2022年江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)U=R,已知兩個(gè)非空集合，P,。滿足（CuP）UQ=R，則下列說法正確的是

（）

A.“尤P”是“XGQ”的充分條件

B.uxEPn是“xeQ”的必要條件

C.“狂尸”是“X6Q”的充要條件

D.“X6P”既不是“x€Q”的充分條件也不是“x€Q”的必要條件

X2V2

2.（5分）已知雙曲線"一*=1（4>0,6>0）,且其一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,則雙曲

a21）2

線的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.V7

3.（5分）函數(shù)尸加cosx,xG（一IT名T-C）的圖象可能是（）

4.（5分）已知△A8C是面積為9%的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球。

的表面積為64TT,則球心O到平面ABC的距離為（）

A.2V3B.3C.2D.V3

5.（5分）已知函數(shù)/（x）=-4sin2x+4sinA-,xG[0,a]的值域?yàn)閇0,1],則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為（）

71717157r71571

A.[-,-]B.—]C.[―,n]D.[—,TT]

6.（5分）如圖，由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)晶=3AH,

則下列關(guān)系正確的是（）

第1頁共20頁

DC

AB

Q2T

A.AE=-^ABB.ATE=^9ATB-V3^ATD

C.ATE=^4ATB+^3ATDD.ATE=^4ATB+^2ATD

7.(5分)己知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=

g(2%,c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a〈b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

ITT

8.(5分)若對(duì)于任意tE[l,2],函數(shù)/.(x)=x3+(―4-2)/-2x在區(qū)間(f,3)上總不

為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

47473737

A.(—■9)B.(—2-,■5)C.[—J*,-9JD.[—g*,-9J

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

(多選)9.(5分)1859年，我國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭將“力〃一詞譯成“函數(shù)”，并給

出定義：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)”.下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的說法正確的是

()

A.若/(-2)=/(2),則函數(shù)/(X)是偶函數(shù)

B.若定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)

遞增，則函數(shù)在R上是增函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇a,b],a<c<h,若/(x)在[a,c)上是增函數(shù)，在[c,

句上是減函數(shù)，則/(x)，皿=/(c)

D.對(duì)于任意的XI，X2&(0,+8),函數(shù)/(X)=/gx滿足’(久W/(9；2)

(多選)10.(5分)十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)

界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a>0,匕>0,則下面結(jié)論正確的有

()

第2頁共20頁

14a

A-互+/4,則〃+后4

>Ja2+b2y/2

B.---------<一

a+b2

C.若a+b=2,則必有最大值1

D.若他+廿=2,貝Ua+624

（多選）11.（5分）已知復(fù)數(shù)zo=2+i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Po,復(fù)數(shù)z

滿足|z-l|=|z-!|,下列結(jié)論正確的是（）

A.Po點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）

B.復(fù)數(shù)zo的共物復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)Po關(guān)于虛軸對(duì)稱

C.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在一條直線上

D.Po與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P間的距離的最小值為日

（多選）12.（5分）已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“下列說法正確的是（）

A.若S“=/+2,則｛即｝是等差數(shù)列

B.若則｛〃”｝是等比數(shù)列

C.若｛“”）是等差數(shù)列，則511=1146

D.若｛斯｝是等比數(shù)列，且ai>0,<7>0,則S-S3>S22

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知角a滿足sin（a—5）=4,則sin（2a+?）=.

b4o

14.（5分）已知/（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=2阮什/,則曲線y=/（x）在點(diǎn)（-

1,/（-D）處的切線方程是.

15.（5分）已知拋物線C：/=2px（p>0）直線/過拋物線C的焦點(diǎn)與拋物線交于A,B

兩點(diǎn)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是M（-2,-2）,則直線/的斜率k

16.（5分）若關(guān)于x的不等式^7對(duì)于任意的在（0,+-）恒成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在平面四邊形A8CO中，AB±AD,AB=2,AD=2W,BC=2A/2.

（1）若C￡>=2+2V5,求四邊形48CD的面積；

不反冗27r

（2）若sin/8c￡>=—^―,ZADCG（―,—）,求sinNAQC.

563

第3頁共20頁

18.（12分）在①3s"+i=S“+l,②。2=3，③2S”=1-3處+1這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在

下面問題中，并給出解答.

已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為S”滿足,:正項(xiàng)等差數(shù)列｛為｝滿足4=2,且從，

力-1,3成等比數(shù)列.

（1）求｛即｝和｛兒｝的通項(xiàng)公式；

（2）若cn=a”兒,求數(shù)列｛c“的前〃項(xiàng)和T”.

19.（12分）如圖1,在直角梯形ABCC中，AB//DC,ZD=90°,AB=4,DC=6,AD=

2V3,CE=2ED.如圖2,以8E為折痕將△8CE折起，使點(diǎn)C到達(dá)Ci的位置，且

=2佩

（1）證明：平面BCiE_L平面ABED；

（2）求直線EG與平面AGO所成角的正弦值.

20.（12分）為滿足人民群眾便利消費(fèi)、安全消費(fèi)、放心消費(fèi)的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)管理

部門規(guī)劃建筑總面積為2400m2的新型生鮮銷售市場(chǎng).市場(chǎng)內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類

店面共80間.每間蔬菜水果類店面的建筑面積為30層，月租費(fèi)為x萬元；每間肉食水

產(chǎn)類店面的建筑面積為18m2,月租費(fèi)為0.8萬元.全部店面的建筑面積不低于總面積的

80%,又不能超過總面積的85%.

（1）兩類店面間數(shù)的建造方案為多少種？

（2）市場(chǎng)建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建造方案平均每間店面月租費(fèi)不低

于每間蔬菜水果類店面月租費(fèi)的90%,求每間蔬菜水果類店面的月租費(fèi)x最大為多少萬

元？

x2y2

21.（12分）已知橢圓C：—4-^=1（。＞匕＞0）,點(diǎn)A（-2,0）,B（2,0）分別為橢圓

a2b2

C的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是左準(zhǔn)線/：x=-4上的動(dòng)點(diǎn)（不在x軸上）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

第4頁共20頁

(2)若點(diǎn)M,N是橢圓C上非頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且扇=入易，PN=[iPB,求證：直線

A/N過定點(diǎn).

22.(12分)已知函數(shù)f(x)—axlnx+j?-1.

(1)若。=2,判斷集合A={x/(x)=0}與集合8={x，(x)-4x+4W0}是否相等，并

證明；

(2)若函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)XI，X2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

第5頁共20頁

2022年江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)。=凡已知兩個(gè)非空集合，P,。滿足（CuP）UQ=R,則下列說法正確的是

（）

A."xeP'是“XGQ”的充分條件

B.“狂尸”是“X6Q”的必要條件

C.“x€P”是“x€Q”的充要條件

D.“X6P”既不是“X6Q”的充分條件也不是“X6Q”的必要條件

【解答】解：因?yàn)閁=R,非空集合尸，。滿足（CuP）UQ=R,

所以P是Q的子集，即PUQ,

所以正尸是x€Q的充分條件，

故選:A.

x2y2

2.（5分）已知雙曲線J=1（“>0,b>0）,且其一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,則雙曲

a1t）z

線的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.V7

【解答】解：???漸近線的方程是y=±L,一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,

a

b—2。,

：.c=\a24-b2=aa,

/.e--a=V5,

故選：C.

ITTC

3.（5分）函數(shù)尸/"COM,xe（一$-）的圖象可能是（）

第6頁共20頁

TT7T

【解答】解：函數(shù)y=/〃cosx,（-才-）是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)8,D.

?rrTC_7T

因?yàn)楹瘮?shù)y=/〃cosx,xG（-天-）是復(fù)合函數(shù)，（0,-）是減函數(shù)，

排除選項(xiàng)C.

故選：A.

4.（5分）已知aABC是面積為98的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球0的球面上，若球O

的表面積為64m則球心。到平面ABC的距離為（）

A.2V3B.3C.2D.V3

【解答】解：由題意可知圖形如圖：ZVIBC是面積為9b的等邊三角形,可得更AB?=9?

4

：.AB=BC=AC=6,

可得：AOi=，x孚x6=2百，

球。的表面積為64n,

外接球的半徑為：R;所以41次2=64冗，解得R=4,

所以O(shè)到平面ABC的距離為：J42-（28）2=2.

5.（5分）已知函數(shù)f（x）=-4sin2x+4sinx,x6[0,5的值域?yàn)閇0,1],則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為（）

7T7TTC57r7157r

A.[-，-]B.—]C.1-,nJD.I—,E

【解答】解：設(shè)f=sinx,

第7頁共20頁

則函數(shù)(x)=-4sin2x+4sin￥=-4p+4，=-4(r-1)2+l,

當(dāng)，=2時(shí)，/(x)=1,???〃瑞，

當(dāng)f=0時(shí)，f(x)=0,

.71

6

71

，實(shí)數(shù)a的取值范圍為匚，n].

6

故選：c.

6.（5分）如圖，由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)族=3AH,

則下列關(guān)系正確的是（）

T9T3T

A.AE—j-QB.AE—J-QAB+J-Q/IZ)

C.ATE=^4ATB3TD.ATE=^4ATB2T

【解答】解：由圖象知BE=DG,

??,力E=3AH,

：.AE=AB+BE=AB+GD=AB-DG=AB-^DH=AB(DA+AH)=AB-

[T[TT[T11T

^DA-.AH=AB+^AD一盤x^AE,

10TT1T

即一4E=/B+-AD,

93

T9T4T

貝IJ/IE=而AB+而AD,

故選：B.

7.(5分)已知奇函數(shù)/(無)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b—

g(20-8),c=g(3),則m4c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【解答】解：奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，當(dāng)x>0,f(x)>/(0)=0,且，(x)

第8頁共20頁

>0,

.'.g(x)=xf(x),則g'(x)=f(x)+xf(x)>0,

(x)在(0,+°0)單調(diào)遞增，且g(x)=xf(x)偶函數(shù)，

，a=g(-log25.1)=g(log25.1),

則2Vlog25.1V3,l<2°-8<2,

08

由g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，則g(2-)<g(log25.1)<g(3),

故選：C.

8.(5分)若對(duì)于任意rG[l,2],函數(shù)/(x)=x3+(/+2)7-2x在區(qū)間(/,3)上總不

為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

37373737

A.(—-9)B.(—彳,-5)C.[—2-,-9]D.[—2-,-9]

【解答】解:f(x)=37+(優(yōu)+4)X-2,

?."，(0)=-2,對(duì)于任意正[1,2],函數(shù)/(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，

Jf'(t)vo

,(3t2+(m+4)t—2<0

"l27+(m+4)-3-2>0，

(m+4V?-3t

》37，

解得一號(hào)<m<-9,

實(shí)數(shù)，"的取值范圍是(一苧，-9).

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.(5分)1859年，我國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭將“小一詞譯成“函數(shù)”，并給

出定義：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)”.下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的說法正確的是

()

A.若"-2)=f(2),則函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

第9頁共20頁

B.若定乂在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)

遞增，則函數(shù)/(無)在R上是增函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,a<c<b,若f(x)在［a,c)上是增函數(shù)，在［c,

切上是減函數(shù)，則/(X),”心=7(C)

D.對(duì)于任意的XI，X2&(0,+8),函數(shù)/(X)=/gx滿足

【解答】解：對(duì)于4,偶函數(shù)是對(duì)于定義域里任意x,都要有f(-x)=f(x),僅僅取x

=2時(shí)成立，不能確定是偶函數(shù)，故A錯(cuò)，

對(duì)應(yīng)B,若定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［0,+8)上

單調(diào)遞增，其中x=0時(shí)兩段函數(shù)圖像相接，故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以B正確，

對(duì)應(yīng)C,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,a<c<b,若/(x)在［a,c)上是增函數(shù)，有

J(X)max<f(c),

又在［c,句上是減函數(shù)，f(x)max=f(c),所以f(x)max=f(c),故C正確，

對(duì)應(yīng)。，函數(shù)f(x)=/gx為上凸函數(shù)，所以對(duì)于任意的XI，X2W(0,+8),函數(shù)/(X)

=lgx滿足/(%#)>故。正確，

故選：BCD.

(多選)10.(5分)十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“〉”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)

界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a>0,b>0,則下面結(jié)論正確的有

149

---

A.a匕4

yJa2+b2V2

B.---------<一

a+b2

C.若a+8=2,則ah有最大值1

D.若ab+序=2,則a+b^4

【解答】解：因?yàn)閍>0,b>0,

141141b19

當(dāng)

4aX>/5-且

-------萬7--XI=

匕

a匕4a4a4+24

b4a14QQ

僅當(dāng)一二M且一+=4,即。=人=時(shí)取等號(hào)，A正確;

abab4，

a2+b2a+b2??“l(fā)

因?yàn)橐籢―>(―)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

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22

所以——y/a+—b>y^j28錯(cuò)誤；

a+b2

若研6=2,則他〈（竽）2=1,當(dāng)且僅當(dāng)4=6=1時(shí)取等號(hào)-，C正確；

若ab+序=2,則a=/b>0,

解得，0<b<V2

所以a+b=>V2,力錯(cuò)誤.

故選：AC.

（多選）II.（5分）已知復(fù)數(shù)zo=2+i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Po,復(fù)數(shù)z

滿足|z-l|=|z-i\,下列結(jié)論正確的是（）

A.尸（）點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）

B.復(fù)數(shù)zo的共物復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)Po關(guān)于虛軸對(duì)稱

C.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在一條直線上

V2

D.Po與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸間的距離的最小值為二

【解答】解：4.復(fù)數(shù)zo=2+i（i為虛數(shù)單位，）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為尸o（2,1）,因此

A正確，

B.復(fù)數(shù)zo的共輾復(fù)數(shù)27對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2,-1）與點(diǎn)Po（2,1）關(guān)于虛軸不對(duì)稱，因此

3不正確，

C.設(shè)點(diǎn)A（1,0）,B（0,1）,由復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z-i|,

結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可知復(fù)數(shù)z到點(diǎn)（1,0）與點(diǎn)（0,1）的距離相等，

則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的Z點(diǎn)在線段AB的垂直平分線y=x上，因此C正確，

D.Po（2,1）與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為點(diǎn)Po到直線x-y=0的距離

"=超箱=<，因此。正確.

V2乙

故選：ACD

（多選）12.（5分）已知數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S”，下列說法正確的是（）

A.若％=/+2,則｛蜘｝是等差數(shù)列

B.若則｛斯｝是等比數(shù)列

C.若｛斯｝是等差數(shù)列,則51尸11您

D.若｛斯｝是等比數(shù)列，且G>0,q>0,則S「S3>S22

第11頁共20頁

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：由s〃=/+2,得S〃」=(〃-1)2+2=〃2-2〃+3,

兩式相減得斯=S〃-1=(n2+2)-(M-2〃+3)=2n-1,

又當(dāng)〃=1時(shí)，s=Si=r+2=3,不滿足上式，

所以斯=『’n1,顯然〃i=3,42=3,6=5,故｛〃“｝不是等差數(shù)列，選項(xiàng)A錯(cuò)

(2九一Ln>2

誤；

對(duì)于選項(xiàng)為由S”=4"-l,得％一]=4"1-1,

兩式相減得a〃=S"-S"-i=(4n-1)-(4n+l-1)=4"-1(4-1)=3X4nl,=

又ai=Si=4-1=3,滿足上式，所以斯=3義4"-1,

Qq又4"

故」色=丁目=4,即｛a”｝是以3為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由｛如｝是等差數(shù)列，得S1I=￥)=?(246)=11您，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。：若等比數(shù)列｛〃”｝的公比q=l,則S1S3-S2=a>(ai+ai+a3)-(tzi+ai)2

=3ai2-4?I2<0,選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

17

13.(5分)已知角a滿足sin(a—5)=彳，則sin(2a+?)=一.

646——8-

【解答】解：因?yàn)閟in(a-引=p

o4

所以sin(2a+5)=cosg—(2a+v)]=cos(2a-^)=cos2(a-^)=1-2sin2(a-^)=

17

1-2X(-)92=1.

48

7

故答案為：--

14.(5分)已知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=2阮什/,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(-

1,/(-1))處的切線方程是4x-y+3=0.

【解答】解：設(shè)xVO,則-x>0,

又f(x)為奇函數(shù)，:?f(x)=-/(-%)=-[2ln(-x)+/]=-2ln(-x)-

則/(x)=-^-2x,：.f(-1)=2+2=4,

又/(-1)=-1,

二曲線y=/(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線方程是yH=4(x+I),

第12頁共20頁

即即->4-3=0.

故答案為：4x-y+3=0.

15.(5分)已知拋物線C：/=2px(p>0)直線I過拋物線C的焦點(diǎn)與拋物線交于A,B

兩點(diǎn)以A8為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是M(-2,-2),則直線/的斜率左=

-2.

【解答】設(shè)A(xi，yi),B(X2，”)，因?yàn)橐会?-2=p=4,

以A8為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是M(-2,-2),所以匕芳=一2,

因?yàn)槎?(乃+、2)(yi-%)=2p(%!-x2),

所以-=上=且=_2,

xi-x2yi+y2-4

故答案為：-2..

16.(5分)若關(guān)于x的不等式，7對(duì)于任意的在(0,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是(0，1).

【解答】解：由題意知，a>0,將原不等式變形可得，一1>。(血火+1),

即xex>aexlnaex—Inaexte,naex,

設(shè)力(x)=x",則力'(x)—(x+1)

當(dāng)lnaex<0時(shí)，原不等式顯然成立；

當(dāng)/"aexNO時(shí)，；〃(x)在[0,+°°)上單調(diào)遞增，

QX一1

...x>lnaex=>a<---，

x

公/、e*Tmu//、ex-1(x—1)

設(shè)(p(x)=—,貝叩(x)=---——-)

A(p(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

*,.<p(x)的最小值為(p(1)=1,

故OVaVl,

故答案為：(0,1).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在平面四邊形A3CO中，AB±ADfA8=2,AD=2?BC=2y[2.

(1)若CD=2+2次，求四邊形ABC。的面積；

,、-372丸27rA

(2)sinZBCD=—p-,ZADCE,—),求sinNAOC.

56?

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【解答】解：(1)連接BD,

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2=AB2+AD2=4+12=16,

所以BD=4,

在△BCO中,由余弦定理可知,3。=些豁科=螃碧奈=￥,

因?yàn)镃C(0,it),

所以C=[,

4

所以5AABD=^AB-AD=ix2x2V3=2V3,

S&BCD=\BC?CD?sinC=1x2>/2x(2+2b)x孝=2+2V3,

所以四邊形ABCD的面積S=S”BD+SABCD=2舊+2+2V3=2+4g；

BCBD

(2)在三角形BCD中，由正弦定理可得,

sinZ.BDCsin乙BCD

平

BCsinZ.BCD4x3

所以sinN8DC=5_J

BD

AQ1

在直角三角形D4B中，sinNAOB=gJ=*,

所以乙4DB=1，

o

一,TC2n

又因?yàn)橐?￡)CW(一,—),

63

所以N3QC6(0,-),

2

4

所以cos/BOC=百，

……yrnIT3V341

所以sin/A￡)C=sin(乙BDC+之)=sin/3￡)Ccos~~+cosZBDCsin—=-x—+-x-=

6665252

4+36

10'

18.(12分)在①3S“+i=S"+l,②&2=1，③2s產(chǎn)1-3街+1這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在

第14頁共20頁

下面問題中，并給出解答.

已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S,滿足,；正項(xiàng)等差數(shù)列｛為｝滿足加=2,且歷,

歷-1,歷成等比數(shù)列.

(1)求｛即｝和｛歷,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若Cn=*,求數(shù)列｛c”的前〃項(xiàng)和

【解答】解：⑴選①3s”+i=S"+l,②。2=2

1

〃22時(shí)，3Sn=Sn-1+1，相減可得：3%+1=%，即斯+|=可斯，

111

〃=1時(shí)，3(。1+不)=ai+l,解得。1=工，滿足。2=五。1，

yoD

...數(shù)列｛〃"｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為今

;.即=(1)".

選①3s〃+1=S?+1,③2S〃=1-3即+i.

1

時(shí)，3Sn=Sn-1+I,相減可得：3%+1=〃〃，即斯+1=可?！?，

111

〃=1時(shí)，3(a|+。2)=。1+1，2。1=1-3。2，解得。1=5，C12=Q,滿足。2=5。1，

...數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為

n

'-an=(1).

選②"2=1，③2S“=1-3a“+i，

時(shí)，2S〃i=l-3a〃，相減可得:2斯=3斯-3a〃+i，

化為：斯+1=字加

〃=1時(shí)，24/1=1-342，〃2二寸解得〃1=可

滿足。2=制,

,數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為土

1?〃〃=(1)n.

設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛3｝的公差為">0,???滿足為=2,且〃bi-1,為成等比數(shù)列，

???(尻-1)2=加?歷，

???(2+J-1)2=2(2+2J),J>0,解得d=3,

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??也=2+3(〃-1)=3〃-1.

(2)Cn—anbn=~^n~

???數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和3|+亳+得+……+*

2上5^3n-4,3n-l

#/+乒+……+丁+下訂,

2?11+》-^TT=j+3x扣一(獷1]3L—1

相減可得：/一+3（3+裝+11

整理為：力尸：一藝品.

19.（12分）如圖1,在直角梯形A8C￡>中，AB//DC,ZD=90°,AB=4,DC=6,AD=

2V3,CE=2ED.如圖2,以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)Ci的位置，且A。

=2V6.

（1）證明：平面BCiE_L平面ABED；

（2）求直線ECi與平面所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：過點(diǎn)5作BP_LCO于P,則。P=AB=4,PC=2,PB=AD=26,

所以NBC￡>=60°,BC=4=CE,

所以△BCP為等邊三角形，即△B。尸為等邊三角形，

取BE的中點(diǎn)M,連接CiM,AM,則CiM_L8E,C\M=2后

1

翻折前，在△ABM中，A8=4,BM=泗=2,/A2E=/BEC=60°,

由余弦定理知，AM2=AB2+BM2-2ABcos/ABE=16+4-2X4X2x1=12,

22

所以AM+CtM=ACl，即C\M±AM,

又BECAM=M,BE、AMu平面ABED,

所以CiM_L平面A8EC,

第16頁共20頁

因?yàn)镃iMu平面BCiE,所以平面BC|E_L平面ABED

(2)解：取A8的中點(diǎn)M連接EMMENA.AB,ENA.DE,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED,EN所在直線分別為x,y軸，作Ez_L平面ABED,建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,0),A(2,2V3,0),D(2,0,0),C\(-1,V3,2V3),

所以丘=(-1,V3,2仲，DA=(0,2V3,0),寇=(-3,遍，2付，

設(shè)平面AC。的法向量為1=(x,y,z),貝亞？二°,即F島=二，

(n.DCi=0(-3x+遮y+2遮z=0

令x=2,則)=0,z=V3,所以蔡=(2,0,V3),

設(shè)直線EC｝與平面AC\D所成角為0,

TT__

-tEC^-n-24-2v3xy3Jy

則sin0=|cos<￡,C,n>|=『-一|=|------—1=

1lEQHnl4x”F/

V7

故直線EC\與平面4G。所成角的正弦值為弓

20.（12分）為滿足人民群眾便利消費(fèi)、安全消費(fèi)、放心消費(fèi)的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)管理

部門規(guī)劃建筑總面積為2400川的新型生鮮銷售市場(chǎng).市場(chǎng)內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類

店面共80間.每間蔬菜水果類店面的建筑面積為30屆，月租費(fèi)為x萬元；每間肉食水

產(chǎn)類店面的建筑面積為18〃/,月租費(fèi)為0.8萬元.全部店面的建筑面積不低于總面積的

80%,又不能超過總面積的85%.

第17頁共20頁

(1)兩類店面間數(shù)的建造方案為多少種？

(2)市場(chǎng)建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建造方案平均每間店面月租費(fèi)不低

于每間蔬菜水果類店面月租費(fèi)的90%,求每間蔬菜水果類店面的月租費(fèi)x最大為多少萬

元？

【解答】解：(1)建造蔬菜水果類店面a間，則建造肉食水產(chǎn)店面(80-a)間,

由題意可知,2400X80%W30。+18(80-a)W2400X0.85,解得40WaW50,

又“eN,故建造方案有11種.

ax+0.8(80-a),,、0.8a-64

(2)由題意可得,---＞。.以恒成立，即XS=0.8-六方恒成立,

a—72Q—/Z

又40WaW50,

故xW0.8—三^=1，

故x的最大值為1.

故每間蔬菜水果類店面的月租費(fèi)x最大為1萬元.

X2y2

21.(12分)已知橢圓C：—+：4=1(a>h>0),點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)分別為橢圓

a2bz

C的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是左準(zhǔn)線/：x=-4上的動(dòng)點(diǎn)(不在x軸上).

(1