內(nèi)蒙古赤峰市紅山區(qū)赤峰第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

赤峰四中橋北新校20232024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ（非選擇題）兩部分，考生作答時，請將第一卷選擇題的答案用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后重新填涂；將第Ⅱ卷非選擇題的答案用黑色中性筆答在答題卡指定答題區(qū)域內(nèi)，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保留.2.本試卷共150分，考試時間120分鐘.命題人：馬秀芝審題人：張曉麗第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線的斜率，由傾斜角的正切值等于斜率結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】由可得：，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，因，所以，故選：A2如圖，平行六面體中，與交于點，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的加法、減法法則化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.3.若直線與圓相切，則b的值是（）A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到圓心和半徑，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可得到b的值.【詳解】由得圓的圓心坐標為半徑為1，因為直線與圓相切，所以或.故選：D.4.若方程表示圓，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把給定方程配方化成圓的標準方程形式即可計算作答.【詳解】方程化為：，因方程表示圓，于是得，解得，所以的取值范圍是：.故選：A5.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用可求得的值，利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為，則，解得或.當時，直線的方程可化為，直線的方程可化為，此時兩直線重合，不合乎題意.當時，直線的方程可化為，直線的方程可化為，此時，，合乎題意.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.6.如圖，在正方體中，分別為棱，，的中點，則與MN所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)出正方體邊長為2，從而利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為2，則，故，則與MN所成角的余弦值為.故選：A7.已知直線，，則與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，與間的距離為.故選：A.8.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心距，再結(jié)合圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求解.【詳解】因為圓的圓心為，圓的圓心為，所以兩圓的圓心距為．因為圓的半徑為，圓的半徑為，所以圓心距等于兩圓的半徑和，故兩圓外切．故選：D.二、多選題（共4題，每題5分，全對5分，有錯誤選項0分，選對1個或部分選項2分）9.經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)截距的定義，分類討論截距均為0和截距均不為0的情況，計算可得答案.【詳解】若直線在兩坐標軸上的截距均為0，則直線的方程為，A正確；若直線在兩坐標軸上的截距不為0，可設(shè)直線的方程為，將代入方程得，則直線的方程為，C正確.故選：AC10.已知圓：，則下列說法正確的是（）A.點在圓M內(nèi) B.圓M關(guān)于對稱C.半徑為 D.直線與圓M相切【答案】BD【解析】【分析】A選項，代入點坐標，大于0，表示點在圓外；B選項，圓心在直線上，故關(guān)于直線對稱；C選項，配方后得到圓的半徑；D選項，利用點到直線距離進行求解.【詳解】整理得：，∵，時，∴點在圓M外，A錯；∵圓心M在直線上，∴圓M關(guān)于對稱，B對；∵圓M半徑為1，故C錯；∵圓心到直線的距離為，與半徑相等，∴直線與圓M相切，D對.故選：BD.11.(多選)直線x＋y－1＝0上與點P(－2，3)距離等于的點的坐標是（）A.(－4，5) B.(－3，4)C.(－1，2) D.(0，1)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)兩點間的距離公式求得正確選項.【詳解】設(shè)所求點的坐標為，則，解得或，所以所求點的坐標為或.故選：BC12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)24，棱長為的半正多面體，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（）A.該半正多面體的表面積為B.平面C.若為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為D.點到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合正方體的幾何性質(zhì)，可得AB的正誤，建立空間直角坐標值，利用線線角與點面距的公式，可得CD的正誤.【詳解】由題意，可作圖如下：對于A，由圖可知，該阿基米德體的定點分為為正方體各棱的中點，則其是由六個正方形和八個正三角形組成的，所以該立體圖形的表面積，故A錯誤；對于B，由圖可知，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面，故B正確；建立空間直角坐標系，如下圖：對于C，由阿基米德體的棱長為，可知圖中正方體的棱長為，則，，，，取，，設(shè)異面直線的夾角為，則，故C正確；對于D，有圖可知，，，，在平面內(nèi)取，，設(shè)平面的法向量，由，可得，化簡可得，令，則，，所以平面的一個法向量，取設(shè)點到平面的距離，故D錯誤.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（共4個題，每個5分）13.圓的圓心到直線的距離__________.【答案】1【解析】【分析】由題意首先確定圓心坐標，然后利用點到直線距離公式可得圓心到直線的距離.【詳解】圓的方程即：，則圓心坐標為，圓心到直線的距離.故答案為1．【點睛】本題主要考查由圓的方程確定圓心的方法，點到直線距離公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14.平行六面體中，，且，，，則等于______.【答案】5【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為向量則有,利用向量的平方以及數(shù)量積化簡求解,由此能求出線段的長度．【詳解】平行六面體中,,即向量兩兩的夾角均為,則因此.故答案為:5.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積和模在求解距離中的應(yīng)用,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的能力,難度一般.15.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______【答案】【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量為,，計算即可求出答案．【詳解】向量，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為,,0,,0,，故答案為：．16.在平面直角坐標下中，有四個定點及一個動點，則的最小值為______________．【答案】【解析】【分析】這兩道題給出的都是平面上四個定點，求一個動點到這四個定點的距離之和的最小值及成立的條件即此動點的位置，這兩題中給出的四個定點雖然坐標不同但是將這四點連接后都構(gòu)成了平面內(nèi)的一個凸四邊形，∴此題拋去平面坐標系后的命題立意即為在平面內(nèi)找一點使得其到一個凸四邊形的四個頂點的距離最小及最小值是多少．（當且僅當點位于線段上時取等號），（當且僅當點位于線段上時取等號），（當且僅當點位于線段與的交點時取等號），即當?shù)剿狞c距離最小時，點的坐標即為直線與直線的交點，，即的最小值為．四、解答題（17題10分，1822題每個12分）17.求出滿足下列條件的直線方程.（1）經(jīng)過點且與直線垂直；（2）經(jīng)過點且與直線平行.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系求得斜率，從而寫出方程；（2）由平行關(guān)系求得斜率，從而寫出方程；【詳解】解：（1）因為所求的直線與直線垂直，所以所求的直線的斜率為3.又直線經(jīng)過點，所以該直線方程為，即.（2）因為所求的直線與直線平行，所以所求的直線的斜率為2.又直線經(jīng)過點，所以該直線方程為，即.18.已知的三個頂點分別為、、．求：（1）邊所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）邊上的中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直線方程的點斜式，即可求解；（2）利用兩直線垂直得到，即可得到高所在直線斜率，利用直線方程的點斜式，即可求解.（3）求出邊上的中點D坐標，利用兩點的坐標，即可求出直線方程；【小問1詳解】因為、，故，邊AC所在直線的方程為：，即為：，【小問2詳解】由（1）知，故所以AC邊上的高所在直線的斜率為，又，故為：，即；【小問3詳解】設(shè)AC邊上的中點為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即.19.如圖，在長方體中，，．點E在上，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出，，的坐標，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系因為，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面【小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．20.已知圓C經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，直線l的方程為.（1）求圓C的方程；（2）證明：直線l與圓C恒相交．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)圓C的方程為，利用待定系數(shù)法可得答案；（2）由直線方程特點可得直線l過定點，且在圓內(nèi)可判斷直線和圓的位置關(guān)系.【小問1詳解】設(shè)圓C的方程為，由條件得，解得，所以圓C的方程為；【小問2詳解】由，得，令得，即直線l過定點，由，知點在圓內(nèi)，所以直線l與圓C恒相交．21.在直三棱柱中，，，點，分別為，的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.（1）先求出相關(guān)直線的方向向量，再計算數(shù)量積來證明垂直；（2）求出平面一個法向量，再利用向量夾角公式即可求出夾角；（3）利用點到面的距離公式即可求解.【小問1詳解】以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.，，，，，，，∵，∴∴∴；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，由令，則，∴平面的一個法向量為由設(shè)直線與平面所成角為∴直線與平面所成角為；【小問3詳解】點到平面的距離.22.已知圓內(nèi)有一點，過點P作直線l交圓C于A，