競賽講座 04平面幾何證明

競賽專題講座04－平面幾何證明[競賽知識(shí)點(diǎn)撥]1．線段或角相等的證明（1）利用全等△或相似多邊形；（2）利用等腰△；（3）利用平行四邊形；（4）利用等量代換；（5）利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系（6）利用圓中的等量關(guān)系等。2．線段或角的和差倍分的證明（1）轉(zhuǎn)化為相等問題。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證明a=p，即所謂“截長補(bǔ)短”，角的問題仿此進(jìn)行。（2）直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。3．兩線平行與垂直的證明（1）利用兩線平行與垂直的判定定理。（2）利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰△的“三線合一”可證明垂直。（3）利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等?！靖傎惱}剖析】【例1】從⊙O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于CD，連結(jié)BE交CD于F。求證：BE平分CD?！痉治?】構(gòu)造兩個(gè)全等△。連結(jié)ED、AC、AF。CF=DF←△ACF≌△EDF←←←∠PAB=∠AEB=∠PFB【分析2】利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)OF、OP、OB?！螾FB=∠POB←←注：連結(jié)OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點(diǎn)共圓亦可?！纠?】△ABC內(nèi)接于⊙O，P是弧AB上的一點(diǎn)，過P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT?！痉治觥恐恍枳C，PM·PN=MS·NT。（∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN→→PM·PN=AM·BN（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA→→MS·NT=AM·BN【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：∠O1AO2=∠M1AM2?！痉治觥吭O(shè)B為兩圓的另一交點(diǎn)，連結(jié)并延長BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點(diǎn)，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM為M1M2的中垂線。在O1M上截取MO3=MO2，則∠M1AO3=∠M2AO2。故只需證∠O1AM1=∠O3AM1，即證。由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：AE=?！痉治觥糠椒?、2AE=AB-AC←在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結(jié)DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA←DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC←∠DFA=∠DAF=∠DAG。方法2、延長CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG←連結(jié)DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG←DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠?！纠?】∠ABC的頂點(diǎn)B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過BA與圓的交點(diǎn)K引∠ABC平分線的垂線，交⊙O于P，交BC于M。求證：線段PM為圓心到∠ABC平分線距離的2倍?！痉治觥咳艚瞧椒志€過O，則P、M重合，PM=0，結(jié)論顯然成立。若角平分線不過O，則延長DO至D‘，使OD’=OD，則只需證DD‘=PM。連結(jié)D’P、DM，則只需證DMPD‘為平行四邊形。過O作m⊥PK，則DD’,KP，∴∠D‘PK=∠DKPBL平分∠ABC，MK⊥BL→BL為MK的中垂線→∠DKB=∠DMK∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’D∥PM，∴DMPD‘為平行四邊形。【例6】在△ABC中，AP為∠A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BH⊥AP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB?！痉治觥糠椒?、結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。倍長中線：延長AM至M’，使AM=MA‘，連結(jié)BA’，如圖6-1。PQ∥AB←←←←∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)=180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ方法2、結(jié)合角平分線和BH⊥AH聯(lián)想對稱知識(shí)。延長BH交AC的延長線于B’，如圖6-2。則H為BB‘的中點(diǎn)，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，連結(jié)HM，則HM∥B/C。延長HM交AB于O，則O為AB的中點(diǎn)。延長MO至M’，使OM‘=OM，連結(jié)M’A、M‘B，則AM’BM是平行四邊形，∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，，所以PQ∥AB?！纠?】菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求證：MQ∥NP。（95年全國聯(lián)賽二試3）【分析】由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，結(jié)合∠A=∠C知，只需證△AMQ∽△CPN←，AM·CN=AQ·CP。連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ?！唷螧ON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是，∴AM·CN=AO·CO同理，AQ·CP=AO·CO。【例8】ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KP⊥AB?！痉治觥垦娱LKP交AB于L，則只需證∠PAL+∠APL=90°，即只需證∠PDC+∠KPC=90°，只需證∠PDC=∠PKF，因?yàn)镻、F、K、E四點(diǎn)共圓，故只需證∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。←←←△DME∽△CNF【例9】以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點(diǎn)M。求證：AM⊥BC?！痉治觥窟B結(jié)BE、CD交于H，則H