專題21.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系-【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題21.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【名師點(diǎn)睛】根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=-p，x1x2=q，反過(guò)來(lái)可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．

（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：

①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．【典例剖析】【例1】（2022?豐臺(tái)區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，求m的值．【分析】（1）計(jì)算根判別式的值得到Δ＝（m﹣2）2，利用非負(fù)數(shù)的意義得到Δ≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+2＝0，解關(guān)于m的方程即可求解．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×（m+1）＝m2+4m+4﹣4m﹣4＝m2≥0，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意得m+2＝0，解得m＝﹣2，故m的值為﹣2．【變式】（2021秋?攸縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0．（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2，且x12﹣x1x2＝0，求k的值．【分析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根得出Δ＝22﹣4×1×（k﹣1）＝﹣4k+8≥0，解之可得．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系及條件可得x1＝k﹣1＝0，代入原方程可得k的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即22﹣4×1×（k﹣1）＝﹣4k+8≥0，解得k≤2．（2）∵原方程的兩實(shí)數(shù)根為x1和x2，∴x12﹣2x1+k﹣1＝0，x1x2＝k﹣1，∴x12＝2x1﹣k+1，∵x12﹣x1x2＝0，∴2x1﹣k+1﹣（k﹣1）＝0，∴x1＝k﹣1，代入方程可得（k﹣1）2﹣2（k﹣1）+k﹣1＝0，∴k＝1或k＝2．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于x的方程x2﹣5x+a＝0有一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是（）A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣7【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝5，從而可求解．【解答】解：∵設(shè)方程x2﹣5x+a＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x1+x2＝5，∵x的方程x2﹣5x+a＝0有一個(gè)根是2，∴2+x2＝5，解得：x2＝3．故選：B．2．（2022春?眉山期中）下列一元二次方程中，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為2是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x2﹣2x+2022＝0 C．x2﹣2x﹣2022＝0 D．x2+2x﹣2＝0【分析】根據(jù)根的判別式的意義對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)C、D進(jìn)行判斷．【解答】解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．Δ＝（﹣2）2﹣4×2022＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．方程x2﹣2x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為2，所以C選項(xiàng)符合題意；D．方程x2+2x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為﹣2，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．（2020?潮陽(yáng)區(qū)一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的兩個(gè)根，則x1?x2等于（）A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的兩個(gè)根，∴x1?x2＝﹣1．故選：C．4．（2021?潮南區(qū)校級(jí)一模）設(shè)a，b是方程x2+x﹣2021＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A．0 B．1 C．2021 D．2020【分析】由一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，可得出a2+a＝2021、a+b＝﹣1，將其代入a2+2a+b＝a2+a+（a+b）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴a2+a＝2021，a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2021﹣1＝2020．故選：D．5．（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2m2+5m+n的值等于（）A．2019 B．2018 C．2021 D．2020【分析】根據(jù)題意，得2m2+4m﹣2021＝0，進(jìn)一步可得2m2+4m＝2021，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n＝﹣2，即可求出代數(shù)式的值．【解答】解：根據(jù)題意，得2m2+4m﹣2021＝0，∴2m2+4m＝2021，∵m+n＝﹣＝﹣2，∴2m2+5m+n＝2021﹣2＝2019，故選：A．6．（2022?敘永縣模擬）設(shè)a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+b的值為（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b＝1，結(jié)合a2﹣a﹣2021＝0，可得a2+b＝a+b+2021，即可得出答案．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b＝1，a2﹣a﹣2021＝0，即a2＝a+2021，∴a2+b＝a+b+2021＝1+2021＝2022．故選：A．7．（2022?金平區(qū)一模）若p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的兩個(gè)根，則p2+3p﹣q的值是（）A．6 B．9 C．12 D．13【分析】把x＝p代入方程求出p2+4p的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出p+q的值，原式變形后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的兩個(gè)根，∴p+q＝﹣4，p2+4p﹣9＝0，即p2+4p＝9，則原式＝（p2+4p）﹣（p+q）＝9﹣（﹣4）＝9+4＝13．故選：D．8．（2022?姑蘇區(qū)一模）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，菱形的兩邊AB、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB＝BC，利用根的判別式Δ＝0可求出m值．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝0，解得m1＝m2＝1．故選B．9．（2022春?東陽(yáng)市校級(jí)月考）若關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B． C．k＜﹣且k≠﹣1 D．k≤﹣且k≠﹣1【分析】利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．【解答】解：依題意得：，解得：k≤﹣且k≠﹣1．故選：D．10．（2021?瀘縣模擬）已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）與一元一次方程dx+e＝0有一個(gè)公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（）A．a(chǎn)（x1﹣x2）＝d B．a(chǎn)（x2﹣x1）＝d C．a(chǎn)（x1﹣x2）2＝d D．a(chǎn)（x2﹣x1）2＝d【分析】由x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0與dx+e＝0的一個(gè)公共解，可得x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一個(gè)解．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x1＝﹣，整理后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0與關(guān)于x的一元一次方程dx+e＝0有一個(gè)公共解x＝x1，∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一個(gè)解．∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0，∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0，∵有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴x1+x1＝﹣，整理得：d＝a（x2﹣x1）．故選：B．二．填空題（共6小題）11．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）設(shè)m、n分別為一元二次方程x2+2x﹣13＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n的值為﹣2．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知兩根之和等于﹣，即可求出m+n的值．【解答】解：∵m、n分別為一元二次方程x2+2x﹣13＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n＝﹣2．故答案為：﹣2．12．（2022?秦淮區(qū)二模）寫出一個(gè)一元二次方程，使它的兩根之和是4，并且兩根之積是2：x2﹣4x+2＝0．【分析】設(shè)此一元二次方程為x2+px+q＝0，根據(jù)兩根之和是4，兩根之積是2，求出p、q的值即可．【解答】解：設(shè)此一元二次方程為x2+px+q＝0，∵它的兩根之和是4，兩根之積是2，∴﹣p＝4，q＝2，∴p＝﹣4，∴這個(gè)方程為：x2﹣4x+2＝0．故答案為：x2﹣4x+2＝0．13．（2022?南京二模）設(shè)x1、x2是方程x2﹣mx＝0的兩個(gè)根，且x1+x2＝﹣3，則m的值是﹣3．【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝m，而x1+x2＝﹣3，所以m＝﹣3．故答案為：﹣3．14．（2022?贛州模擬）已知x1、x2是方程x2﹣mx+2＝0的兩個(gè)根x1＝2，則2m﹣5x1?x2＝﹣4．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得2+x2＝m，2x2＝2，則可求出x2＝1，m＝3，然后代入2m﹣5x1?x2中計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝m，x1x2＝2，即2+x2＝m，2x2＝2，解得x2＝1，m＝3，所以2m﹣5x1?x2＝2×3﹣5×2＝﹣4．故答案為：﹣4．15．（2021?婁底模擬）若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于2029．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12﹣4x1＝2021，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）計(jì)算可得．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，則原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2021+2×4＝2021+8＝2029．故答案為：2029．16．（2021?通州區(qū)模擬）若x1，x2是方程x2＝2x+2021的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值為4042．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12﹣2x1＝2021，x1+x2＝2，代入原式＝2021（x1+x2）＝2021×2＝4042．【解答】解：∵x1，x2是方程x2＝2x+2021的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝2，x12﹣2x1＝2021，則原式＝2021x1+2021x2＝2021（x1+x2）＝2021×2＝4042．故答案為：4042．三．解答題（共4小題）17．（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，則由x1+x2+2x1x2＝3得到﹣（m+2）+2m＝3，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，∴無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，∵x1+x2+2x1x2＝3，∴﹣（m+2）+2m＝3，解得m＝5，即m的值為5．18．（2022春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若兩實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，且，求m的值．【分析】（1）根據(jù)題意可得Δ＞0，繼而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且，可得方程m2+2m﹣3＝0，解關(guān)于m的方程求得答案．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，即m＞﹣1；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2＝2，x1?x2＝﹣m，∵，∴x12+x22+（x1x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x1x2）2＝7，∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或m＝1，而m＞﹣1，∴m的值為1．19．（2021秋?麥積區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若此方程的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．【分析】（1）利用根的判別式的意義得到Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，然后解不等式得到m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，再利用完全平方公式把（x1﹣x2）2+m2＝13變形