人教A版數(shù)學(xué)必修一講義第2章2.22.2.2第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用Word版含答案

第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)進(jìn)行同底對(duì)數(shù)和不同底對(duì)數(shù)大小的比較．(重點(diǎn))2．通過(guò)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，加深理解分類討論、數(shù)形結(jié)合這兩種重要數(shù)學(xué)思想的意義和作用．(重點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).比較對(duì)數(shù)值的大小【例1】比較下列各組值的大?。篬解](1)法一(單調(diào)性法)：對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，而eq\f(3,4)<eq\f(4,3)，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).法二(中間值法)：因?yàn)閘og5eq\f(3,4)<0，log5eq\f(4,3)>0，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).(2)法一(單調(diào)性法)：由于logeq\s\do16(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，logeq\f(1,5)2＝eq\f(1,log2\f(1,5))，又因?qū)?shù)函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且eq\f(1,3)>eq\f(1,5)，所以0>log2eq\f(1,3)>log2eq\f(1,5)，所以eq\f(1,log2\f(1,3))<eq\f(1,log2\f(1,5))，所以logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2.法二(圖象法)：如圖，在同一坐標(biāo)系中分別畫出y＝logeq\s\do16(eq\f(1,3))x及y＝logeq\s\do16(eq\f(1,5))x的圖象，由圖易知：logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2.(3)取中間值1，因?yàn)閘og23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比較對(duì)數(shù)值大小的常用方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．提醒：比較數(shù)的大小時(shí)先利用性質(zhì)比較出與零或1的大?。?.比較下列各組值的大?。?1)logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5，logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝logeq\s\do16(eq\f(2,3))x是減函數(shù)，且0.5<0.6，所以logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5>logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6.(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log1.5x是增函數(shù)，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.5(3)因?yàn)?>log70.6>log70.5，所以eq\f(1,log70.6)<eq\f(1,log70.5)，即log0.67<log0.57.(4)因?yàn)閘og3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.解對(duì)數(shù)不等式【例2】已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定義域；(2)試確定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍．思路點(diǎn)撥：(1)直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．[解](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函數(shù)φ(x)的定義域?yàn)閧x|1＜x＜3}．(2)不等式f(x)≤g(x)，即為loga(x－1)≤loga(6－2x)，①當(dāng)a＞1時(shí)，不等式等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≤6－2x，))解得1<x≤eq\f(7,3)；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x<3,x－1≥6－2x，))解得eq\f(7,3)≤x<3.綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,3)))；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，3)).常見(jiàn)的對(duì)數(shù)不等式的三種類型(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論；(2)形如logax＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解；(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用圖象求解．2．(1)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范圍；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范圍．[解](1)由logaeq\f(1,2)>1得logaeq\f(1,2)>logaa.①當(dāng)a>1時(shí)，有a<eq\f(1,2)，此時(shí)無(wú)解．②當(dāng)0<a<1時(shí)，有eq\f(1,2)<a，從而eq\f(1,2)<a<1.所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以由log0.72x<log0.7(x－1)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.即x的取值范圍是(1，＋∞)．對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．類比y＝af(x)單調(diào)性的判斷法，你能分析一下y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x－1)的單調(diào)性嗎？提示：形如y＝af(x)的單調(diào)性滿足“同增異減”的原則，由于y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x－1)由函數(shù)y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))t及t＝2x－1復(fù)合而成，且定義域?yàn)?x－1>0，即x>eq\f(1,2)，結(jié)合“同增異減”可知，y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x－1)的減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基礎(chǔ)上，分a>1和0<a<1兩種情況，借助y＝logax的單調(diào)性求函數(shù)y＝logaf(x)的值域．【例3】(1)已知y＝loga(2－ax)是[0，1]上的減函數(shù)，則a的取值范圍為()A．(0，1) B．(1，2)C．(0，2) D．[2，＋∞)(2)函數(shù)f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2＋2x＋3)的值域是________．思路點(diǎn)撥：(1)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)及y＝2－ax的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得．(2)先求真數(shù)的范圍，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．(1)B(2)(－∞，－1][(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是減函數(shù)，且y＝2－ax在[0，1]上是減函數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＞f（1），,a>1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga2＞loga（2－a），,a>1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.(2)f(x)＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋2x＋3)＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))[(x＋1)2＋2]，因?yàn)?x＋1)2＋2≥2，所以logeq\s\do16(eq\f(1,2))[(x＋1)2＋2]≤logeq\s\do16(eq\f(1,2))2＝－1，所以函數(shù)f(x)的值域是(－∞，－1]．]1．求本例(2)的函數(shù)f(x)在[－3，1]上的值域．[解]∵x∈[－3，1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，∴l(xiāng)ogeq\s\do16(eq\f(1,2))6≤logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋2x＋3)≤log22，即－log26≤f(x)≤1，∴f(x)的值域?yàn)閇－log26，1]．2．求本例(2)的單調(diào)區(qū)間．[解]∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，又y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))t在(0，＋∞)為減函數(shù)，且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上為減函數(shù)，在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋2x＋3)單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，＋∞)．1．已知對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，注意函數(shù)的定義域求解；若是分段函數(shù)，則需注意兩段函數(shù)最值的大小關(guān)系．2．求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．1．比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小及解對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題，其依據(jù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，若對(duì)數(shù)的底數(shù)是字母且范圍不明確，一般要分a>1和0<a<1兩類分別求解．2．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立“定義域優(yōu)先”的原則，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上為增函數(shù)． ()(2)y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))x2在(0，＋∞)上為增函數(shù)． ()(3)lnx<1的解集為(－∞，e)． ()(4)函數(shù)y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋1)的值域?yàn)閇0，＋∞)． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>bD[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知log52<log32，∴b<a<c，故選D.]3．函數(shù)f(x)＝log2(1＋2x)的單調(diào)增區(qū)間是______．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))[易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x和y＝1＋2x都是增函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).]4．已知a＞0且滿足不等式22a＋1＞2(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)若函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間[1，3]上有最小值為－2，求實(shí)數(shù)a的值．[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－