第4講 專題一 全等三角形常見幾何模型（解析版）

專題一全等三角形的模型（解析版）專題解讀：全等三角形指能夠完全重合的兩個三角形，它們的三條邊三個角都對應(yīng)相等，全等三角形是幾何類型中研究的全等之一，當題目中出現(xiàn)角平分線，重點或中線，三條線段之間的關(guān)系，垂直平分線等條件時，可以考慮作輔助線構(gòu)造全等三角形。類型一角平分線模型模型描述：OF是∠AOB的平分線，如圖（1）若PC⊥OA，PD⊥OB，則△PCO≌△PDO；如圖（2）若OC＝OD，則△PCO≌△PDO（2）典例1如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．【思路引領(lǐng)】在線段BC上截取BE＝BA，連接DE，由角平分線的定義可得出∠ABD＝∠EBD，結(jié)合AB＝EB、BD＝BD即可證出△ABD≌△EBD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AD＝ED、∠A＝∠BED，由AD＝CD可得出ED＝CD，進而可得出∠DEC＝∠C，再根據(jù)鄰補角互補即可得出∠BED+∠DEC＝180°，進而可證出∠A+∠C＝180°．證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE，如圖所示．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD．在△ABD和△EBD中，AB=EB∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED．∵AD＝CD，∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及鄰補角，根據(jù)全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合鄰補角互補找出∠A+∠C＝180°是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練1．（2019秋?臨西縣期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N．求證：AP平分∠MAN．【思路引領(lǐng)】作PD⊥BC于點D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根據(jù)角平分線的判定定理證明即可．證明：作PD⊥BC于點D，∵BP是△ABC的外角平分線，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【點睛】本題考查的是角平分線的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?禪城區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E點．（1）求∠EDA的度數(shù)；（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．【答案】（1）58°；（2）108．【思路引領(lǐng)】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAE的度數(shù)，最后根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，即可求解；（2）過點D作DF⊥AC于點F，根據(jù)AD是△ABC的角平分線，DF⊥AC，DE⊥AB，得出DF＝DE＝6，最后個根據(jù)S△ABC＝S△ACD+S△ABD即可求解．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣76°＝64°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠DAE=1∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°﹣∠DAE＝58°．（2）過點D作DF⊥AC于點F，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AC，DE⊥AB，∴DF＝DE＝6，∴S△ABC【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180°，角平分線上的點到兩邊的距離相等．類型二三垂直模型模型描述：有下面三種情況典例2如圖（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，（1）試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若將CD沿CB方向平移得到圖（2）（3）（4）（5）的情形，其余條件不變，此時第（1）問中AC與CE的位置關(guān)系還成立嗎？結(jié)論還成立嗎？請任選一個說明理由．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)題意推出△ABC≌△CDE，即可推出AC⊥CE；（2）結(jié)論成立，如圖2，根據(jù)已知推出△ABC1≌△C2DE，即可推出結(jié)論．解：（1）AC⊥CE．理由：如圖一，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，又AB＝CD，BC＝DE，∴△ABC≌△CDE，∴∠A＝∠DCE，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°，∴AC⊥CE；（2）不變．理由：如圖二，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，又AB＝C2D，BC1＝DE，∴△ABC1≌△C2DE，∴∠A＝∠EC2D，又∠A+∠AC1B＝90°，∴∠EC2D+∠AC1B＝90°，∴∠AME＝90°，∴AC1⊥EC2．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，平移的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求證相關(guān)三角形全等．針對訓(xùn)練1．（2021秋?海豐縣期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）試探究線段AD，DE，BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）AD＝BE+DE．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)同角的余角相等，可證∠BCE＝∠CAD，再利用AAS證明△ACD≌△CBE；（2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出結(jié)論．（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，AD＝CE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟悉基本幾何圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?柘城縣期中）已知△ABC在平面直角坐標系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如圖①，已知點A（0，﹣4），B（1，0），求點C的坐標；（2）如圖②，已知點A（0，0），B（3，1），求點C的坐標．【答案】（1）（﹣3，1）；（2）（2，4）．【思路引領(lǐng)】（1）過點C作x軸的垂線，交x軸于點D，利用AAS證明△BCD≌△ABO，得CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，可得答案；（2）過B作x軸的垂線，交x軸于點D，過點C作DB的垂線交DB的延長線于點E，利用AAS證明△ABD≌△BCE，得CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，可得答案．解：（1）過點C作x軸的垂線，交x軸于點D，∵A（0，﹣4），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，∴∠CBD+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，∴△BCD≌△ABO（AAS），∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，∴OD＝3，∴點C坐標為（﹣3，1）；（2）過B作x軸的垂線，交x軸于點D，過點C作DB的垂線交DB的延長線于點E，∵A（0，0），B（3，1），∴OD＝3，BD＝1，∵∠ABC＝90°，∠ADB＝90°，∴∠CBE+∠OBD＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，∴DE＝4，∴點C的橫坐標為3﹣1＝2，∴點C坐標為（2，4）．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，利用一線三等角構(gòu)造k型全等是解題的關(guān)鍵．類型三半角模型模型描述：半角模型常見的圖形有正方形，正三角形等。一般解題思路為：1.通過旋轉(zhuǎn)，將半角或組合成為半角的兩邊的兩個三角形合并成新的三角形；2.證明信三角形與半角形成的三角形全等；3.通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。典例3如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點，∠MAN＝45°．求證：MB+ND＝MN．【思路引領(lǐng)】根據(jù)正方形的性質(zhì)利用SAS判定△AHB≌△AND，得到AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，再利用SAS判定△AHM≌△ANM，得到HM＝MN，因為HM＝HB+BM＝DN+BM，所以MB+ND＝MN．證明：延長MB至H，使BH＝DN，連接AH，∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABH＝∠BAD＝∠D＝90°．∵BH＝DN，∴△AHB≌△AND（SAS）．∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD．∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°．∴∠HAM＝∠MAN．∵AH＝AN，AM＝AM，∴△AHM≌△ANM（SAS）．∴HM＝MN．∵HM＝HB+BM＝DN+BM，∴MB+ND＝MN．【點睛】此題有點復(fù)雜，主要考查了學(xué)生對正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的綜合運用．針對訓(xùn)練1．（2021春?北碚區(qū)校級期末）如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC，EB為其對角線，EA＝ED．（1）如圖1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求證：CE平分∠BCD；（2）如圖2，∠A與∠D互補，∠DEA＝2∠CEB，若凸五邊形ABCDE面積為30，且CD=23AB＝4．求點E到【答案】（1）證明見解析部分．（2）3．【思路引領(lǐng)】（1）延長CD到T，使得DT＝BA，連接ET．證明△EAB≌△EDT（SAS），△ECB≌△ECT（SSS），可得結(jié)論．（2）延長CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，過點E作EH⊥BC于H．證明△AEB≌△DEQ（ASA），△ECB≌△ECQ（SAS），由題意S五邊形ABCDE＝S四邊形EBCQ＝2S△EBC＝30，推出S△EBC＝15，再利用三角形面積公式求出EH即可．（1）證明：延長CD到T，使得DT＝BA，連接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，AE=DE∠A=∠EDT∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，EC=ECEB=ET∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD，∴CE平分∠BCD．（2）解：延長CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，過點E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，∠AEB=∠DEQEA=ED∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴