大學(xué)《微積分》課件3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

回顧1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法不滿足級(jí)數(shù)發(fā)散滿足比值判別法根值判別法失效失效失效級(jí)數(shù)收斂的定義級(jí)數(shù)的性質(zhì)比較判別法比較判別法選擇一個(gè)斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù).關(guān)鍵在于§7.4任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)其中un

0(n

1

2

)

正負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)，稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)

它的形式是正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理7

10(萊布尼茨定理)則級(jí)數(shù)收斂

且其和S

u1

簡(jiǎn)要證明

設(shè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為sn.

s2n=(u1-u2)

(u3-u4)

(u2n-1-u2n),及

s2n=u1-(u2-u3)-(u4-u5)-

-(u2n-2-u2n-1)-u2n.

設(shè)s2n

s(n

),則也有s2n

1=s2n

u2n

1

s(n

),所以sn

s(n

).因此級(jí)數(shù)是收斂的,且級(jí)數(shù)的和s<u1.可見數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n<u1),所以數(shù)列{s2n}收斂.s2n可寫成

證

例1

證明級(jí)數(shù)收斂

并估計(jì)和

這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)

因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足由萊布尼茨定理

它是收斂的

且其和S

u1

1

例2

證明級(jí)數(shù)收斂.

證

這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)

因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足由萊布尼茨定理

它是收斂的

且其和S

u1

1

注1.萊布尼茨判別法是判定級(jí)數(shù)收斂的充分而非必要條件；思考：萊布尼茨判別法的條件其中之一不成立，結(jié)果如何？2.判定的方法

2.判斷級(jí)數(shù)的斂散性.練習(xí)1.判斷級(jí)數(shù)的斂散性.定理7

11

正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù).正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理7

11

正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù).正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)例3討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：因?yàn)槎諗?，故收斂，所以收?比較判別法定理7

11

正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù).正項(xiàng)級(jí)數(shù)

如

例2中,其通項(xiàng)加上絕對(duì)值之后變成：收斂，原級(jí)數(shù)也必收斂.且把這種收斂稱為絕對(duì)收斂.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)定理7

11

正項(xiàng)級(jí)數(shù)

如

例1中,其通項(xiàng)加上絕對(duì)值之后變成：發(fā)散，而原級(jí)數(shù)卻收斂.且把這種收斂稱為條件收斂.正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù).任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂

值得注意的問題

而不能判斷它必發(fā)散

定理7

12(絕對(duì)收斂性的判定)說明：當(dāng)時(shí)，收斂,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)l>1時(shí)，發(fā)散,不可能趨向于0,故不可能趨向于0,因此發(fā)散,（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法）定理7

12(絕對(duì)收斂性的判定)

證

因?yàn)?/p>

例4

解

因?yàn)樗约?jí)數(shù)對(duì)一切x(

x

)絕對(duì)收斂

定理7

12(絕對(duì)收斂性的判定)

例5

它是發(fā)散的

級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)

當(dāng)x

1時(shí)

解

因?yàn)?/p>

當(dāng)|x|

1時(shí)

級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

當(dāng)|x|

1時(shí)

級(jí)數(shù)發(fā)散

所以

例6

解

因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散(當(dāng)|x|

1時(shí)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨于0)

當(dāng)