高中數(shù)學(xué) 涉及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題研究（教師版）

專題四：涉及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題研究【題型導(dǎo)引】題型一：函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題（1）一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；（2）二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；（3）一次與二次函數(shù)的綜合應(yīng)；（4）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用。題型二：方程、不等式與函數(shù)綜合應(yīng)用問題（1）反比例函數(shù)與分式的綜合應(yīng)用；（2）一次函數(shù)和方程的綜合應(yīng)用；（3）函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用；【典例解析】類型一：函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題例題1：(2018·齊齊哈爾中考)某班級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去扎龍自然保護(hù)區(qū)研學(xué)旅行，一部分乘坐大客車先出發(fā)，余下的幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行，大客車中途停車等候，小轎車趕上來之后，大客車以出發(fā)時(shí)速度的eq\f(10,7)繼續(xù)行駛，小轎車保持原速度不變．小轎車司機(jī)因路線不熟錯(cuò)過了景點(diǎn)入口，在駛過景點(diǎn)入口6km時(shí)，原路提速返回，恰好與大客車同時(shí)到達(dá)景點(diǎn)入口．兩車距學(xué)校的路程s(km)和行駛時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象解決下面問題：(1)學(xué)校到景點(diǎn)的路程為km，大客車途中停留了min，a＝；(2)在小轎車司機(jī)駛過景點(diǎn)入口時(shí)，大客車離景點(diǎn)入口還有多遠(yuǎn)？(3)小轎車司機(jī)到達(dá)景點(diǎn)入口時(shí)發(fā)現(xiàn)本路段限速80(4)若大客車一直以出發(fā)時(shí)的速度行駛，中途不再停車，那么小轎車折返后到達(dá)景點(diǎn)入口，需等待分鐘，大客車才能到達(dá)景點(diǎn)入口．【解析】(1)由圖形可得學(xué)校到景點(diǎn)的路程為40km，大客車途中停留了5小轎車的速度為eq\f(40,60－20)＝1(km/min)，a＝(35－20)×1＝15.故答案為40，5，15.(2)由(1)得a＝15，∴大客車的速度為eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)(km/min)．小轎車趕上來之后，大客車又行駛了(60－35)×eq\f(10,7)×eq\f(1,2)＝eq\f(125,7)(km)，40－eq\f(125,7)－15＝eq\f(50,7)(km)．答：在小轎車司機(jī)駛過景點(diǎn)入口時(shí)，大客車離景點(diǎn)入口還有eq\f(50,7)km.(3)設(shè)直線CD的表達(dá)式為s＝kt＋b，將(20，0)和(60，40)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝0，,60k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－20，))∴直線CD的表達(dá)式為s＝t－20.當(dāng)s＝46時(shí)，46＝t－20，解得t＝66.小轎車趕上來之后，大客車又行駛的時(shí)間為eq\f(40－15,\f(1,2)×\f(10,7))＝35(min)，小轎車司機(jī)折返時(shí)的速度為6÷(35＋35－66)＝eq\f(3,2)(km/min)＝90km/h＞80答：小轎車折返時(shí)已經(jīng)超速．(4)大客車的時(shí)間：eq\f(40,\f(1,2))＝80(min)，80－70＝10(min)．故答案為10.技法歸納：解答解決函數(shù)之間的綜合題目時(shí)，結(jié)合題意進(jìn)行審題后確定函數(shù)的類型是最關(guān)鍵的，已知量和未知量之間的關(guān)系式一次函數(shù)，反比例函數(shù)還是二次函數(shù)，往往題目中有所題型，這樣我們就可以直接利用待定系數(shù)法寫出解析式并根據(jù)相關(guān)條件解答，這一問題是基礎(chǔ)也是關(guān)鍵，再根據(jù)后續(xù)的問題進(jìn)行最值解答或者取值范圍內(nèi)的要求得到相應(yīng)的答案.類型二：方程、不等式與函數(shù)綜合應(yīng)用問題例題2：（2019?四川省廣安市?8分）為了節(jié)能減排，我市某校準(zhǔn)備購買某種品牌的節(jié)能燈，已知3只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需50元，2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元．（1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價(jià)各是多少元？（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買這兩種型號(hào)的節(jié)能燈共200只，要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B型節(jié)能燈的數(shù)量的3倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．【解答】解：（1）設(shè)1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是x元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是y元，，解得，，答：1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是5元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是7元；（2）設(shè)購買A型號(hào)的節(jié)能燈a只，則購買B型號(hào)的節(jié)能燈（200﹣a）只，費(fèi)用為w元，w＝5a＋7（200﹣a）＝﹣2a＋∵a≤3（200﹣a），∴a≤150，∴當(dāng)a＝150時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w＝1100，200﹣a＝50，答：當(dāng)購買A型號(hào)節(jié)能燈150只，B型號(hào)節(jié)能燈50只時(shí)最省錢．技法歸納：(1)方程、不等式與函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題需要掌握以下幾個(gè)類型的問題：一、一次函數(shù)與方程或不等式的綜合應(yīng)用，這類屬于高頻命題形式，考查內(nèi)容可以涉及多個(gè)，如一次函數(shù)圖象信息題，一次函數(shù)方案選擇類型問題等，結(jié)合二元一次方程組、不等式、分式方程和一元二次方程等多種考查形式；二、二次函數(shù)與方程或不等式的綜合應(yīng)用，包括銷售利潤(rùn)類，與一次函數(shù)結(jié)合等類型．(2)命題中常常以方程或方程組，根據(jù)已知條件確定某個(gè)量，利用不等式或不等式組確定變量的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答問題．(3)利用表格、圖例、函數(shù)圖象等手段，利用實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)，關(guān)于運(yùn)用轉(zhuǎn)化為方程、不等式或函數(shù)模型是解決問題的關(guān)鍵，把握數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體著眼探索方法，從細(xì)微處思考爭(zhēng)滿分．【變式訓(xùn)練】1.（2019?浙江紹興?8分）如圖是某型號(hào)新能源純電動(dòng)汽車充滿電后，蓄電池剩余電量y（千瓦時(shí)）關(guān)于已行駛路程x（千米）的函數(shù)圖象．（1）根據(jù)圖象，直接寫出蓄電池剩余電量為35千瓦時(shí)時(shí)汽車已行駛的路程．當(dāng)0≤x≤150時(shí)，求1千瓦時(shí)的電量汽車能行駛的路程．（2）當(dāng)150≤x≤200時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)汽車已行駛180千米時(shí)，蓄電池的剩余電量．【解答】解：（1）由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時(shí)時(shí)汽車已行駛了150千米．1千瓦時(shí)的電量汽車能行駛的路程為：＝6千米；（2）設(shè)y＝kx＋b（k≠0），把點(diǎn)（150，35），（200，10）代入，得，∴，∴y＝﹣0.5x＋110，當(dāng)x＝180時(shí)，y＝﹣0.5×180＋110＝20，答：當(dāng)150≤x≤200時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣0.5x＋110，當(dāng)汽車已行駛180千米時(shí)，蓄電池的剩余電量為20千瓦時(shí)．2.(2018·上海中考)一輛汽車在某次行駛過程中，油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(不需要寫自變量的取值范圍)(2)已知當(dāng)油箱中的剩余油量為8升時(shí)，該汽車會(huì)開始提示加油，在此次行駛過程中，行駛了500千米時(shí)，司機(jī)發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30【解析】：(1)設(shè)該一次函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b，將(150，45)，(0，60)代入y＝kx＋b中得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(150k＋b＝45，,b＝60，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,10)，,b＝60，))∴該一次函數(shù)表達(dá)式為y＝－eq\f(1,10)x＋60.(2)當(dāng)y＝－eq\f(1,10)x＋60＝8時(shí)，解得x＝520，即行駛520千米時(shí)，油箱中的剩余油量為8530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量為8升時(shí)，距離加油站10千米答：在開往該加油站的途中，汽車開始提示加油，這時(shí)離加油站的路程是103.(2017·杭州中考)在面積都相等的所有矩形中，當(dāng)其中一個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為1時(shí)，它的另一邊長(zhǎng)為3.(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x，y.①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)y≥3時(shí)，求x的取值范圍；(2)圓圓說其中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6，方方說有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10，你認(rèn)為圓圓和方方的說法對(duì)嗎？為什么？【解析】(1)①由題意可得xy＝3，則y＝eq\f(3,x).②當(dāng)y≥3時(shí)，eq\f(3,x)≥3，解得x≤1，∴x的取值范圍是0＜x≤1.(2)∵一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6，∴x＋y＝3，∴x＋eq\f(3,x)＝3，整理得x2－3x＋3＝0.∵b2－4ac＝9－12＝－3＜0∴矩形的周長(zhǎng)不可能是6，∴圓圓的說法不對(duì)．∵一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10，∴x＋y＝5，∴x＋eq\f(3,x)＝5，整理得x2－5x＋3＝0.∵b2－4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周長(zhǎng)可能是10∴方方的說法對(duì)．4.(2018·隨州中考)為迎接“世界華人炎帝故里尋根節(jié)”，某工廠接到一批紀(jì)念品生產(chǎn)訂單，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀(jì)念品的出廠價(jià)為每件20元，設(shè)第x天(1≤x≤15，且x為整數(shù))每件產(chǎn)品的成本是p元，p與x之間符合一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人李師傅第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)y(件)與x(天)滿足如下關(guān)系：設(shè)李師傅第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤(rùn)為W元．(1)直接寫出p與x，W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)求李師傅第幾天創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？(3)任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)平均每個(gè)工人每天創(chuàng)造的利潤(rùn)為299元．工廠制定如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：如果一個(gè)工人某天創(chuàng)造的利潤(rùn)超過該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎(jiǎng)金．請(qǐng)計(jì)算李師傅共可獲得多少元獎(jiǎng)金？【解析】：(1)設(shè)p與x之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝kx＋b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝7.5，,3k＋b＝8.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.5，,b＝7，))即p與x的函數(shù)關(guān)系式為p＝0.5x＋7(1≤x≤15，x為整數(shù))．當(dāng)1≤x＜10時(shí)，W＝[20－(0.5x＋7)](2x＋20)＝－x2＋16x＋260.當(dāng)10≤x≤15時(shí)，W＝[20－(0.5x＋7)]×40＝－20x＋520，即W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋16x＋260（1≤x＜10，x為整數(shù)），,－20x＋520（10≤x≤15，x為整數(shù)）.))(2)當(dāng)1≤x＜10時(shí)，W＝－x2＋16x＋260＝－(x－8)2＋324，∴當(dāng)x＝8時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝324.當(dāng)10≤x≤15時(shí)，W＝－20x＋520，∴當(dāng)x＝10時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝320.∵324＞320，∴李師傅第8天創(chuàng)造的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是324元．(3)當(dāng)1≤x＜10時(shí)，令－x2＋16x＋260＝299，得x1＝3，x2＝13，當(dāng)W＞299時(shí)，3＜x＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.當(dāng)10≤x≤15時(shí)，令W＝－20x＋520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李師傅獲得獎(jiǎng)金的月份是4月到11月，李師傅共獲得獎(jiǎng)金為20×(11－3)＝160(元)．答：李師傅共可獲得160元獎(jiǎng)金．5.(原創(chuàng)題)環(huán)保局對(duì)某企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天以內(nèi)(含15天)排污達(dá)標(biāo)．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時(shí)間x(天)的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AB表示前3天的變化規(guī)律，從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系．(1)求整改過程中硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；(2)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度，能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？【解析】：(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時(shí)間為(2)∵點(diǎn)B(12，18)在雙曲線y＝eq\f(k,x)上，∴18＝eq\f(k,12)，∴k＝216(3)當(dāng)x＝16時(shí)，y＝eq\f(216,16)＝13.5，所以當(dāng)x＝16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為136.（2019·貴州安順·10分）安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價(jià)格購進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到更大的實(shí)惠，現(xiàn)決定降價(jià)銷售，已知這種干果銷售量y（千元）與每千元降價(jià)x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)多少元？【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b當(dāng)x＝2，y＝120；當(dāng)x＝4，y＝140；∴，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝10x＋100；（2）由題意得：（60﹣40﹣x）（10x＋100）＝2090，整理得：x2﹣10x＋9＝0，解得：x1＝1．x2＝9，∵讓顧客得到更大的實(shí)惠，∴x＝9，答：商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)9元．7.（2018?河北）如圖是輪滑場(chǎng)地的截面示意圖，平臺(tái)AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點(diǎn)B，與滑道y＝（x≥1）交于點(diǎn)A，且AB＝1米．運(yùn)動(dòng)員（看成點(diǎn)）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點(diǎn)M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實(shí)驗(yàn)表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時(shí)間t（秒）的平方成正比，且t＝1時(shí)h＝5，M，A的水平距離是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）設(shè)v＝5．用t表示點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，并求y與x的關(guān)系式（不寫x的取值范圍），及y＝13時(shí)運(yùn)動(dòng)員與正下方滑道的豎直距離；（3）若運(yùn)動(dòng)員甲、乙同時(shí)從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時(shí)，直接寫出t的值及v乙的范圍．【解答】（1）由題意，點(diǎn)A（1，18）帶入y＝得：18＝∴k＝18設(shè)h＝at2，把t＝1，h＝5代入∴a＝5∴h＝5t2（2）∵v＝5，AB＝1∴x＝5t＋1∵h(yuǎn)＝5t2，OB＝18∴y＝﹣5t2＋18由x＝5t＋1則t＝∴y＝﹣當(dāng)y＝13時(shí)，13＝﹣解得x＝6或﹣4∵x≥1∴x＝6把x＝6代入y＝y(tǒng)＝3∴運(yùn)動(dòng)員在與正下方滑道的豎直距離是13﹣3＝10（米）（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2＋18得t2＝解得t＝1.8或﹣1.8（負(fù)值舍去）∴x＝10∴甲坐標(biāo)為（10，1.8）恰號(hào)落在滑道y＝上此時(shí)，乙的坐標(biāo)為（1＋1.8v乙，1.8）由題意：1＋1.8v乙﹣（1＋5×1.8）＞4.5∴v乙＞7.58.（2019?貴州畢節(jié)12分）某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康，某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入．已知某種士特產(chǎn)每袋成本10元．試銷階段每袋的銷售價(jià)x（元）與該士特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的關(guān)系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，試求：（1）日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大，每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？每日銷售的最大利潤(rùn)是多少元？【解答】解：（1）依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b得，解得故日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x＋40（2）依題意，設(shè)利潤(rùn)為w元，得w＝（x﹣10）（﹣x＋40）＝﹣x2＋50x＋400整理得w＝﹣（x﹣25）2＋225∵﹣1＜0∴當(dāng)x＝2時(shí)，w取得最大值，最大值為225故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大，每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利潤(rùn)是225元．9.（2018?揚(yáng)州）“揚(yáng)州漆器”名揚(yáng)天下，某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價(jià)的范圍．【解析】：（1）由題意得：，解得：．故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x＋700，（2）由題意，得﹣10x＋700≥240，解得x≤46，設(shè)利潤(rùn)為w＝（x﹣30）?y＝（x﹣30）（﹣10x＋700），w＝﹣10x2＋1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2＋4000，∵﹣10＜0，∴x＜50時(shí)，w隨x的增大而增大，∴x＝46時(shí)，w大＝﹣10（46﹣50）2＋4000＝3840，答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元；（3）w﹣150＝﹣10x2＋1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50