多邊形的內(nèi)角和2

多邊形的內(nèi)角和(一)思考三角形的內(nèi)角和等于180。。正方形、長方形的內(nèi)角和都等于360。，其他四邊形的內(nèi)角和等于多少？(二)探究任意畫一個(gè)四邊形，量出它的4個(gè)內(nèi)角，計(jì)算它們的和。再畫幾個(gè)四邊形,量一量，算一算。你能得出什么結(jié)論?能否利用三角形內(nèi)角和等于180°得出這個(gè)結(jié)論？-8,畫出任意一個(gè)四邊形的一條對角線，都能將這個(gè)四邊形分為兩個(gè)三角形。這樣，任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和，都等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，即360°。圖7.3-8—9,請?zhí)羁眨簭奈暹呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對角線，它們將五邊形分為個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°X。從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對角線，它們將六邊形分為個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°Xo通過以上問題，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢?請?zhí)羁眨簭膎邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對角線，它們將n邊形分為個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°Xo總結(jié)：過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以做(n-3)條對角線，將多邊形分成(n-2)個(gè)三角形，每個(gè)三角形內(nèi)角和180°。所以n邊形內(nèi)角和(n-2)X18O00把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形，還有其他分法嗎？由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎？方法2：如圖：7—3—3過n邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與n邊形各頂點(diǎn)連接，可得n個(gè)三角形，其內(nèi)角和nX180。。再減去以。為頂點(diǎn)的周角。即得n邊形內(nèi)角和n?180。-360°。圖7-3-3得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于(n-2)-180°0(三)例題例1如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角有什么關(guān)系?—10,四邊形ABCD中，ZA+ZC=180°o因?yàn)镹A+NB+NC+ND=(4—2)X180°=360°,所以NB+ND=360。-(ZA+ZC)=360°-180°=180°o這就是說，如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角也互補(bǔ)。-11,在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和。六邊形的外角和等于多少？分析：考慮以下問題：(1)任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？(2)六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少?(3)上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？聯(lián)系這些問題，考慮外角和的求法。解：六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180。。6個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角，共有12個(gè)角。這些角的總和等于6X180。。這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和。所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6義180°-（6-2）X1800=2X180°=360°。（四）探究如果將例2中六邊形換為n邊形（n的值是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結(jié)果嗎？思路：（用計(jì)算的方法）設(shè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為Nl,Z2,Z3,……，Zn,其相鄰的外角分別為180°-Z1,180°-Z2,180°-Z3,-180°—Nn。外角和為（180°-Z1）+（180°-Z2）HF（180°-Zn）=nX180°—（Z1+Z2+Z3++Zn）=nX180°—（n-2）X180°=360°注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基本思想。由上面的探究可以得到：多邊形的外角和等于360°。你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°o-12,從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A,然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外