為ABCT的外心.求BM：MN的值.

【分析】（1）由△AOBs^ADC求出點(diǎn)C（6,3）,進(jìn)而求解;

(2)①由AT?OC=AC?BT得到點(diǎn)T(7,0),^JH]BC2=CT2+BC2,得到△BCT為直角三角形，進(jìn)而

求解；

71

②由△BCT為直角三角形得到，點(diǎn)N為△BCT的外心，求出N(-,-),由EN〃OB得到△BMOs4

22

NME,即可求解.

11

【解答】解：(1)對(duì)于)=8+1,令)=丁+1=0,解得x=-3,令x=0,則y=l,

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,1),

設(shè)過點(diǎn)C的垂線與x軸交于點(diǎn)D,

e0BABAB1AO

則△AOBsaADC,則nl==—=——="=—,

CDACAB+BC3AD

VOB=1,OA=3,

.'.CD=3,AD=9,

則OD=9-3=6,

故點(diǎn)C(6,3),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：％=3X6=18；

(2)①設(shè)點(diǎn)T(f,0),

由點(diǎn)A、B、C、T坐標(biāo)得：AT=f+3,OC=V45,AC=聞，BT=Vt24-1,

VAT?OC-AC?BT,即(計(jì)3)x印=、碉X+1，

解得：f=7或-1(舍去-1),

故點(diǎn)T(7,0)；

由B、C、T的坐標(biāo)得：BT=V72+l=V50,

同理可得BC=同，CT=V10,

則BC2=CT2+BC2,

AABCT為直角三角形，

..CTVW底

/rRT商=E；

②:△BCT為直角三角形，點(diǎn)N為△BCT的外心,

則點(diǎn)N是BT的中點(diǎn)，

71

由中點(diǎn)公式得，點(diǎn)N(-,-),

22

過點(diǎn)N作y軸的平行線交OC于點(diǎn)E,

由點(diǎn)C的坐標(biāo)得：直線0C的表達(dá)式為尸與，

71777

此

-y--X=「-

2224

4^

715

--=-

424

VEN/70B,

/.△BMO^ANME,

則BM：MN=OB：EN=l+g=4：5.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、三角形相似、解

直角三角形等，綜合性強(qiáng)，難度適中.

27.(12分)已知AABC中，AB=AC,點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，連接DE交AC于

點(diǎn)G,使得NAED=2NADC.

(1)如圖1,若DE_LAB,ZADG=30°,CD=372,求線段AD的長(zhǎng).

(2)如圖2,過點(diǎn)C作CF〃AB交DE于點(diǎn)F,在EG上取一點(diǎn)N,使得GN=GC,連接AN,求證：

AE=DF.

(3)如圖3,若點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且滿足NADC=45°,AC=6,直接寫出4ACD面積的最大

值.

A

AA

【分析】(1)作CHJ_AD于H,設(shè)NBAC=a,分別表示出/CAD,NACB和NABC,在AABC中根

據(jù)三角形內(nèi)角和求得a,進(jìn)而解斜三角形ACD求得結(jié)果；

(2)在AG上截取GH=GF,連接NH,EH,設(shè)/ABC=NACB=a,ZADC=3,則AED=2B,通

過角之間的關(guān)系推出AG=DG,進(jìn)而證明△DGCWZ\AGN,進(jìn)一步證明△CGFZaNGH,從而得出AH

=DF,通過角之間關(guān)系得出NANH=NANE和/AEN=NNHG,從而得出點(diǎn)A、E、N、H四點(diǎn)共圓，

從而得出/AHE=/ANE,/AEH=/ANH,進(jìn)而NAEH=NAHE,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(3)根據(jù)“定弦對(duì)定角”得出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)一步求得結(jié)果.

【解答】(1)解：如圖1,

圖1

作CHJ_AD于H,設(shè)NBAC=a,

在RrAADE中，

ZDAE=90°-ZADE=60°,

，/CAD=/BAD-/BAC=60°-a,

VZADE=90o，ZAED=2ZADC,

AZADC=45°,

，NACB=NADC+NCAD=45°+(60°-a)=105°-a,

；AB=AC,

.,.ZABC=ZACB=105°-a,

在AABC中，

NABC+/ACB+/BAC=180°，

：.2(105°-a)+a=180°,

???a=30°,

AZCAD=30°,

在R￡CDH中，

CH=DH=CD?si”NADC=3位ri〃45°=3、空K4s3,

在RrAACH中，

AH=—3^3,

■kC毋d

T

???AD=DH+AH=3+3V5；

(2)證明：如圖2,

在AG上截取GH=GF,連接NH,EH,

設(shè)NABC=NACB=Q,ZADC=B,貝ijAED=2B,

NAED=ZABC+ZBDE,

???2B=a+NBDE,

???NBDE=2B-a,

???NADE=NADC-NBDE=B-(20-a)=a-0,

,?ZACB=ZADC+ZDAC,

:.a=B+NDAC,

??./DAC=a-B,

/.ZADE=ZDAC,

:.AG=DG,

VZDGC=ZAGN,CG=GN,

AADGC^AAGN(SAS),

，AG=DG,ZDCG=ZANG,

同理可得：Z\CGF絲ANGH(SAS),

，GH=FG,ZFCG=ZHNG,

/.ZDCG-ZFCG=ZANG-ZHNG,

即：NANH=NDCF,

???CF〃AB,

AZFCD=ZABC,ZCFG=ZAEN,

AZANH=ZABC,

VZACB=180°-ZDCF-ZFCG,

NANE=1800-ZANH-ZHNG,

AZANE=ZACB,

AZANH=ZANE,

VZCFG=ZAEN（已證），ZNHG=ZCFG（已證）,

AZAEN=ZNHG,

???點(diǎn)A、E、N、H四點(diǎn)共圓，

AZAHE=ZANE,ZAEH=ZANH,

.\ZAEH=ZAHE,

，AE=AH,

VAG=DG,GH=FG,

ADF=AH,