基本不等式1課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

基本不等式一二三教學(xué)目標(biāo)掌握基本不等式，了解基本不等式的證明過程理解基本不等式的取最值成立條件（一正二定三相等）利用基本不等式解決簡單的最值問題教學(xué)目標(biāo)難點重點易錯點

?a,b∈R，有

a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．

重要不等式：實質(zhì)：實數(shù)平方的非負(fù)性.知識點：基本不等式（均值不等式，均值定理）基本不等式的證明

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方法二：做差法

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證明：圖象法AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？半徑不小于半弦定理

基本不等式均值不等式例1

若,求的最小值.積定問題例2已知x

，y都是正數(shù)，求證：

如果積xy

等于定值P，那么當(dāng)x=y時，和

x+y有最小值

；

證明：和定問題例2已知x

，y都是正數(shù)，求證：

如果和

x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值.

證明：歸納：利用基本不等式求積的最大值或求和的最小值時，需滿足(1)a，b必須是正數(shù).（一正）(2)在a+b為定值時，便可以知道ab的最大值；

在ab為定值時，便可以知道a+b的最值.（二定）(3)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等式成立（三相等）

1.如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設(shè)BC=x

，CD=y

，

則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時x=y=10.

x=yABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值_______.如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，

則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)x+y的值是常數(shù)S時，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy有最大值_______；2.如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)AB=x

，BC=24－2x

，

矩形花園的面積為x(24－2x)

m2因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2當(dāng)x=6時，函數(shù)y取得最小值為72ABCD3.變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，

則籬笆的長為矩形花園的面積為xym2ABDC得

144≥2xy當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2即

xy≤

72即x=12，y=6x+2y=24

x=2y變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)AB=x

，BC=24－2x

，

ABDC矩形花園的面積為x(24－2x)

m2(其中2x+(24-2x)=24

是定值)當(dāng)且僅當(dāng)2x=24－2x,即x=6時，等號成立因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？4.解：設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為xm

，ym，水池的總造價為z元，根據(jù)題意，有

所以，將貯水池的池底設(shè)計成邊長為40m的正方形時，總造價最低，最低總造價為297600元.課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.兩個不等式適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,