人教版高數(shù)選修第2講：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

導(dǎo)數(shù)的計(jì)算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像（圖）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)．2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像（圖）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為1．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)．3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像（圖）上點(diǎn)處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來看，表明：當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)減少得越來越慢；當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為．4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)（2）推廣：若，則二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：函數(shù)導(dǎo)數(shù)2.（1）記憶導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，比較積法則與商法則的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則1．2．3．推論：（常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于：）提示：積法則,商法則,都是前導(dǎo)后不導(dǎo),前不導(dǎo)后導(dǎo),但積法則中間是加號,商法則中間是減號.類型一：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)例1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4解析：（1）.（2）.（3）∵，∴.（4）總結(jié)升華：①熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式，仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，選擇基本函數(shù)求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)；②不具備求導(dǎo)法則條件的，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的原則，適當(dāng)進(jìn)行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成.舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6【答案】（1）.（2）∴.（3）例2．求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）； （2）y=x2sinx;（３）y=； （４）y=解析：（1）法一：去掉括號后求導(dǎo).法二：利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則=2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（３）=（4）==舉一反三：【變式1】函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D法一：∴.法二：∵∴∴.【變式2】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）； （2）【答案】（1）法一：∴法二：=+（2）∴【變式3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）.【答案】（1），∴.（2），∴.（3）∵，∴.類型二：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)例3．求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）.思路點(diǎn)撥:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)首先必須弄清函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的，然后再按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).解析：（1），..（2），∴（3），.∴（4），，∴.總結(jié)升華：①復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，一定要抓住“中間變量”這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)，然后應(yīng)用法則，由外向里一層層求導(dǎo)，注意不要漏層。熟練以后，可以擺脫引入中間變量的字母，只要心中記住就行，這樣可以使書寫簡單；②求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟：（1）分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量（2）運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意分清每次是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)（3）根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量換成自變量的函數(shù)舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)； （2）（3）y=ln（x＋）； （4）【答案】(1)令,,（2）令（3）=＝（4）類型三：求曲線的切線方程例8．求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.解析：，x=1時(shí)，y=3，∴切點(diǎn)為（1，3），切線斜率為5切線方程為y―3=5(x―1)，即y=5x―2.總結(jié)升華:求函數(shù)圖像上點(diǎn)處的切線方程的求解步驟：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（即過點(diǎn)的切線的斜率），用點(diǎn)斜式寫出切線方程，再化簡整理。舉一反三：【變式1】求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出切線方程.解析：∵∴切線的斜率.∴切線方程為，即.【變式2】已知，是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是________.【答案】的導(dǎo)數(shù)為.設(shè)切點(diǎn)，則.∵的斜率，又切線平行于，∴，∴，∴切點(diǎn)，∴切線方程為，即.【變式3】已知曲線.（1）求曲線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點(diǎn)？【答案】（1）將代入曲線的方程得，∴切點(diǎn).∵，∴.∴過點(diǎn)的切線方程為，即.（2）由可得，解得或.從而求得公共點(diǎn)為，或.∴切線與曲線的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的點(diǎn).例9．已知直線為曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且.（1）求直線的方程；（2）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.解析：（1），直線的方程為.設(shè)直線過曲線上的點(diǎn)，則的方程為，即.因?yàn)?，則有，.所以直線的方程為.（2）解方程組得所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.、與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、，所以所求三角形的面積為.舉一反三：【變式1】如果曲線的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程【答案】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為∴切線在點(diǎn)的斜率為切線與直線平行，斜率為4∴，∴或∴切點(diǎn)為（1，-8）或（-1，-12）切線方程為或即或【變式2】曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為________.【答案】由題意，切線的斜率為，∴切線方程為，與軸交點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為（2，4），∴.【變式3】曲線在（0，1）處的切線與的距離為，求的方程.【答案】由題意知，∴曲線在（0，1）處的切線的斜率∴該切線方程為設(shè)的方程為，則，解得，或.當(dāng)時(shí)，的方程為；當(dāng)時(shí)，的方程為綜上可知，的方程為或.雙基自測1．下列求導(dǎo)過程中①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；②(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))；③(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝exlnalna＝axlna其中正確的個(gè)數(shù)是()．A．1 B．2 C．3 D．4答案D2．(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導(dǎo)數(shù)為()．A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案C3．(2011·湖南)曲線y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))處的切線的斜率為()．A．－eq\f(1,2) \f(1,2) C．－eq\f(\r(2),2) \f(\r(2),2)解析本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力．y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得導(dǎo)數(shù)值為eq\f(1,2).答案B4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為()．A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)解析令f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x－2x＋1,x)＞0，利用數(shù)軸標(biāo)根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故選C.答案C5．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝______；＝________(用數(shù)字作答)．答案2－2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1．[2011·江西卷]若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為()A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)1．C[解析]f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)>0，即eq\f(x2－x－2,x)>0.∵x>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2.2．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝2x－3 D．y＝－2x－22．A[解析]∵y′＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,（x＋2）2)))eq\s\do7(x＝－1)＝2，∴切線方程為y＝2x＋1.3．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－13．A[解析]∵y′＝2x＋a＝a，∴a＝1，(0，b)在切線x－y＋1＝0上，∴b＝1.4．y＝eq\f(cosx,1－x)的導(dǎo)數(shù)是()A．y′＝eq\f(cosx＋sinx＋xsinx,（1－x）2)B．y′＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,（1－x）2)C．y′＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)D．y′＝eq\f(cosx＋sinx－xsinx,（1－x）2)4．B[解析]y′＝eq\f(－（1－x）sinx－（－1）cosx,（1－x）2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,（1－x）2).eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2012·沈陽模擬]若函數(shù)y＝eq\f(x3,3)－x2＋1(0<x<2)的圖象上任意點(diǎn)處切線的傾斜角為α，則α的最小值是()\f(π,4) \f(π,6) \f(5π,6) \f(3π,4)5．D[解析]y′＝x2－2x，當(dāng)0<x<2時(shí)，－1≤y′<0，即－1≤tanα<0，故eq\f(3π,4)≤α<π，α的最小值為eq\f(3π,4).6．若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于()A．－2 B．－1 C．1 D．26．D[解析]f′(x)＝sinx＋xcosx，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1，即函數(shù)f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)處的切線的斜率是1，直線ax＋2y＋1＝0的斜率是－eq\f(a,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))×1＝－1，解得a＝2.7．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝()A．26 B．29 C．212 D．2157．C[解析]f′(x)＝[x·(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.8．若曲線y＝x－eq\f(1,2)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝()A．64 B．32 C．16 D．88．A[解析]y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)，所以k＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，切線方程為y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)．令x＝0，得y＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)；令y＝0，得x＝3a.所以三角形的面積是S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)aeq\f(1,2)＝18，解得a＝64.9．已知點(diǎn)P在曲線y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))9．D[解析]由于y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,ex＋1)))′＝－eq\f(4ex,（ex＋1）2)，而α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則k＝tanα＝－eq\f(4ex,（ex＋1）2)<0.又(ex＋1)2≥(2eq\r(ex))2＝4ex，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝1，即x＝0時(shí)，取等號，那么k＝tanα＝－eq\f(4ex,（ex＋1）2)≥－1，即－1≤k<0，那么對應(yīng)的α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).10．[2012·深圳模擬]已知曲線y＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線y＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，則x0的值為________．10．0或－eq\f(2,3)[解析]由題意2x0＝－3xeq\o\al(2,0)，解得x0＝0或－eq\f(2,3).11．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________．11．ln2－1[解析]y′＝eq\f(1,x)，令eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)得x＝2，故切點(diǎn)(2，ln2)，代入直線方程，得ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，所以b＝ln2－1.12．曲線y＝eq\f(1,4)x2過點(diǎn)4，eq\f(7,4)的切線方程是________．12．14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0[解析]設(shè)此切線方程與拋物線相切于點(diǎn)P（x0，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)）.由導(dǎo)數(shù)的概念可得eq\f(\f(7,4)－\f(1,4)xeq\o\al(2,0),4－x0)＝eq\f(1,2)x0，整理得xeq\o\al(2,0)－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，點(diǎn)P（7，eq\f(49,4)）或P（1，eq\f(1,4)）.代入兩點(diǎn)式得直線方程為14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.13．已知f(x)＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)，則f′(0)＝________．13．1[解析]∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex－e－x,ex＋e－x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2x－1,e2x＋1)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,e2x＋1)))′＝2(e2x＋1)－2·e2x·2＝eq\f(4e2x,（e2x＋1）2)，∴f′(0)＝eq\f(4,4)＝1.14．(10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))；(2)y＝e1－2x＋ln(3－x)；(3)y＝lneq\f(1－x,1＋x).14．解：(1)y′＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))′－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))′＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)).(2)y′＝e1－2x·(1－2x)′＋eq\f(1,3－x)·(3－x)′＝－2e1－2x＋eq\f(1,x－3).(3)∵y＝ln(1－x)－ln(1＋x)，∴y′＝eq\f(1,1－x)·(1－x)′＋eq\f(1,1＋x)(1＋x)′＝eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＝eq\f(2x,x2－1).15．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象是一個(gè)中心對稱圖形，并求其對稱中心；(3)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．15．解：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,（x＋b）2)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,（2＋b）2)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因?yàn)閍，b∈Z，故f(x)＝x＋eq\f(1,x－1).(2)證明：已知函數(shù)y1＝x，y2＝eq\f(1,x)都是奇函數(shù)．所以函數(shù)g(x)＝x＋eq\f(1,x)也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形．而f(x)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1，可知函數(shù)g(x)