復(fù)變函數(shù)論論文

論文目錄摘要……………1關(guān)鍵詞…………1引言……………1理論……………1參考文獻(xiàn)………………………68．英文摘要………………………6全文共15頁2,148字復(fù)變函數(shù)論〔學(xué)號：20231101926劉艷玲〕〔物理與電子信息學(xué)院物理學(xué)專業(yè)2023級，內(nèi)蒙古呼和浩特010022〕指導(dǎo)老師：孫永平摘要：了解利用柯西定理來對復(fù)變函數(shù)的定分積和不定積分的分類。運用留數(shù)定理來求解實變函數(shù)的積分。利用達(dá)朗貝爾，泰勒，解析延拓和洛朗法對級數(shù)進(jìn)行展開，在運用傅里葉變換來對特殊級數(shù)進(jìn)行計算。關(guān)鍵字：復(fù)數(shù)；復(fù)變函數(shù)；積分；級數(shù)；留數(shù)；傅里葉變換；1引言了解利用柯西定理來對復(fù)變函數(shù)的定分積和不定積分的分類。運用留數(shù)定理來求解實變函數(shù)的積分。利用達(dá)朗貝爾，泰勒，解析延拓和洛朗法對級數(shù)進(jìn)行展開，在運用傅里葉變換來對特殊級數(shù)進(jìn)行計算。2復(fù)變函數(shù)2.1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算2.1.1.1復(fù)數(shù)的根本概念Z=x+iy(1.1.1)這叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)式，x和y那么分別叫作該復(fù)數(shù)的實部和虛部，并分別記作Res和Imz。復(fù)數(shù)z可表示為三角式和指數(shù)式，即叫作該復(fù)數(shù)的模,叫作該復(fù)數(shù)的幅角。2.1.2復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)由此明顯可見加法的結(jié)合律和交換律成立。商的定義n次冪應(yīng)用n次根號的應(yīng)用2.1.2復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定義一般地，當(dāng)z=x+iy在復(fù)平面上變化時，如果對于z的每一個值，都有一個或幾個復(fù)數(shù)值ω相對應(yīng)，那么稱ω為z的復(fù)變函數(shù)。寫作：ω=f〔z〕=u〔x，y〕+iv〔x，y〕為了更好的理解這個定義，我們需要了解以下概念：區(qū)域、鄰域、內(nèi)點、外點、境界線、閉區(qū)域、開區(qū)域等。2.1.2.2區(qū)域的定義區(qū)域：〔1〕點集中的每個點都是內(nèi)點〔2〕點集是連通的，即點集中的任何兩點都可以用一條曲線連接起來且線上的點全屬于該點集。閉區(qū)域：包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。開區(qū)域：不包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。鄰域：以Zo為圓心，以任意小正數(shù)ε為半徑作一圓，那么圓內(nèi)所有點的集合稱為Zo的鄰域。內(nèi)點：Zo及其鄰域均屬于點集E，那么該點叫作E的內(nèi)點。外點：Zo及其鄰域均不屬于點集E，那么該點叫作E的外點。境界線：假設(shè)Zo及其鄰域內(nèi)既有屬于E的點，也有不屬于E的點，那么該點為境界點，境界點的全體稱為境界線。2.1.2.3復(fù)變函數(shù)例2.1.3導(dǎo)數(shù)設(shè)是在z點及其鄰域定義的單值函數(shù).假設(shè)在z點存在，并且與的方式無關(guān)那么稱在z點可導(dǎo).可導(dǎo)的充要條件：u(x,y)和v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)，且滿足C-R條件?！颤c解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析；區(qū)域等同〕3復(fù)變函數(shù)的積分3.1.1復(fù)變函數(shù)的積分f(z)都用實部和虛部表出，所以復(fù)變函數(shù)的路積分有如下性質(zhì):1.常數(shù)因子可以移到積分號之外.2.函數(shù)的和的積分等于各個函數(shù)的積分的和.3.反轉(zhuǎn)積分路徑,積分變號.4.全路徑上的積分等于各段上積分之和.5.積分路徑不僅依賴于起點和終點還與積分路徑有關(guān).3.2.1柯西定理單通區(qū)域柯西定理〔無孔無洞〕復(fù)通區(qū)域柯西定理總結(jié)起來，柯西定理說的是閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為零，閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿著所有外境界線正方向積分為零，閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向積分之和。3.3.1不定積分假設(shè)函數(shù)F(z)在單通區(qū)域B上解析，那么沿B上任意一路L的積分的值只跟起點和終點有關(guān)而與路徑無關(guān)。記作3.4.1柯西公式例一、計算積分I,其中C為不經(jīng)過點0和1的正向曲線。 解：(1)如果0和1都不在C中，那么被積函數(shù)解析，因此,由Cauchy定理得I=0; (2)假設(shè)僅0在C內(nèi),函數(shù)在C上及C包圍的區(qū)域解析，由Cauchy積分公式，得到〔3〕假設(shè)僅1在C內(nèi),函數(shù)在C上及C包圍的區(qū)域解析，由Cauchy積分公式，得到 (4)假設(shè)0和1都在C內(nèi)，由Cauchy定理而在上及包圍的圓內(nèi)解析，同樣，在上及包圍的圓內(nèi)解析，故利用Cauchy積分公式，有上面的結(jié)果得 最后，我們有：其中D為曲線C包圍的區(qū)域。冪級數(shù)展開4.1.1復(fù)數(shù)項冪級數(shù)設(shè)有復(fù)數(shù)項的無窮級數(shù)柯西收斂判據(jù)成立，這就是說，復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充分必要條件是，對于任一給定的小正數(shù)，必有N存在，使得n>N時，P為任意正整數(shù)。4.2.1冪級數(shù)其都是復(fù)習(xí)常數(shù)，這樣的級數(shù)叫作以為中心的冪級數(shù)。應(yīng)用正項級數(shù)的比值判別法〔達(dá)朗貝爾判別法〕可知絕對收斂，引入記號R4.3.1泰勒級數(shù)展開定理設(shè)f(z)在以為圓心的圓解析，那么對圓內(nèi)任意z點，f(z)可展開為冪級數(shù),為圓內(nèi)包含且與同心的圓。4.4.1洛朗級數(shù)展開定理設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域解析，那么對圓環(huán)內(nèi)任意z點，f(z)可展開為冪級數(shù).其中，積分路徑為位于環(huán)內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。例1、求和在z=0鄰域的Taylor展開。故收斂半徑類似收斂半徑例2、在的鄰域?qū)⒄归_。解：其中于是例3、在的鄰域?qū)⒄归_解：5留數(shù)定理設(shè)函數(shù)在回路所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，那么5.1.1留數(shù)定理將洛朗級數(shù)逐項積分右邊各項除去的一項全是零，而的一項里的積分等于，于是而洛朗級數(shù)的項的系數(shù)，叫作函數(shù)在點的留數(shù)。通常記作，這樣，留數(shù)定理設(shè)函數(shù)f(z)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點設(shè)函數(shù)在回路所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，那么留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積分函數(shù)在的回路所圍區(qū)域上個孤立奇點留數(shù)之和。一階：M階：例1：求在其奇點的殘數(shù)。解：單極點2i,三階極點0z=2iz=0*例2或例3考一類。例2：解：例3：解：單極點，5.2.1應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分類型一被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式，積分區(qū)間是。作自變數(shù)代換那么類型二，積分區(qū)間是，復(fù)變函數(shù)在實軸上沒有奇點，在上半平面除有限個奇點外是解析的，當(dāng)z在上平面時，。那么類型三積分區(qū)間是，偶函數(shù)F(x),奇函數(shù)G〔x〕在實軸上沒有奇點，在上半平面除有限個奇點外是解析的。當(dāng)z在上平面時，。同理6傅里葉變換6.1.1傅里葉級數(shù)6.1.1.1周期函數(shù)的傅里葉展開假設(shè)函數(shù)以為周期，即=那么可取三角函數(shù)族作為根本函數(shù)族，將展開為級數(shù)=+〔2〕三角函數(shù)族正交，其中任意兩個函數(shù)的乘積在一個周期上的積分等于零，可以求得〔2〕中的展開系數(shù)為其中〔3〕狄里希利定理：假設(shè)函數(shù)滿足條件：〔1〕處處連續(xù)或在每個周期中只有有限個第一類間斷點；〔2〕在每個周期中只有有限個極值點那么級數(shù)〔2〕收斂，且級數(shù)和=〔4〕6.1.2.1奇函數(shù)及偶涵數(shù)的傅里葉展開1.假設(shè)周期函數(shù)是奇函數(shù)，那么由傅里葉的計算公式〔3〕可見及均等于零，展開〔2〕為=這叫做傅里葉正弦級數(shù)。由于對稱性，其展開系數(shù)為2.假設(shè)周期函數(shù)為偶函數(shù)那么展開式為=+這叫做傅里葉余弦級數(shù)。由于對稱性，其展開系數(shù)為=6.2.1傅里葉積分與傅里葉變換6.2.1.1實數(shù)形式的傅里葉變換設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，一般來說，它是非周期的，不能展為傅里葉級數(shù)。所以我們將非周期函數(shù)看作是某個周期函數(shù)于周期時的極限情形.這樣，的傅里葉級數(shù)展開式=+〔5〕引入不連續(xù)參量=〔=0,1,2，〕，=-=這樣〔5〕式稱為=+〔6〕傅里葉系數(shù)為對與系數(shù)，假設(shè)有限，那么=當(dāng)時〔5〕的余弦局部為正弦局部為于是〔5〕式的形式為=上式稱為傅里葉積分。其中此式稱為的福利葉變換式。6.2.1.2奇函數(shù)的傅里葉積分是傅里葉正弦積分=是的傅里葉正弦變換滿足條件偶函數(shù)的傅里葉積分是傅里葉余弦積分=是