理論力學復習重點總結

第一篇靜力學第1章靜力學公理與物體的受力分析相互平衡的力，若其中兩個力的作用線匯交于一點，則此三個力必在同一平面內，且第三個力的作用線通過匯交點。公理4作用與反作用定律：兩物體間相互作用的力總是同時存在，且其大小相等、方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個物體上。公理5鋼化原理：變形體在某一力系作用下平衡，若將它鋼化成剛體，其平衡狀第3章平面任意力系合力矩定理：若平面任意力系可合成為一合力。則其合力對于作用面內任意一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數和。平面任意力系平衡的充分和必要條件為：力系的主失和對于面內任意一點Q的主矩同時為零，即FR`=0,Mo=0.平面任意力系的平衡方程:∑Fx=0,∑Fy=0,∑Mo(F)=0.平面任意力系平衡的解析條件是,力系中所有力在作用面內任意兩個直角坐標軸上投影的代數和分別等于零,各力對于作用面內任一點之矩的代數和也是等于零.考慮摩擦的平衡問題摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時，全約束力和法線間的夾角。tanψm=fs自鎖現象：當主動力即合力Fa的方向、大小改變時，只要Fa的作用線在摩擦角內，C點總是在B點右側，物體總是保持平衡，這種平衡現象稱為摩擦自鎖。空間力系空間匯交力系平衡的必要與充分條件是:該力系的合力等于零,即FR=∑Fi=0空間匯交力系平衡的解析條件是:力系中各力在三條坐標軸上投影的代數和分別等于零.要使剛體平衡,則主失和主矩均要為零,即空間任意力系平衡的必要和充分條件是:該力系的主失和對于任一點的主矩都等于零,即FR`=∑Fi=0,Mo=∑Mo(Fi)=0均質物體的重力位置完全取決于物體的幾何形狀,而與物體的重量無關.若物體是均質薄板,略去Zc,坐標為xc=∑Ai*xi/A,yc=∑Ai*yi/A確定物體重心的方法查表法組合法:①分割法;②負面積(體積)法實驗法第二篇運動學點的運動學6.2直角坐標法運動方程x=f(t)y=g(t)z=h(t)消去t可得到軌跡方程f（x,y,z）=0其中例題6-1橢圓規(guī)機構如圖6-4（a）所示，曲柄oc以等角速度w繞O轉動，通過連桿AB帶動滑塊A、B在水平和豎直槽內運動，OC=BC=AC=L。求：（1）連桿上M點（AM=r）的運動方程；（2）M點的速度與加速度。解：（1）列寫點的運動方程由于M點在平面內運動軌跡未知，故建立坐標系。點M是BA桿上的一點，該桿兩端分別被限制在水平和豎直方向運動。曲柄做等角速轉動，Φ=wt。由這些約束條件寫出M點運動方程x=(2L-r)coswty=rsinwt消去t得軌跡方程：（x／2L-r）2+（y/x）2=1（2）求速度和加速度對運動方程求導，得dx/dt=-(2L-r)wsinwtdy/dt=rsinwt再求導a1=-(2L-r)w2coswta2=-rw2sinwt由式子可知a=a1i+a2j=-w2r6.3自然法2.自然坐標系：b=t×n其中b為副法線n為主法線t3.點的速度v=ds/dt切向加速度at=dv/dt法向加速度an=v2/p習題6-10滑道連桿機構如圖所示，曲柄OA長r，按規(guī)律θ=θ’+wt轉動（θ以rad計，t以s計），w為一常量。求滑道上C點運動、速度及加速度方程。解：剛體的基本運動7.1剛體的平行運動：剛體平移時，其內所有各點的軌跡的形狀相同。在同一瞬時，所有各點具有相同的速度和相同的加速度。剛體的平移問題可歸結為點的運動問題。7.2剛體的定軸轉動：瞬時角速度w=lim△θ∕△t=dθ/dt瞬時角加速度a=lim△w∕△t=dw/dt=d2θ/dt2轉動剛體內任一點速度的代數值等于該點至轉軸的距離與剛體角速度的乘積a=√(a2+b2)=R√(α2+w2)θ=arctan|a|/b=arctan|α|/w2轉動剛體內任一點速度和加速度的大小都與該點至轉軸的距離成正比。例題7-1如圖所示平行四連桿機構中，O1A=O2B=0.2m,O1O2=AB=0.6m,AM=0.2m,如O1A按φ=15πt的規(guī)律轉動，其中φ以rad計，t以s計。試求t=0.8s時，M點的速度與加速度。解：在運動過程中，桿AB始終與O1O2平行。因此，桿AB為平移，O1A為定軸轉動。根據平移的特點，在同一瞬時M、A兩點具有相同的速度和加速度。A點做圓周運動，它的運動規(guī)律為s=O1A·φ=3πtm所以VA=ds/dt=3πm/satA=dv/dt=0anA=(VA)2/O1A=45m/s為了表示Vm、am的2，需確定t=0.8s時，AB桿的瞬時位置。當t=0.8s時，s=2.4πmO1A=0.2m,φ=2.4π/0.2=12π,AB桿正好第6次回到起始位置O點處，Vm、am的方向如圖所示。第8章點的合成運動8.1合成運動的概念：相對于某一參考系的運動可由相對于其他參考系的幾個運動組合而成，這種運動稱為合成運動。當研究的問題涉及兩個參考系時，通常把固定在地球上的參考系稱為定參考系，簡稱定系。吧相對于定系運動的參考系稱為動參考系，簡稱動系。研究的對象是動點。動點相對于定參考系的運動稱為絕對運動；動點相對于動參考系的運動稱為相對運動；動參考系相對于定參考系的運動稱為牽連運動。動系作為一個整體運動著，因此，牽連運動具體有剛體運動的特點，常見的牽連運動形式即為平移或定軸轉動。動點的絕對運動是相對運動和牽連運動合成的結果。絕對運動也可分解為相對運動和牽連運動。在研究比較復雜的運動時，如果適當地選取動參考系，往往能把比較復雜的運動分解為兩個比較簡單的運動。這種研究方法無論在理論上或實踐中都具有重要意義。動點在相對運動中的速度、加速度稱為動點的相對速度、相對加速度，分別用vr和ar表示。動點在絕對運動中的速度、加速度稱為動點的絕對速度和絕對加速度，分別用va和aa表示。換句話說，觀察者在定系中觀察到的動點的速度和加速度分別為絕對速度和絕對加速度；在動系中觀察到動點的速度和加速度分別為相對速度和相對加速度。在某一瞬時，動參考系上與動點M相重合的一點稱為此瞬時動點M的牽連點。如在某瞬時動點沒有相對運動，則動點將沿著牽連點的軌跡而運動。牽連點是動系上的點，動點運動到動系上的哪一點，該點就是動點的牽連點。定義某瞬時牽連點相對于定參考系的速度、加速度稱為動點的牽連速度、牽連加速度，分別用ve和ae表示。動系O’x’y’與定系Oxy之間的坐標系變換關系為x=x0+x’cosθ-y’sinθy=y0+x’sinθ+y’cosθ在點的絕對運動方程中消去時間t，即得點的絕對運動軌跡；在點的相對運動方程中消去時間t，即得點的相對運動軌跡。例題8-4礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B上，如圖所示。站在地面上觀察礦砂下落的速度為v1=4m/s，方向與豎直線成30角。已知傳送帶B水平傳動速度v2=3m/s.求礦砂相對于傳送帶B的速度。解：以礦砂M為動點，動系固定在傳送帶B上。礦砂相對地面的速度v1為絕對速度；牽連速度應為動參考系上與動點相重合的哪一點的速度?？稍O想動參考系為無限大，由于它做平移，各點速度都等于v2。于是v2等于動點M的牽連速度。由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對速度必須是對角線，因此作出的速度平行四邊形如圖所示。根據幾何關系求得Vr=√（ve2+va2-2vevacos60o）=3.6m/sVe與va間的夾角β=arcsin（ve/vr*sin60o）=46o12總結以上，在分析三種運動時，首先要選取動點和動參考系。動點相對于動系是運動的，因此它們不能處于同一物體；為便于確定相對速度，動點的相對軌跡應簡單清楚。8.3當牽連運動為平移時，動點的絕對加速度等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。第9章剛體的平面運動9.1剛體平面運動的分析：其運動方程x=f1(t)y=f2(t)θ=f3(t)完全確定平面運動剛體的運動規(guī)律在剛體上，可以選取平面圖形上的任意點為基點而將平面運動分解為平移和轉動，其中平面圖形平移的速度和加速度與基點的選擇有關，而平面圖形繞基點轉動的角速度和角加速度與基點的選擇無關。9.2剛體平面運動的速度分析：平面圖形在某一瞬時，其上任意兩點的速度在這兩點的連線上的投影相等，這就是速度投影定理。Vcosa=vcosb例9-1橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC帶動，曲柄以勻角速度ω0繞軸O轉動，如圖9-7所示，OC=BC=AC=r，求圖示位置時，滑塊A、B的速度和橢圓規(guī)尺AB的角速度。解已知OC繞軸O做定軸轉動，橢圓規(guī)尺AB做平面運動，vc=ω0r。用基點法求滑塊A的速度和AB的角速度。因為C的速度已知，選C為基點。vA=Vc+VAC式中的vc的大小和方向是已知的，vA的方向沿y軸，vAC的方向垂直于AC，可以作出速度矢量圖，如圖9-7所示。由圖形的幾何關系可得vA=2vccos30°=3ω0r,Vac=Vc，Vac=ωABr解得ωAB=ω0（順時針）用速度投影定理求滑塊B的速度，B的速度方向如圖9-7所示。[vB]BC=[vC]BCVccos30°=vBcos30°解得Vb=vC=ω0r動力學第10章質點動力學的基本方程牛頓第一定律：不受了作用（包括受到平衡力系作用）的質點，將保持靜止或做勻速直線運動。又稱慣性定律。牛頓第二定律：質點的質量與加速度的乘積，等于作用于質點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。F=ma牛頓第三定律：兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一直線，同時分別作用在這兩個物體上。例10-5物塊在光滑水平面上并與彈簧相連，如圖10-5所示。物塊的質量為m，彈簧的剛度系數為k。在彈簧拉長變形量為a時，釋放物塊。求物塊的運動規(guī)律。解以彈簧未變形處為坐標原點O，設物塊在任意坐標x處彈簧變形量為|x|，彈簧力大小為F=k|x|，并指向O點，如圖10-5所示，則此物塊沿x軸的運動微分方程為md2令ω2n=km，將上式化為自由振動微分方程的標準形式d2x上式的解可寫為X=Acos(ωnt+θ)其中A、θ為任意常數，應由運動的初始條件決定。由題意，當t=0時，dxdt=0，x=a，代入上式，解得θ=0，A=a，代入式中，可解得運動方程為X=acosω第11章動力定理動量：等于質點的質量與其速度的乘積.質點系的動量定理:微分形式:質點系的動量對時間的一階導數等于作用在該質點系上所有外力的矢量和.積分形式:質點系的動量在任一時間間隔內的變化,等于在同一時間間隔內作用在該指點系上所有外力的沖涼的矢量和.(沖涼定理)質心運動守恒定律：如果所有作用于質心系的外力在x軸上投影的代數和恒等于零，即∑F=0，則Vcx=常量，這表明質心的橫坐標xc不變或質心沿x軸的運動時均勻的。例11-5：已知液體在直角彎管ABCD中做穩(wěn)定流動，流量為Q，密度為ρ，AB端流入截面的直徑為d，另一端CD流出截面的直徑為d1。求液體對管壁的附加動壓力。解取ABCD一段液體為研究對象，設流出、流入的速度大小為v1和v2,則V1=4Qπd2建立坐標系，則附加動反力在x、y軸上的投影為F’’Nx=ρQ(v2-0)=F’’Ny=ρQ[0-（-v1）]例11-7：圖11-6所示的曲柄滑塊機構中，設曲柄OA受力偶作用以勻角速度w轉動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB都為均質桿，質量都為m1，滑塊B的質量為m2。試求此系統(tǒng)的質心運動方程、軌跡及此系統(tǒng)的動量。解設t=0時桿OA水平，則有=wt。將系統(tǒng)看成是由三個質點組成的，分別位于桿OA的中點、桿AB的中點和B點。系統(tǒng)質心的坐標為Xc=m1l2+m23l2+2m2l2m1+m2Yc=2m1l22m1+m2sinωt=m1上式即系統(tǒng)質心C的運動方程。由上兩式消去時間t,得[2m1+m22m1+m2lxc]2+[2m1+m2m1l即質心C的運功軌跡為一橢圓，如圖11-6中虛線所示。應指出，系統(tǒng)的動量，利用式（11-15）的投影式，有Px=mvcx=(2m1+m2)dxcdt=-2(m1+m2)lωsinωPy=mvcy=(2m1+m2)dycdt=m1lωcosω例11-11：平板D放置在光滑水平面上，板上裝有一曲柄、滑桿、套筒機構，十字套筒C保證滑桿AB為平移，如圖示。已知曲柄OA是一長為r，質量為m的均質桿，以勻角速度w繞軸O轉動?；瑮UAB的質量為4m,套筒C的質量為2m，機構其余部分的質量為20m，設初始時機構靜止，試求平板D的水平運動規(guī)律x(t)。解去整體為質點系，說受的外力有各部分的重力和水平面的反力。因為外力在水平軸上的投影為零，且初始時靜止，因此質點系質心在水平軸上的坐標保持不變。建立坐標系，并設平板D的質心距O點的水平距離為a，AB長為l，C距O點的水平距離為b,則初始時質點系質心的水平軸的坐標為Xc1=20ma+mr2設經過時間t，平板D向右移動了x(t)，曲柄OA轉動了角度wt,此時質點系質心坐標為Xc2=20m因為在水平方向上質心守恒，所以xc1=xc2,解得：X(t)=r6(1-cosωP207習題11-3第12章動量矩定理質點和質點系的動量矩:⑴指點對點O的動量矩失在z軸的投影,等于對z軸的動量矩,即「Lo(mv)」=Lz(mv)⑵質點系對固定點O的動量矩等于各質點對同一點O的動量矩的矢量和.即:Lo=∑Lo(mv)繞定軸轉動剛體對于轉軸的動量矩等于剛體對轉軸的裝動慣量與角速度的乘積.(Lz=wJz)平行軸定理:剛體對于任一軸的轉動慣量,等于剛體對通過質心并與該軸平行的軸轉動慣量,加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積.動量矩定理:質點對某定點的動量矩對時間的一階導數等于作用于質點的力對同一點的矩.例12-3：質量為M1的塔倫可繞垂直于圖面的軸O轉動，繞在塔輪上的繩索于塔輪間無相對滑動，繞在半徑為r的輪盤上的繩索于剛度系數為k的彈簧相連接，彈簧的另一端固定在墻壁上，繞在半徑為R的輪盤上的繩索的另一端豎直懸掛質量為M2的重物。若塔輪的質心位于輪盤中心O，它對軸O的轉動慣量Jo=2mr,R=2r,M1=m,M2=2m.求彈簧被拉長s時，重物M2的加速度。解塔輪做定軸轉動，設該瞬時角速度為w,重物作平移運動，則它的速度為v=Rw,它們對O點的動量矩分別為Lo1，Lo2，大小為Lo1=-Jo·w=-2mr2ω，Lo2=-2mR2w=-8mr2ω2系統(tǒng)對O點的外力矩為M0（Fi（e））=F·r-m根據動量矩定理ddtL0=ΣM0（Fi得10mr2dωα=dωdt因重物的加速度a2=Rα，所以：a2=Rα=4mg第13章動能定理質點系動能的微分,等于作用在質點系上所有力所做元功的和,這就是質點系微分形式的動能定理.(13-23)質點系積分形式的動能定理:質點系在某一運動過程中動能的改變量,等于作用在質點系上所有力在這一過程中所做的功的和.(13-24,13-25)力的功率等于切向力與力作用點速度大小的乘積(13-28)作用在轉動剛體上力的功率等于該力堆轉軸的矩與角速度的乘積.(13-29)質點系動能對時間的一階導數等于作用在指點系上所有力的功率的代數和(功率方程13-30)例13-5：重物A和重物B通過動滑輪D和定滑輪C而運動。